6.2. Кривые "доход — потребление" и кривые Энгеля

Мы видели, что рост дохода соответствует параллельному сдвигу бюджетной линии наружу . Можем соединить между собой наборы спроса, получаемые при таком сдвиге бюджетной линии, построив тем самым кривую "доход — потребление". Эта кривая, как видно на рис. 6.3, показывает товарные наборы, на которые предъявляется спрос при различных уровнях дохода. Кривую "доход — потребление" называют также "путем расширения дохода". Если оба товара — нормальные, кривая "доход — потребление" будет иметь положительный наклон, как показано на рис. 6.3A.

Для каждого уровня дохода m существует некий оптимальный выбор по каждому из товаров. Сосредоточим внимание на товаре 1, рассматривая оптимальный выбор при каждой комбинации цен и дохода х₁(p₁, p₂, m)3. Это не что иное, как функция спроса на товар 1. Если, считая цены на товары 1 и 2 постоянными, проследить изменения в спросе по мере изменения дохода, то мы построим кривую, известную как кривая Энгеля. Кривая Энгеля — это график спроса на один из товаров, представленного как функция дохода, при предпосылке о неизменности всех цен. Пример кривой Энгеля показан на рис. 6.3B.

Рис. 6.2

Товар низшей категории. Товар 1 является товаром низшей категории; это означает, что при росте дохода спрос на него уменьшается.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Рис. 6.3

Изменения спроса по мере изменений дохода. Кривая "доход — потребление" (или "путь расширения дохода"), показанная на рис.A, изображает оптимальный выбор при различных уровнях дохода и постоянных ценах. Если же нанести на график точки оптимального выбора товара 1 при разных уровнях дохода, получим кривую Энгеля, изображенную на рис.B.

6.3. Некоторые примеры

Посмотрим, как выглядят кривые "доход — потребление" и кривые Энгеля в случае некоторых предпочтений, изученных нами в гл. 5.

Совершенные субституты

Случай совершенных субститутов представлен на рис.6.4. Если p₁  p₂4, так что потребляется только товар 1, то потребитель с ростом дохода будет увеличивать потребление товара 1. Следовательно, кривая "доход — потребление" сольется с горизонтальной осью, как показано на рис.6.4A.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Совершенные субституты. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) в случае совершенных субститутов.

Рис. 6.4

Поскольку спрос на товар 1 в этом случае есть х₁=m/p₁, кривая Энгеля, как показано на рис.6.4B, будет прямой линией с наклоном р₁5. (Так как m откладывается по вертикальной оси, а х₁ по горизонтальной, можно записать m=p₁x₁6, откуда ясно, что наклон есть р₁).

Совершенные комплементы

Поведение в отношении спроса на совершенные комплементы показано на рис.6.5. Поскольку потребитель, независимо ни от чего, все время потребляет одно и то же количество каждого товара, кривая "доход — потребление" является в данном случае лучом из начала координат, как видно на рис.6.5A. Мы видели, что спрос на товар 1 есть x₁ = m/(p₁ + p₂)7, поэтому кривая Энгеля, как показано на рис.6.5B, представляет собой прямую с наклоном p₁ + p₂8.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Рис. 6.5

Совершенные комплементы. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) в случае совершенных комплементов.

Предпочтения Кобба — Дугласа

В случае предпочтений Кобба — Дугласа вид интересующих нас графиков проще представить исходя из алгебраического вида функций спроса. Если u(x₁, x₂) = 9, функция спроса Кобба — Дугласа на товар 1 имеет видx₁ = am/p₁10. Для постоянного значения p₁11 это будет линейная функция дохода m. Таким образом, удвоение m повлечет за собой удвоение спроса, утроение m утроит спрос и т.д. Фактически умножение m на любое положительное число t будет иметь результатом просто умножение спроса на ту же самую величину.

Функция спроса на товар 2 есть x₂ = (1 — a)m/p₂12, и она также явно линейна. Тот факт, что функции спроса на оба товара — линейные функции дохода, означает, что кривые "доход — потребление" в данном случае, как показано на рис.6.6A, являются лучами из начала координат. Кривая Энгеля для товара 1 будет представлять собой, как показано на рис.6.6B, прямую с наклоном p₁/a13.

Гомотетичные предпочтения

Все рассмотренные нами до сих пор кривые "доход — потребление" и кривые Энгеля имели достаточно простой вид — фактически они являлись прямыми линиями! Это объяснялось чрезвычайной простотой взятых примеров. Реальные кривые Энгеля вовсе не обязательно должны быть прямыми линиями. Вообще при росте дохода спрос на товар может увеличиваться и быстрее, и медленнее, чем растет доход. Если спрос на товар растет в большей степени, чем доход, мы говорим, что этот товар — предмет роскоши, а если в меньшей — что этот товар — необходимое благо.

