Частина – 2. Теорія графів. Дерева.

Завдання 1.

Одним зі способів подання графів є матриця суміжності.

Нехай G=(V,E) — простий граф, |V | n . Припустимо, що вершини графа G занумеровані: v1 , v2 , ..., vn . Матрицею суміжності графа G називають

Цілком очевидно, що для неорієнтованого графа ai, j a j,i , тобто матриця

суміжності симетрична. Більше того, оскільки у простому графі немає петель, то для нього з матриці суміжності ai,i 0 (i 1,..., n) .

Матрицю суміжності можна використовувати також для подання

0 в протилежному випадку.

Матриця суміжності орієнтованого графа несиметрична.

Матрицю суміжності можна використовувати й для подання орієнтованого мультиграфа. У такому разі це не булева матриця: елемент ai, j дорівнює

кількості дуг, які мають vi початковою вершиною, a v j — кінцевою.

Велика перевага матриці суміжності як способу подання графа — швидкий доступ до інформації: за один крок можна одержати відповідь на питання, чи існує ребро (дуга) з vi у v j . Вада полягає в тому, що незалежно від кількості

ребер обсяг пам'яті становить n2 комірок.

1.1. Розглянемо подану матрицю суміжності. Оскільки вона несиметрична, можемо зробити висновок, що даний граф – орієнтований. Крім того, матриця не є булевою, а отже задано орієнтований мультиграф. Враховуючи ці дані, побудуємо заданий граф.

v2

ребрам (або дугам), значно економніший щодо пам'яті, особливо якщо m (кількість ребер) значно менша, ніж n2 ( n — кількість вершин). Пара u,v відповідає ребру u,v , якщо граф неорієнтований, і дузі (u,v) , якщо граф

орієнтований. Обсяг пам'яті в цьому разі дорівнює 2m ( m — кількість ребер або дуг). Це найекономніший щодо пам'яті спосіб. Його вада — велика (порядку m ) кількість кроків для знаходження множини вершин, до яких ідуть ребра чи дуги із заданої вершини.

Запишемо всі пари дуг, що належать даному графові:

1.3. Кількість вершин: 5 ( v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ). Кількість дуг: 17.

Якщо в орієнтованому мультиграфі G=(V, E), (u, v) Е, то вершину u

називають початковою (ініціальною), а вершину v — кінцевою

(термінальною) вершиною дуги e (u,v) . Петля має початок і кінець в одній

ітій самій вершині.

Ворієнтованому мультиграфі напівстепенем входу вершини v

називають кількість дуг, для яких вершина v кінцева; позначають deg (v) . Напівстепенем виходу вершини v називають кількість дуг, для яких вершина v початкова; позначають deg (v) .

Тоді для заданого графа:

{ (u), (v),} E2 ).

Для побудови ізоморфного графа до даного, використаємо властивість ізоморфних графів: графи ізоморфні тоді й тише тоді, коли їх матриці суміжності можна отримати одну з одної однаковими перестановками рядків і стовпців.

Отримана в результаті матриця є матрицею суміжності графа, ізоморфного

до даного. Побудуємо отриманий граф:

u2

1.6. Ейлеровим циклом у зв'язному орієнтованому мультиграфі називають орієнтований простий цикл, який містить усі ребра графа. Орієнтований граф ейлерів (тобто містить Ейлерів шлях), якщо він зв’язний і напівстепені входу і виходу рівні для кожної вершини.

На основі цього твердження та значень напівстепенів входу на виходу, отриманих у 1.3. можемо зробити висновок, що Ейлеровий цикл у даному граф не існує.

Ейлерів шлях існує в орієнтованому графі тоді і тільки тоді, коли відповідний граф зв’язний, не більше, ніж одна вершина має deg (v) deg (v) 1, не більше, ніж одна вершина - deg (v) deg (v) 1, а всі

інші вершини мають рівні напівстепені входу і виходу deg (v) deg (v) Таким чином, даний граф не містить Ейлерового шляху.

