01_Физические_основы_механики

Рис. 1.2. Элементарный путь, элементарное перемещение материальной точки

1.4. Скорость

Средней путевой скоростью за промежуток времени называется скалярная величина, равная отношению длины пути, пройденной частицей за некоторый промежуток времени к длительности промежутка

<V >= ∆∆st , мс .

Средней скоростью за промежуток времени называется вектор, равный отношению вектора перемещения ∆r за некоторый

промежуток времени к длительности этого промежутка ∆t :

<Vr >= ∆∆rt .

20

Рис. 1.3. Средняя скорость

Запишем

∆r = r (t + ∆t) − r (t) .

∆t ∆t

Будем неограниченно уменьшать ∆t, устремляя к нулю. Это записывают так:

Полученное выражение есть определение производной ради- ус-вектора по времени

В правой части получаем производную радиус-вектора по времени. В то же время с определенной точностью правую часть можно рассматривать как отношение элементарного перемещения

dr к элементарному интервалу времени dt , за который произошло перемещение.

Рис. 1.4. Мгновенная скорость

21

Мгновенной скоростью частицы в данный момент времени называется вектор, равный первой производной радиус-вектора

частицы по времени

Vr = ddtr .

Поскольку dr направлен по касательной к траектории, то и вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории.

Найдем модуль мгновенной скорости

r

Vr =V = ddtr = dsdt , мс .

Модуль мгновенной скорости равен отношению элементарного пути, пройденного частицей за элементарный промежуток времени к длительности этого промежутка или первой производной пути по времени

V= dsdt , мс .

1.5.Мгновенная скорость вдекартовой системе координат

Запишем

Vr = dr = d (xir + yrj + zkr)= dx ir + dy rj + dz kr = dt dtr r r rdt r dt r dt

=Vx i +Vy j +Vz k =Vx +Vy +Vz .

Найдем модуль V:

V = V 2 = Vr2 = Vx 2 +Vy 2 +Vz 2 ,

22

Ускорением называется вектор, равный первой производной мгновенной скорости по времени

arx , ary , arz – составляющие вектора a вдоль осей координат.

1.7. Тангенциальное, нормальное, полное ускорение

Пусть за элементарный промежуток времени dt мгновенная скорость получает приращение dV =V2 −V1 . Направление dV указано rна рисунке. Направление вектора a совпадает с направлением dV . Вектор ускорения направлен всегда во «внутреннюю область», охватываемую участком траектории. Проведем единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором V .

23

Этот вектор обозначим τ . Перпендикулярно τ внутрь траектории построим единичный вектор n . Вектор τ называется ортом касательной к траектории, а вектор nr – ортом нормали. Разло-

жим вектор ускорения a на составляющие вдоль касательной и нормали.

Очевидно, что aτ = dVdt . Здесь aτ – проекция тангенциаль-

ного ускорения на направления вектора мгновенной скорости.

24

Производная dτ в общем случае не равна нулю. Это означает,

rdt

что вектор τ , оставаясь неизменным по модулю, может ме-

нять свое направление в пространстве.

Рис. 1.6. Разложение ускорения на составляющие

Пусть частица перешла из 1 в 2 в течение бесконечно малого промежутка времени dt , пройдя при этом элементарный путь ds . Участок траектории ds настолько мал, что совпадает с малым участком окружности радиусом R и с центром О.

Проведем хорду 1-2, обозначим её длину dl . Очевидно, что

Уголмежду векторами τr1 ,τr2 равен dϕ , крометого τr1 = τr2 =1. Построенные треугольники подобны, следовательно,

а)

б)

26

в)

Рис. 1.7 (а, б, в). Расчет нормального и тангенциального ускорений

Из треугольника 1-2-0 видно, что при ds → 0 , dϕ → 0 . В этом случае, из треугольника векторов τr1 ,τ2 , dτ видно, что угол

дет с вектором нормали к вектору мгновенной скорости. Тогда

1.8. Особенноститангенциальногоинормальногоускорений

Рис. 1.8. Тангенциальное ускорение

Пусть частица имеет только тангенциальное ускорение. Запи-

скорости остается прежним. Тангенциальное ускорение приводит к изменению модуля мгновенной скорости. Направление скорости при этом не изменяется.

Пусть теперь имеется только нормальное ускорение. Запишем

dV = arndt .

Рис. 1.9. Нормальное ускорение

Вектор dVr направлен перпендикулярно вектору V . В результате за время dt направление вектора мгновенной скорости

Величину dt можно взять настолько малой, что слагаемым под корнем можно будет пренебречь по сравнению с единицей.

Следовательно, V ′=V. Нормальное ускорение приводит к изменению направления вектора мгновенной скорости. Модуль скорости при этом не изменяется.

29