1 СЕМЕСТР. Информатика. Темы всех занятий 1-15 .rar / т_тема 11

Тема 11. Моделирование медико-биологических и фармацевтических задач.

Основные виды моделирования.

Есть реальный мир вещей и явлений - звезд, атомов, перемещений, жизни организмов, болезней. А есть отображающий эту реальность мир моделей, с которыми, в конце концов, работает наша мысль. Анализируя модели, мы прогнозируем свойства или дальнейшее поведение реального объекта.

Модель - это искусственно созданный человеком объект любой природы, который замещает или воспроизводит исследуемый объект так, что изучение модели способно давать новую информацию об объекте. Модель всегда беднее реального объекта, она всегда отображает лишь некоторые его черты, причем в разных случаях – разные. Все зависит от задачи, для решения которой создается модель.

Объектами исследования в биологии и медицине является живой организм в целом или его части, которые представляют собой очень сложные системы. Поэтому исследователь неизбежно выбирает упрощенную точку зрения, подходящую для решения конкретно поставленной задачи. Выбор модели определяется целями исследования. Можно выделить 4 вида моделей, используемых в медицине и биологии:

1) Биологические предметные модели служат для изучения общих биологических закономерностей, действия различных препаратов, методов лечения. К такому типу моделей относятся лабораторные животные, изолированные органы, культуры клеток. Этот вид моделирования - самый древний и играет большую роль в современной науке (первые полеты в космос, испытание новых лекарств и так далее).

2) Физические (аналоговые) модели – это физические системы или устройства, которые обладают аналогичным с моделируемым объектом поведением. Физическая модель может быть реализована в виде некоторого механического устройства или в виде электрической цепи. Например, процесс движения крови по крупным сосудам может быть смоделирован электрической цепью из конденсаторов и сопротивлений. К физическим моделям относятся технические устройства, заменяющие органы и системы живого организма. Это: аппараты искусственного дыхания, которые моделируют легкое; аппараты искусственного кровообращения (модель сердца) и так далее. Физическое моделирование является традиционным для медицины и в настоящее время достаточно широко используется и в лечебной практике, и в исследовательских целях.

3) Кибернетические модели – это различные устройства, чаще всего электронные, с помощью которых моделируются информационные процессы в живом организме. Среди информационных процессов один из самых распространенных - это управление (например, - движением руки, всего тела или управление величиной зрачка). Предполагается, что развитие ЭВМ и создание супер-ЭВМ следующих поколений позволит решить проблему “искусственного интеллекта”, то есть супер-ЭВМ будут кибернетической моделью работы мозга человека.

4) Математическая модель - это система формул, функций, уравнений, описывающих те или иные свойства изучаемого объекта, явления или процесса. Закон всемирного тяготения, закон Ома и так далее - все это математические модели реальных физических явлений. Когда же изучают динамические процессы, то математической моделью обычно является система дифференциальных уравнений (то есть уравнений, содержащих производные), так как именно производные отражают изменение интересующих нас величин в исследуемой системе. Математическое моделирование какого-либо процесса возможно, когда достаточно хорошо изучены его физические и биологические закономерности. Но перечень таких процессов в живом организме пока еще невелик. Внедрение ЭВМ расширило возможности математического моделирования в медицине, так как стало возможным моделирование более сложных систем.

Отличительные особенности метода математического моделирования состоят в следующем:

1. Во-первых, математическое моделирование позволяет исследовать поведение биологической системы в таких условиях, которые трудно создать в эксперименте или клинике, причем без существенных материальных затрат.

2. Во-вторых, уменьшается время исследования, так как на ЭВМ можно за короткое время “разыграть” огромное число вариантов опыта.

3. В-третьих, математическая модель облегчает решение задач по лечению болезней, так как позволяет очень быстро, в считанные секунды, ответить на вопросы, возникающие при лечении.

Этапы математического моделирования.

Принято выделять три основных этапа при изучении явления с помощью математического моделирования:

I этап - создание основы математической модели. При этом необходимо:

а) накопить экспериментальные данные о процессах в изучаемой системе,

б) составить уравнение или систему уравнений, описывающих известные факты.

II этап - проверка и корректировка модели. При этом необходимо:

а) определить численные значения коэффициентов и задать начальные условия,

б) решить систему уравнений,

в) сравнить полученное решение с данными эксперимента, выявить несоответствия, выяснить их причины,

г) ввести поправки в математическую модель.

III этап - исследование математической модели, то есть использование ее в практических целях; конечной целью этого этапа является получение новой информации об исследуемом объекте.

