Тема 18 . Квантовые статистики. Элементы физики твердого тела.

Описание систем, состоящих из огромного числа квантовых частиц возможно лишь статистическими методами.

Квантовая статистика основывается на принципе неразличимости тождественных частиц, причем для частиц с целым и полу целым спином функции распределения должны быть различны, так как тип симметрии волновых функций определяет число различных состояний. В итоге существует две квантовые статистики: Ферми-Дирака для частиц с полуцелым спином (пси-функции которых антисимметричные¹) – частицы называют фермионами и Бозе-Эйнштейна для частиц с целым спином, в том числе и нулевым (пси-функции которых симметричные²) – частицы называют бозонами.

Система квантовых частиц определяется количеством частиц в каждом энергетическом состоянии N₁, N₂,…N_n,…, называемым числами заполнения состояния.

Среднее число заполнения:

(1)

– количество частиц, которые могут находиться в состоянии с энергией Е_п.

Возможны два варианта: N₁ + N₂ +…+ N_n,+…= N (2)

N₁ + N₂ +…+ N_n,+…= 0 или 1 (3)

1-ое уравнение разрешает всем частицам быть в одном и том же энергетическом состоянии. 2-ое – предполагает выполнение принципа Паули (не более одной частицы).

После преобразований (1) с учетом (2) получена функция распределения Бозе-Эйнштейна:

, где  – химический потенциал – показывает, как изменяется распределение частиц при добавлении к ним еще одной. 0, так как в противоположном случае при Е   оказалось бы отрицательным. Для системы с нефиксированным числом частиц (фотоны, фононы рождаются и умирают) = 0.

Функция распределения Ферми-Дирака при Т = 0 получается из уравнения (1) с учетом (3):

= . ЗдесьЕ_f =  – энергия Ферми – нормировочная константа, зависящая от плотности состояний (в непрерывном приближении).

Смысл такой функции распределения в том, что вероятность заполнения энергетических уровней с энергией больше энергии Ферми при абсолютном нуле равна нулю. Т.о. энергия Ферми это максимальная кинетическая энергия электронов при 0К.

При Т0 f(E)=1/2 при Е =Е_f и резкий край функции распределения «размывается» на «длине» порядка kT. Это означает, что за счет тепловой энергии происходит переход с нижних к свободным высшим энергетическим состояниям.

Если распределение Ферми-Дирака представить в виде , где – параметр вырождения, то в зависимости от соотношения Т и Е_f , квантовая статистика может перейти в статистику Больцмана. При энергиях (Е-Е_f )kT А  1, т.е. kTЕ_f (высокие температуры) – газ квантовых частиц невырожденный и подчиняется классической статистике. Если же kTЕ_f (низкие температуры) газ называется вырожденным и при этом существенна квантованность.

Применение статистик:

Фононный газ. Теплоемкость кристаллической решетки.

В газах частицы одновременно выполняют две функции: они являются «кирпичиками» самого вещества газа, т.е. выполняют функцию структурных единиц системы, и одновременно являются носителями движения в этой системе. В твердом теле эти две функции разделяются: атомы, молекулы или ионы представляют собой структурные единицы твердого тела, а квазичастицы – фононы – структурные единицы колебательного движения в твердом теле. Так как кристалл представляет систему N упруго связанных атомов, обладающих 3N степенями свободы, в нем распространяется 3N независимых волн, которые, доходя до поверхности кристалла, отражаются, образуя систему стоячих волн. Механизм образования этих волн аналогичен механизму звуковых волн, поэтому их называют акустическими (скорость их распространения такая же, как и для звука). Энергия тепловых акустических волн квантована. Порция такой энергии называется фононом.

Так как фононы, распространяясь в кристалле, рассеиваются при встрече друг с другом и с дефектами решетки, это единственный вид частиц, для которых не выполняется закон сохранения импульса. Поэтому их импульс называютквазиимпульсом.

Квантование колебательной энергии .

Энергия кристалла: ,где – энергия нулевых колебаний (так называемое нулевое движение, которое не имеет дискретных характеристик).

Длина фононных волн не может быть , где– постоянная решетки. Следовательно, существует некотораямаксимальная частота нормальных колебаний решётки:

(здесь – число атомов в единице).

Число стоячих волн в интервале в единице:(число 3 учитывает поляризацию упругих волн: 1 продольная + 2 поперечных). Скорость, гдеυ – некоторая усредненная скорость акустических волн (этот факт определяет недостаток теории Дебая); и– скорость продольной и поперечной волны в кристалле, соответственно;G и E – модули продольной и поперечной упругости; ρ – плотность вещества.

Энергия единицы объема кристалла

,

где – энергия нулевых колебаний.

Молярная энергия нулевых колебаний .

Теплоёмкость :

, где .

Величину называютхарактеристической температурой Дебая. Она указывает температуру, ниже которой становятся существенными квантовые свойства вещества.

