A b

Положительное монотонное преобразование. На рис.A показана монотонная функция — функция, которая все время возрастает. На рис.В показана функция, не являющаяся монотонной, поскольку она то возрастает, то убывает.

Рис. 4.1

Если f (u) есть любое монотонное преобразование функции полезности, представляющее какие-либо конкретные предпочтения, то f (u(x₁, x₂)) — это тоже функция полезности, представляющая те же самые предпочтения.

Почему? Доводы в пользу этого даны следующими тремя утверждениями:

1. Сказать, что u(x₁, x₂) представляет некие конкретные предпочтения, означает, что u(x₁, x₂)  u(y₁, y₂), если и только если (x₁, x₂)  (y₁, y₂).

2. Но если f(u) есть монотонное преобразование, то u(x₁, x₂)  u(y₁, y₂), если и только если f(u(x₁, x₂))  f(u(y₁, y₂)).

3. Следовательно, f(u(x₁, x₂))  f(u(y₁, y₂)), если и только если (x₁, x₂)  (y₁, y₂), так что функция f(u) представляет предпочтения совершенно таким же образом, как и исходная функция полезности u(x₁, x₂).

Подытожим эти рассуждения, сформулировав следующий принцип: монотонное преобразование функции полезности есть функция полезности, представляющая те же самые предпочтения, что и исходная функция полезности.

Геометрически функция полезности представляет собой способ обозначения кривых безразличия. Поскольку каждый набор, находящийся на какой-либо кривой безразличия, должен иметь одинаковую полезность, функция полезности есть такой способ приписывания различным кривым безразличия неких численных значений, при котором более высоким кривым безразличия приписываются бóльшие численные значения. С этой точки зрения, монотонное преобразование — всего лишь переименовывание кривых безразличия. До тех пор, пока кривые безразличия, на которых находятся более предпочитаемые наборы, обозначаются бóльшими числами, чем кривые безразличия, на которых находятся менее предпочитаемые наборы, подобное переименовывание будет представлять те же самые предпочтения.

4.1. Количественная полезность

Существует ряд теорий полезности, в которых величине полезности придается значение. Эти теории известны как количественные теории полезности. В количественной теории полезности предполагается, что величина разности значений полезности для двух наборов благ имеет определенную значимость.

Нам известно, как определить, предпочитает ли данный индивид один товарный набор другому: мы просто предложим ему (или ей) выбрать один из двух наборов и посмотрим, какой набор выбран. Следовательно, мы знаем, как приписывать двум товарным наборам порядковую полезность: достаточно приписать выбранному набору более высокую полезность, чем отвергнутому. Любое приписывание такого рода явится функцией полезности. Таким образом, у нас имеется рабочий критерий, позволяющий определить, имеет ли для данного индивида один набор бóльшую полезность, чем другой.

Но как можно утверждать, что один набор нравится индивиду в два раза больше другого? На основании чего вы сами можете определить, нравится ли вам один набор вдвое больше другого?

Можно было бы предложить для такого рода приписывания значений полезности разные исходные определения: скажем, "один набор нравится мне вдвое больше другого, если я готов заплатить за него вдвое больше". Или: “Один набор нравится мне вдвое больше другого, если, чтобы его получить, я готов пробежать вдвое более длинную дистанцию, или прождать вдвое дольше, или сыграть на него по удвоенной ставке.”

Ничего неправильного ни в одном из этих определений нет: на основе каждого из них можно было бы построить способ приписывания наборам уровней полезности, при котором приписываемые численные значения полезности имели бы некий рабочий смысл. Но и правильного в этих определениях немного. Хотя каждое из них представляет собой возможную интерпретацию того, что может означать утверждение "хотеть какую-то вещь вдвое больше другой", ни одно из них не кажется особенно убедительным.

Но даже если бы нам удалось найти способ приписывания полезности численных значений, который показался бы нам особенно удачным, какую пользу он мог бы принести при описании потребительского выбора? Чтобы утверждать, будет ли выбран тот товарный набор или другой, нам надо знать лишь, какой из них предпочитается — какой имеет большую полезность. Знание того, насколько эта полезность больше, ничего не добавляет к нашему описанию выбора. Поскольку количественная полезность для описания потребительского выбора не требуется и поскольку бесспорного способа приписывания количественных полезностей так или иначе не существует, будем придерживаться рамок чисто порядковой полезности.