Пример. Математическое моделирование роста популяции микроорганизмов. Динамика численности популяция - изменение количества живых особей в связи с рождаемостью и смертностью - один из важнейших вопросов в экологии популяций. С этой задачей приходится иметь дело при рассмотрении условий размножения саранчи, количества животных на определенной территории, при исследовании заболеваний, обусловленных размножением патогенных микроорганизмов. Именно поэтому математическое моделирование численности популяции вызывает не только теоретический интерес, но и имеет важное практическое значение.

Большинство воспалительных процессов обусловлено развитием популяции патогенных микроорганизмов, и поэтому именно этот фактор необходимо включить в математическую модель, описывающую развитие воспалительных процессов. При развитии популяции микроорганизмов большое значение имеет бактерицидные и бактериостатические воздействия на эти микроорганизмы. К числу таких воздействий относятся: иммунные факторы, конкуренция микроорганизмов в поисках источников питания, воздействие антибактериальных препаратов и др.

После первичного инфицирования популяция микроорганизмов в питательной среде начинает быстро размножаться. Относительная скорость роста численности некоторое время сохраняется постоянной. Иными словами, величина , равная отношению числа образующихся микроорганизмов dN к полному числу имеющихся микроорганизмов N и времени dt, за которое образуются микроорганизмы, не изменяется во времени:

==const или =N

Коэффициент  зависит от особенностей рассматриваемого вида организмов, а также состава среды, где они размножаются, и физических условий. Его величина, определяющая относительную скорость размножения микроорганизмов, связана с так называемым периодом генерации Т, равным среднему промежутку времени между последовательными делениями микроорганизмов:

= ln2 / T = 0,69 / T.

Дифференциальное уравнение, описывающее размножение микроорганизмов имеет решение в виде:

N = N_o e^t,

где N_o - число микроорганизмов в момент времени t=0, e2,71.

Чем больше коэффициент , тем с большей скоростью увеличивается число организмов в популяции.

Полученное уравнение описывает неограниченный рост численности популяции. В реальных условиях в ограниченном пространстве увеличение количества микроорганизмов не может происходить неограниченно. Этому препятствуют истощение запаса питательных веществ, а также продукты жизнедеятельности микроорганизмов, вызывающие их отравление. И поэтому в ходе заболевания увеличение количества микроорганизмов прекращается, а в дальнейшем (по мере выздоровления) происходит сокращение популяции. Поэтому ясно, что простая экспонента не может служить хорошей математической моделью рассматриваемого процесса. Более точное описание развития популяции дает уравнение Ферхюльста-Перла, полученное в 1845 году. Это уравнение учитывает "эффект самоотравления" популяции, или в общем виде - внутривидовую борьбу в популяции. Этот эффект, снижающий скорость роста популяции, объясняется многими причинами: конкурентной борьбой за место и пищу, распространением инфекции из-за тесноты и т.п. Очевидно, конкуренция тем выше, чем большее количество встреч между особями, а количество этих встреч пропорционально произведению N*N = N². С учетом этого эффекта скорость размножения микроорганизмов выражается дифференциальным уравнение Ферхюльста-Перла:

= N - N²

Второй член правой части равенства отражает снижение скорости роста популяции из-за внутривидовой конкуренции. Положительную постоянную величину  будем называть коэффициентом самоотравления или коэффициентом внутривидовой конкуренции. Полученное уравнение часто записывают в ином виде. Вынесем за скобки N. Тогда

.

Обозначив  / - h, окончательно получаем:

.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

.

Графики этой функции, получившие название логистических кривых, при различных  приведены на рис. 12.1.

Рис. 12.1. Логистические функции, описывающие рост популяции микроорганизмов.

В начальный момент времени t = 0 количество живых организмов N равно некоторому их начальному значение N₀. Затем приходит экспоненциальное нарастание численности в интервале времени 0 < t < , с момента времени t= скорость увеличения популяции уменьшается, и количество живых организмов асимптотически приближается к величине h. Поэтому величину h называют максимальной численностью популяции (теоретически) возможной в данных условиях. Поскольку h = /, то очевидно, что максимальное количество особей в популяции зависит только от условий, определяющих их размножение () и внутривидовую борьбу ().

С помощью математической модели Ферхюльста-Перла можно анализировать и более сложные ситуации, например, количество особей в неизолированной популяции. В данном случае рассматриваемое дифференциальное уравнение преобразуется к виду:

= N - N² + N₁ - N₂,

где N₁ -приток извне, то есть численность особей, поступающих в данную популяцию (например, из соседнего ареала), N₂ - численность особей, покидающих данную популяцию.