С учётом :.Данное выражение можно частично интегрировать и для решения задач использовать формулу для молярной теплоемкости:

Интеграл рассчитывается методом численного интегрирования³.

предельные случаи: при Тмолярная теплоемкость –закон Дюлонга-Пти;

при Тмолярная теплоемкость – закон кубов Дебая.

Электронный газ.

Функция распределения электронов по энергии определяет количество частиц в данном энергетическом состоянии

.

Зависимостьот энергии дана на рисунке. Число электронов заполняющихнижних состояний (заштрихованная площадь) будет .Данный интеграл определяет значение E_f.

Энергия Ферми: , где– концентрация свободных (валентных) электронов. Она связана с концентрацией атомов через валентность.

Полная статистическая функция распределения электронов:

.

Средняя энергия свободных (валентных) электронов

.

Температура Т₀, определяемая соотношением , называетсятемпературой вырождения. Она определяет границу, выше которой квантовые эффекты перестают быть существенными. Если температура газа Т>Т₀, то большая часть частиц имеет энергию, значительно превышающую E_f, и принцип Паули перестает заметным образом влиять на состояние газа. .

Зависимость энергии Ферми от температуры:

E_f ≈

Молярная теплоемкость электронного газа: .

Задание по теме.

Определите характерные параметры металлов и неизвестные согласно варианту, считая известными параметры из таблицы условия.

1. Скорость акустических волн в кристалле.

2. Концентрацию атомов кристалла.

3. Максимальную частоту колебаний кристаллической решетки.

4. Температуру Дебая.

5. Максимальную энергию ε_m фонона, который может возбуждаться в кристалле.

6. Энергию нулевых колебаний.

7. Вычислить среднее значение энергии нулевых колебаний, приходящееся на один осциллятор кристалла.

8. Вычислить энергию нулевых колебаний, приходящуюся на один грамм кристалла.

9. Оценить максимальное значение p_m импульса фонона. Фотон какой длины волны λ обладал таким же импульсом?

10. Определить фононное давление р при температуре Т = θ.

11. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить изменение молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Т=0,1θ.

12. Количество теплоты, необходимое для нагрева массы т = 10 г от Т₁ = 10К до Т₂ = 20К. Считать Т<<θ.

13. Количество теплоты, необходимое для нагрева 10г кристалла на 2К от температуры Т=θ/2.

14. Энергию Ферми.

15. Давление электронного газа.

16. Среднюю скорость валентных электронов.

17. Оценить температуру Т₀ вырождения.

18. Молярную теплоемкость электронного газа.

19. Чему равна вероятность W того, что в состоянии с энергией, равной энергии Ферми Е_f будет находиться свободный электрон? Чему при этом равно среднее число свободных электронов, находящихся на этом энергетическом уровне?

20. Металл находится при температуре Т = 0К. Определить во сколько раз число электронов с кинетической энергией от Е_f /2 до Е_f , больше числа электронов с энергией от 0 до Е_f /2.

	металл	Е, ГПа	G, ГПа	μ, кг/моль	ρ,103кг/м3	валент-ность
1 2 3 4 5 6 7 8	Медь Серебро Свинец Алюминий Кобальт Никель Титан Золото	110 80 18 70 207 205 118 77	44,7 29,2 5,7 26 47 73 41 25	0,0635 0,1078 0,2072 0,02698 0,0589 0,0587 0,0479 0,1969	8,92 10,49 11,34 2,7 8,79 8,9 4,51 19,32	1 1 2 3 2 2 2 1

Таблица вариантов УИРС по модулю 9

«Элементы физики твердого тела»

вариант		вопросы
1	Медь	1-5, 6, 9,11,16, 18
2	Серебро	1-5, 7,10, 12, 17, 19
3	Свинец	1-5, 8, 9, 13, 16, 20
4	Алюминий	1-5, 6,10, 11, 17, 18
5	Кобальт	1-5, 7, 9, 12, 16, 19
6	Никель	1-5, 8, 10, 13, 17, 20
7	Титан	1-5, 6, 9,11,16, 18
8	Золото	1-5, 7,10, 12, 17, 19
9	Медь	1-5, 8, 9, 13, 16, 20
10	Серебро	1-5, 6,10, 11, 17, 18
11	Свинец	1-5, 7, 9, 12, 16, 19
12	Алюминий	1-5, 8, 10, 13, 17, 20
13	Кобальт	1-5, 6, 9,11,16, 18
14	Никель	1-5, 7,10, 12, 17, 19
15	Титан	1-5, 8, 9, 13, 16, 20
16	Золото	1-5, 6,10, 11, 17, 18
17	Свинец	1-5, 7, 9, 12, 16, 19
18	Алюминий	1-5, 8, 10, 13, 17, 20
19	Кобальт	1-5, 7, 9, 12, 16, 19
20	Золото	1-5, 8, 10, 13, 17, 20