Приклади розв’язування задач.

Задача 1.1. Після удару об поверхню Землі м'яч рухається вертикально вгору зі швидкістю 15 м/с. Знайти координату м'яча над поверхнею Землі через 1 с і через 2 с після початку руху. Поясніть отриманий результат.

Дано: 0 = 15 м/с h0 = 0 м t1 = 1 c t2 = 2 c

Розв'язок: Координату тіла під час рівноприскореного прямолінійного руху визначаємо за формулою Координатну вісь Oy спрямуємо по вертикалі вверх, початок відліку знаходиться на поверхні Землі. Тоді y0 = h0 = 0. Оскільки напрям вектора початкової швидкості збігається з напрямом осі Oy, а напрям вектора протилежний напряму осіOy, то проекція початкової швидкості 0y буде додатною, а прискорення ay - від'ємною: 0y = 0, ay = -g. Тоді . Виконавши розрахунок, маємо

y1 - ? y2 - ?

Відповідь: y₁ = 10 м; y₂ = 10 м. 

Задача 1.2. Рух автомобіля по шосе описується рівнянням x = 3t - 4t². Побудувати графік залежності швидкості і прискорення від часу.

Дано: x = 3t - 4t2	Розв'язок: Рівняння рівнозмінного прямолінійного руху має вигляд
=  f(t) - ? a = f(t) - ?

Порівнявши рівняння (1) з рівнянням руху автомобіля, можна зрозуміти, що x₀ = 0, _0x = 3 м/с, = - 4 м/с², a_x = - 8 м/с².

Маючи ці дані, можна знайти вираз для швидкості руху автомобіля і згідно з ним побудувати графік залежності = f(t): = 3 - 8 t. Оскільки залежність швидкості від часу лінійна, то для побудови графіка достатньо знайти значення швидкості руху автомобіля для двох довільних моментів часу: t₁ = 0 с, ₁ = 3 м/с; t₂ = 1 с, ₂ = -  5 м/с(рис.2.2.).

Оскільки рух рівносповільнений (a_x < 0), то графік залежності прискорення від часу матиме вигляд, як показано на рис.2.3

           

Задача 1.3. Визначити доцентрове прискорення точок поверхні Землі, яке зумовлено її обертанням, на екваторі, на широті 45° і на полюсі.

Дано: T = 24 год = 8,64·104 с, j = 45º	Розв'язок: 1. Точка А поверхні Землі на екваторі описує разом із Землею за добу один повний оберт. Значить, лінійна швидкість , деlЗ - довжина кола екватора Землі, R - радіус Землі (рис.2.4).
aд - ?

Доцентрове прискорення точки А . Підставивши у вираз дляa_д, одержимо a_д = 3,4·10^-2 м/с².

2. Лінійна швидкість точки В поверхні, що знаходиться на широті j, дорівнює , де r - радіус кола, що описується точкою В. Із рисунка знаходимо, що r = Rcosj. За означенням доцентрове прискорення точки В:

a_д = 2,4·10^-2 м/с².

3. Лінійна швидкість точки С поверхні Землі, що знаходиться на полюсі, = 0 м/с, отже,a_д = 0 м/с².

Відповідь: 1) a_д = 3,4·10^-2 м/с²; 2) a_д = 2,4·10^-2 м/с²; 3) a_д = 0 м/с².

Розв’язування задач з динаміки.

Розв'язування задач з динаміки слід починати з вибору системи відліку; визначення характеру і форми траєкторії руху тіл; виконання рисунка, на який нанести всі сили, що діють на кожне тіло, а також кінематичні характеристики руху. При цьому потрібно чітко уявляти, в результаті яких взаємодій виникає та або та сила, її характер, природу. Використовуючи одну координатну вісь, її доцільно спрямувати з вектором прискорення тіла. Далі записують основні рівняння динаміки у векторній формі для кожного тіла окремо. Потім основні рівняння динаміки виражають через проекції сил на вибрані осі координат. Використовуючи додаткові умови (невагомість і не розтяжність ниток тощо), відшукують рівняння, яких не вистачало. Нарешті одержані рівняння розв'язують відносно шуканих величин.

 

Задача 1.4. Період обертання космічної станції навколо Землі на висоті 200 км над її поверхнею 90 хв. Яка середня густина речовини Землі?

Дано: Rорб = 6,6·106 м, T = 5,4·103 с, RЗ = 6,4·106 м.	Розв'язок: Під дією сили притягання Землі космічна станція буде обертатися по колу радіуса Rорб і набуде доцентрового прискорення: F = maд, .
rЗ - ?

До цього рівняння входить маса Землі (M_З), через яку можна знайти середню густину Землі: . Можемо знайти середнє значення густини речовини Землі, адже всередині Землі є пустоти, Земля не є правильною кулею:

Відповідь: <r_З> = 5,3·10³ кг/м³.

 

Задача 1.5. Пілот тисне на сидіння крісла літака в нижній точці петлі Несторова із силою 7056 Н. Маса пілота 80 кг, радіус петлі 250 м. Визначити швидкість літака.

Дано: Fтис = 7056 Н, m = 80 кг, r = 250 м	Розв'язок: Пілот діє на сидіння крісла із силою ваги , яка зрівноважується силою реакції опори. Оскільки в нижній точці обидві сили напрямлені по одній прямій у протилежні боки, то їх рівнодійнаF = N - P. Застосуємо другий закон Ньютона: F = ma,
- ?

де ,m - маса пілота. Тоді: , звідки. За третім законом НьютонаN = F_тис, тоді

Перевіримо розв'язок:

 .