1.7.Шлях x0 , x1 ,..., xn 1, xn у зв'язному графі G = (V, Е) називають

гамільтоновим шляхом, якщо V x0 , x1 ,..., xn 1 , xn і xi x j для 0 i j n . Цикл x0 , x1 ,..., xn 1 , xn , x0 (тут n >1) у графі G = (V, Е) називають гамільтоновим циклом, якщо x0 , x1 ,..., xn 1, xn — гамільтонів шлях. Інакше кажучи, гамільтонів цикл і гамільтонів шлях проходять через кожну вершину графа точно один раз (можливо, окрім першої й останньої вершин). Гамільтонові цикл і шлях можуть не містити усіх ребер графа.

Для знаходження гамільтонових циклу та шляху використовується бектрекінг, суть якого зводиться до побудови дерева усіх можливих варіантів проходження графа. Головна ідея методу полягає в тому, що розв'язок будують поступово, починаючи з порожньої послідовності (довжиною 0). Загалом, якщо є частковий (неповний) розв'язок (x1 ,..., xi ) для скінченної послідовності

(x1 ,..., xn ) , де і < n , то намагаємося знайти таке допустиме значення xi 1 , що можна продовжувати (x1 ,..., xi , xi 1 ) до одержання повного розв'язку. Якщо таке допустиме, але ще не використане значення xi 1 існує, то долучаємо цю нову компоненту до часткового розв'язку та продовжуємо процес для послідовності (x1 ,..., xi , xi 1 ) . Якщо такого значення xi 1 немає, то повертаємося до попередньої послідовності (x1 ,..., xi 1 ) і продовжуємо процес, шукаючи нове, іще не використане значення xi . Тому процес називають бектрекінгом (англ. backtracking — пошук із поверненнями).

Спробуємо побудувати гамільтонів шлях і цикл.

v1

v1

Нехай G = (V,E) — зважений орієнтований граф, w(vi , v j ) — вага дуги

(vi , v j ) . Почавши з вершини а, знаходимо віддаль від а до кожної із суміжних

із нею вершин. Вибираємо вершину, віддаль від якої до вершини а найменша; нехай це буде вершина v . Далі знаходимо віддалі від вершини а до кожної вершини суміжної з v вздовж шляху, який проходить через вершину v . Якщо для якоїсь із таких вершин ця віддаль менша від поточної, то заміняємо нею поточну віддаль. Знову вибираємо вершину, найближчу до а й не вибрану раніше; повторюємо процес.

Описаний процес зручно виконувати за допомогою присвоювання вершинам міток. Є мітки двох типів — тимчасові та постійні. Вершини з постійними мітками групують у множину М, яку називають множиною позначених вершин. Решта вершин має тимчасові мітки, і множину таких вершин позначимо як Т, Т= V\M. Позначатимемо мітку (тимчасову чи постійну) вершини v як l(v). Значення постійної мітки l(v) дорівнює довжині найкоротшого шляху від вершини а до вершини v, тимчасової — довжині найкоротшого шляху, який проходить лише через вершини з постійними мітками.

Фіксованою початковою вершиною вважаємо вершину а; довжину найкоротшого шляху шукаємо до вершини z (або до всіх вершин графа).

Крок 1. Присвоювання початкових значень. Виконати l(v):= 0 та вважати цю мітку постійною. Виконати l(v) := для всіх v a а й уважати ці мітки тимчасовими. Виконати х := а, М:= {а}.

Крок 2. Оновлення міток. Для кожної вершини v є Т(х)\М замінити мітки l(v) : min{l(v);l(x) w(x,v)}, тобто оновлювати тимчасові мітки

вершин, у які з вершини х іде дуга.

Крок 3. Перетворення мітки в постійну. Серед усіх вершин із тимчасовими мітками знайти вершину з мінімальною міткою, тобто знайти вершину v з умови l(v ) min{l(v)} , v Т, де Т= V\M.

Крок 4. Уважати мітку вершини v постійною й виконати M : M {v }; x : v (вершину v включено в множину М).

Крок 5. а) Для пошуку шляху від а до z: якщо x = z, то l(z) — довжина найкоротшого шляху від а до г, зупинитись; якщо x z, то перейти до кроку 2.

б) Для пошуку шляхів від а до всіх інших вершин: якщо всі вершини отримали постійні мітки (включені в множину М), то ці мітки дорівнюють довжинам найкоротших шляхів, зупинитись; якщо деякі вершини мають тимчасові мітки, то перейти до кроку 2.