Пограничным является случай, когда спрос на товар растет в той же пропорции, что и доход. Именно это имело место в трех рассмотренных выше случаях. Какая же характеристика предпочтений потребителя обусловливает подобное поведение?

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Предпочтения Кобба — Дугласа. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) для функции полезности Кобба — Дугласа.

Рис. 6.6

Предположим, что предпочтения потребителя зависят только от отношения количества товара 1 к количеству товара 2. Это означает, что если потребитель предпочитает набор (x₁, x₂14) набору (y₁, y₂15), он автоматически предпочитает набор (2x₁, 2x₂16) набору (2y₁, 2y₂17), набор (3x₁, 3x₂18) набору (3y₁, 3y₂19) и т.д., поскольку во всех этих наборах отношение товара 1 к товару 2 одинаково. Фактически при любом положительном значении t потребитель предпочитает набор (tx₁, tx₂20) набору (ty₁, ty₂21). Предпочтения, обладающие этим свойством, именуются гомотетичными предпочтениями. Нетрудно показать, что все предпочтения, рассмотренные в трех приведенных выше примерах, — совершенные субституты, совершенные комплементы и предпочтения Кобба — Дугласа — являются гомотетичными.

Если предпочтения потребителя гомотетичны, то кривые "доход — по-требление", как показано на рис. 6.7, всегда представляют собой лучи из начала координат.

Выражаясь более точно, если предпочтения гомотетичны, то это означает, что при увеличении или уменьшении дохода в t раз, где t — любая t  0, величина спроса на товары, входящие в набор спроса, изменяется во столько же раз. Можно это доказать строго, но это достаточно ясно и при взгляде на рисунок. Если кривая безразличия касается бюджетной линии в точке (,22), то кривая безразличия, проходящая через точку (t,t23), касается бюджетной линии с теми же ценами и в t раз большим доходом. Это означает вдобавок, что кривые Энгеля — прямые линии. Удваивая доход, мы просто удваиваем спрос на каждый товар.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Рис. 6.7

Гомотетичные предпочтения. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) в случае гомотетичных предпочтений.

Вследствие такой простоты эффектов дохода гомотетичные предпочтения весьма удобны для рассмотрения. К сожалению, по той же самой причине гомотетичные предпочтения не очень-то реалистичны! Но мы часто будем использовать их в примерах.

Квазилинейные предпочтения

Другой вид предпочтений, обусловливающий особую форму кривых "до-ход — потребление" и кривых Энгеля, — квазилинейные предпочтения. Вспомним определение квазилинейных предпочтений, данное в гл. 4. Это такой случай, когда все кривые безразличия являются "сдвигами" одной и той же кривой безразличия, как на рис. 6.8. Соответственно функция полезности для этих предпочтений принимает вид u (x₁, x₂) = v (x₁) + x₂24. Что произойдет, если сместить бюджетную линию наружу? В этом случае, если кривая безразличия касается бюджетной линии в точке, соответствующей набору (,25), тодругая кривая безразличия должна касаться бюджетной линии в точке (,+k26) при любом постоянном k. Рост дохода совершенно не изменяет спроса на товар 1, и весь добавочный доход идет на потребление товара 2. В случае квазилинейных предпочтений иногда говорят о "нулевом эффекте дохода" по товару 1. Следовательно, кривая Энгеля для товара 1 есть вертикальная линия — при изменении дохода спрос на товар 1 остается постоянным.

A Кривая "доход — потребление" B Кривая Энгеля

Квазилинейные предпочтения. Кривая "доход — потребление" (A) и кривая Энгеля (B) при квазилинейных предпочтениях.

Рис. 6.8

В какой реальной жизненной ситуации могло бы произойти подобное? Предположим, что товар 1 — карандаши, а товар 2 — деньги, расходуемые на все остальные товары. Пусть поначалу я трачу свой доход исключительно на карандаши, но когда этот доход станет достаточно большим, я перестаю покупать дополнительные карандаши и трачу весь добавочный доход на остальные товары. Другими примерами такого рода могли бы стать примеры с солью или с зубной пастой. Предположение о квазилинейности предпочтений вполне приемлемо, когда речь идет о выборе между каким-то отдельным товаром, на который приходится небольшая доля бюджета потребителя, и всеми остальными товарами — по крайней мере в ситуации, когда доход потребителя достаточно велик.