Відповідь: = 140 м/с.

 

Рівняння закону збереження і перетворення енергії - одна з найзагальніших формул механіки, що дозволяє розв'язувати майже всі задачі елементарної механіки. У задачах підвищених труднощів це рівняння є одним з основних, яке, разом з рівнянням другого закону динаміки і рівнянням закону збереження кількості руху, становить повну систему рівнянь, що описують певне явище. Особливо зручно, а в другому випадку просто необхідно, використовувати закон збереження енергії для розв'язування задач, у яких: а) задається рух одного тіла, б) розглядається нерівномірний змінний рух.

Загальну схему розв'язування задач, що потребують складання рівняння закону збереження енергії, можна подати так:

- виконати схематичний рисунок і записати основну формулу;

- установити перше і друге положення розглянутого тіла, (це, зазвичай, початкове і кінцеве положення).

- вибрати нульовий рівень відліку потенціальної енергії. Його можна вибрати довільно, але зручніше вибирати за найнижчим положенням, що займає тіло під час руху, чи відраховувати від рівня, на який опускається тіло, переходячи з першого положення в друге;

- розставити сили, що діють на тіло в зазначеній точці траєкторії, чи, якщо такої немає, у довільній, і відзначити кінематичні характеристики іh, що визначають механічну енергію тіла в першому і другому положеннях;

- записати вирази для роботи зовнішніх сил і повної механічної енергії в цих положеннях. Підставити ці вирази у вихідне рівняння.

У простих задачах отримане рівняння містить, як правило, одну шукану величину, у більш складних - два і більше невідомих. Якщо невідомих більше одного, то до складеного рівняння закону збереження енергії потрібно додати основне рівняння динаміки матеріальної точки, формули кінематики чи рівняння закону збереження кількості руху. У результаті матимемо систему рівнянь, спільне розв'язання яких дозволяє визначити шукану величину.

Часто використання законів збереження спрощує розв'язування задач кінематики і динаміки.

Задача 1.6. Гелікоптер піднімається вгору зі швидкістю ₀ = 10 м/с. На висоті H = 50 м із нього випадає важкий предмет. З якою швидкістю предмет впаде на землю?

Дано: 0 = 10 м/с, H = 50 м.	Розв'язок: Повна механічна енергія предмета на висоті Н має вигляд:
- ?

На рівні землі

Прирівнюємо величини (1) і (2):

, звідки ;

Відповідь: = 33 м/с.

 

Задача 1.7 Тепловоз масою 130 т наближається зі швидкістю 2 м/с до нерухомого потягу масою 1170 т. З якою швидкістю буде рухатися потяг після зчеплення з тепловозом?

Дано: m1 = 1,3·105 кг, 1 = 2 м/с, 2 = 0 м/с, m2 = 1,17·106 кг.

Розв'язок: Згідно із законом збереження імпульсу проекції вектора повного імпульсу системи із тепловоза і потягу на вісь координат, напрямлену за напрямом вектора швидкості, до зчеплення і після зчеплення однакові: m11x +  m22x = ( m1+m2)3x. Оскільки потяг був нерухомим, вектори швидкості 1 тепловоза до зчеплення і швидкості 3 тепловоза разом із потягом після зчеплення паралельні, то проекції векторів 1x і 3x можна замінити їх модулями. Звідси з урахуванням 2 = 0 отримуємо:

3 - ?

m₁₁ = ( m₁ + m₂)₃,

звідки швидкість тепловоза і потяга після зчеплення дорівнює:

Відповідь: ₃ = 0,2 м/с.

 

Задача 1.8. Знайти швидкість вилітання кулі із пружинного пістолета масою m під час стріляння вертикально вгору, якщо жорсткість пружини дорівнює k, а стиск - x.

Дано: m, k, x	Розв'язок: Стиснена пружина має потенціальну енергію, яка витрачається на виконання роботи з подолання сили тяжіння снаряда і надання йому кінетичної енергії. Потенціальна енергія пружини дорівнює роботі змінної сили пружності на переміщення x:
- ?

Відповідь: .

 

Задача 1.9. Дві кулі масами 3 кг і 5 кг рухаються по гладкій горизонтальній поверхні назустріч одна одній зі швидкостями 4 м/с і 6 м/с відповідно. Чому дорівнює зміна внутрішньої енергії куль після їх непружного зіткнення?

Дано: m1 = 3 кг, m2 = 5 кг, 1 = 4 м/с, 2 = 6 м/с.	Розв'язок: Схему зіткнення зображено на рис.2.12. При непружному зіткненні двох тіл виконується закон збереження імпульсу: який в проекціях на вісьOх (див.рис.12) має вигляд:
DE - ?

-m₁₁ +  m₂₂ = ( m₁ + m₂)u.                        (1)

Виконується також закон збереження механічної енергії з урахуванням сил опору, робота яких витрачається на створення деформації, пошкоджень та інших необоротних перетворень в тілах, що зіткнулися. У таких процесах робота сил опору, взята зі знаком мінус (-A_c.oп), зумовлює зміну внутрішньої енергії тіл DE, що виявляється у зростанні температури тіл. Використовуючи вирази для кінетичних енергій, записуємо закон збереження з урахуванням A_с.оп:

Розв’язуючи разом рівняння (1) і (2), знаходимо

Виконавши в рівнянні (3) обчислення, отримаємо кінцевий результат: DE = 93,75 Дж.

Відповідь: DE = 93,75 Дж.