- •Лабораторная работа №3
- •1. Теоретические указания
- •1.1 Конструирование схем на основе булевых выражений
- •1.2 Таблицы истинности для булевых выражений
- •1.3 Упрощение булевых выражений
- •1.4 Карты Карно
- •1.5 Карты Карно с тремя переменными
- •1.6 Карты Карно с четырьмя переменными
- •3. Содержание отчета
- •4 Контрольные вопросы
1.2 Таблицы истинности для булевых выражений
Булевы выражения это удобный метод описания принципа работы логической схемы. Таблица истинности это другой точный метод описания того, как работает логическая схема. Поскольку вы будете иметь дело с цифровыми электронными устройствами, вам нужно будет уметь преобразовывать информацию, представленную в форме таблицы истинности, в булево выражение.
Обратимся к таблице истинности, изображенной на рисунке 1.4 а. Заметьте, что только две из восьми возможных комбинаций двоичных сигналов на входах А, В и С дают на выходе логическую 1. Эти две возможные комбинации представлены выражениями (читается так: не С и В и А) и (читается так: С и не В и не А). На рисунке 1.4 б показано, каким образом эти две комбинации связываются логической функцией ИЛИ, чтобы получить булево выражение для данной таблицы истинности. Как таблица истинности на рисунке 1.4 а, так и булево выражение на рисунке 1.4 б демонстрируют принцип действия одной и той же логической схемы.
Рисунок 1.4 Построение булева выражения на основе таблицы истинности
В большинстве случаев конструирование логических схем начинается с составления таблицы истинности. Поэтому вы должны уметь преобразовывать информацию в форме таблицы истинности в булевы выражения так, как это делается в данном разделе. Запомните, что нужно искать те комбинации переменных, которые дают логическую 1 в таблице истинности.
Иногда вам придется выполнять процедуру, обратную только что рассмотренной, т.е. вы должны будете по известному булеву выражению восстанавливать таблицу истинности. Рассмотрим булево выражение на рисунке 1.5 а. Это выражение означает, что две комбинации входов А, В и С дают на выходе логическую l. На рисунке 1.5 б проиллюстрировано, каким образом мы находим нужные комбинации А, В и С, которые даны в булевом выражении, и отмечаем соответствующие единицы в столбце значений выхода. Все другие выходы в таблице истинности дают 0. Как булево выражение на рисунке 1.5 а, так и таблица истинности на рисунке 1.5 б исчерпывающим образом описывают действие некоторой логической схемы.
Рисунок 1.5 Построение таблицы истинности на основе булева выражения
Предположим, что нам задано булево выражение (рисунок 1.6 а). На первый взгляд кажется, что этому выражению должны соответствовать лишь два выхода с логической 1. Однако если вы внимательно посмотрите на рисунке 1.6 б, то увидите, что булево выражение на самом деле дает в столбце выхода три логических единицы. Следовательно, при анализе булевых выражений требуется особое внимание, чтобы не упустить из виду подобные неожиданности. Необходимо иметь твердую уверенность в том, что учтены все возможные комбинации входов, которые дают логическую единицу в таблице истинности. Булево выражение на рисунке 1.6 а и таблица истинности на рисунке 1.6 б описывают одну и ту же логическую схему.
Рисунок 1.6 Построение таблицы истинности на основе булева выражения
1.3 Упрощение булевых выражений
Рассмотрим булево выражение , приведенное на рисунке 1.7 а. В процессе составления логической схемы для данного булева выражения выясняется, что нам необходимы три элемента И, два инвертора и один элемент ИЛИ с тремя входами. На рисунке 1.7 б изображена схема, реализующая логику булева выражения . На рисунке 1.7, в дана таблица истинности для булева выражения и логической схемы, показанных соответственно на рисунке 1.7 а и б. Вы сразу можете узнать в ней таблицу истинности для логического элемента ИЛИ с двумя входами. Как показано на рисунке 1.7 г, упрощенное булево выражение для элемента ИЛИ с двумя входами есть . Такая схема ИЛИ с двумя входами в простейшей ее форме представлена на рисунке 1.7 д.
Рисунок 1.7 Упрощение булевых выражений
Пример, приведенный на рисунке 1.7, показывает, каким образом мы должны пытаться упростить заданное булево выражение, чтобы получить как можно более простую (а следовательно, и менее дорогую) логическую схему. В данном случае нам просто повезло, и мы догадались, что таблица истинности принадлежала элементу ИЛИ. Однако обычно приходится использовать более общие методы упрощения булевых выражений. Эти методы основаны на приложениях булевой алгебры и построении так называемых карт Карно.
Булева алгебра была развита Джорджем Булем (1815-1864 гг.). Эта алгебра в 30-х годах двадцатого столетия была применена для анализа цифровых логических схем; она является основой всех «хитростей», которые мы будем использовать для упрощения булевых выражений
Карты Карно-весьма практичный метод упрощения булевых выражений, известны и другие широко распространенные методы упрощения , булевых выражений: например, диаграммы Вейча, диаграммы Венна и табличный метод