2 курс. Ден. ФК / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

x1 – обсяг капіталовкладень, виділених на кроках 1-4; x2 – те саме на кроках 2-4;

x3 – те саме на кроках 3 і 4; x4 – те саме на кроці 4.

ki (i =1,n) – обсяги інвестицій на i -му підприємстві (ki = 0,1,2,3,4) . ki*(i =1,n) – оптимальні обсяги інвестицій на i -му підприємстві.

Рекурентне співвідношення для зворотного прогону від кроку 4-го до 1-го (від четвертого підприємства до першого) подається у вигляді:

fi* (x5 ) = 0 ,

останнього.

Тут fi* (x5 ) = 0 , оскільки п’ятого підприємства не існує.

Виконаємо поетапні розрахунки за цією моделлю.

140

Результати розрахунків відбиває таблиця:

за умов C2 (k2 ) ≤ X 2 , k2 = 0,1,2,3,4 .

141

Результати розрахунків відбиває таблиця:

f1*(x1) = max{D1(k1) + f2*(x1 −C1(k1))}

k1

за умов

C1(k1) ≤ X1 , k1 = 0,1,2,3,4 .

Знайдемо оптимальний план. Із таблиці першого кроку випливає,

що k1* =1, тобто для першого підприємства реалізується другий проект,

який використовує 1 млн. грн. інвестицій з ефективністю 5 млн. грн. Отже, для другого, третього і четвертого підприємств залишається 4-1=3

млн. грн. інвестицій. Із таблиці другого кроку маємо, що за умов x2 = 3

максимальний ефект настає в разі реалізації для другого підприємства

використати 2 млн. грн. інвестицій. Із таблиці третього кроку за умов x3 = 2 маємо, що k3 = 0 . Отже, x4 = 2 , а йому відповідають капітальні

142

вкладення k4 = 2 , ефективність яких 8 млн. грн. Остаточно маємо:

ефективність 4 млн. грн. інвестицій становить 3+4+8=15 (млн. грн.).

2. Підприємство розробляє стратегію поповнення запасів деякої продукції для заданого періоду часу, який складається з N етапів (півперіодів). Для кожного з них відомий розмір попиту, причому він не однаковим для всіх етапів. Щоб задовольнити попит, підприємство може придбати необхідну кількість продукції, замовивши її у виробника, або виготовити її самостійно. Передбачається, що запаси поповнюються миттєво, запізнення поставки та дефіцит неприпустимі. Залежно від ринкової кон’юнктури підприємству може бути вигідно створювати запаси продукції для задоволення попиту в майбутні періоди часу, що пов’язано, проте, з додатковими витратами на зберігання запасів.

Розробити програму управління запасами підприємства, тобто визначити обсяги замовлення й період його розміщення, щоб загальні витрати на постачання та зберігання продукції були мінімальними, а попит задовольнявся повністю й своєчасно.

Дані задачі вміщено в таблиці:

Відомо, що на початку планового періоду запас становить 2 тис. од., а під час купівлі продукції діє система оптових знижок. Витрати на придбання 1 тис. од. продукції становлять 15 тис. грн., а коли розмір замовлення перевищує 3 тис. од., витрати знижуються на 12 % і становлять 12 тис. грн.

Нехай –– кількість етапів планового періоду. Тоді для

i -го етапу застосуємо такі позначення: xi – запас продукції на початок

143

xN + yN = βN , yN ≥ 0 .

Розглянемо покроковий розрахунок оптимальної стратегії управління запасами.

Маємо β4 = 2

Можливі варіанти розв’язків ілюструє таблиця:

Завдання для самостійного розв’язання

3. Фірма повинна розробити календарну програму випуску однорідної продукції на N місяців. Прогноз попиту на продукцію відомий і складає dn (n=1…N) одиниць на місяць. Видатки фірми складаються з витрат на

144

виробництво та плати за зберігання продукції, що очікує на споживання. Місячні витрати на виробництво С(х) є функцією його обсягу. Плата за зберігання складає на місяць за одиницю продукції. Виробничі потужності забезпечують виготовлення Хmax одиниць продукції на місяць, а складські приміщення витримують зберігання не більше Іmax одиниць продукції.

4. Фірма повинна розробити календарну програму випуску однорідної продукції на N місяців. Прогноз попиту на продукцію відомий і складає d n (n = 1 … N) одиниць на місяць. Видатки фірми складаються з витрат на виробництво та плати за зберігання продукції, що очікує на споживання. Місячні витрати на виробництво C(x) є функцією його обсягу. Плата за зберігання складає h на місяць за одиницю продукції. Виробничі потужності забезпечують виготовлення X max одиниць продукції на місяць, а складські приміщення витримують зберігання не більше I max одиниць продукції.

N = 6

n 1 2 3 4 5 6 Dn 10 15 8 25 12 30

16 + 4x, x > 0

C(x) = 0, x = 0 , h = 2, X max = 20, I max = ∞.

5. Фірма повинна розробити календарну програму випуску однорідної продукції на N місяців. Прогноз попиту на продукцію відомий і складає

одиниць на місяць. Видатки фірми складаються з витрат на виробництво та плати за зберігання продукції, що очікує на споживання. Місячні витрати на виробництво С(х) є функцією його обсягу. Плата за

145

зберігання складає h на місяць за одиницю продукції. Виробничі потужності забезпечують виготовлення Xmax одиниць продукції на місяць, а складські приміщення витримують зберігання не більше Imax одиниць продукції.

а) N=8

n 1 2 3 4 5 6 7 8 Dn 4 4 4 4 4 4 4 4

Питання для самоконтролю

1.Переличте деякі економічні задачі, які розв’язуються методами динамічного програмування.

2.Сформулюйте принцип оптимальності задачі динамічного програмування?

3.Як знаходяться розв'язки економічних задач методом динамічного програмування?

Бібліографічний список до практичного заняття

[1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16].

Практичне заняття № 15-16

Тема 9. Теорія ігор і прийняття рішень

Мета заняття: Набути практичні навички розв'язання задач теорії ігор.

План заняття

1.Ігри з нульовою сумою.

2.Мішані стратегії в матричних іграх.

3.Розв’язання задач.

4.Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.

5.Зведення задачі лінійного програмування до матричної гри.

146

Методичні рекомендації до практичного заняття

При виконанні завдань необхідно звернутися до методичних рекомендацій до самостійної роботи з даної теми.

Завдання для практичного заняття

Навчальні завдання

1. Знайти нижню і верхню ціни гри, яка задана матрицею

Розв’язання. Матрицю гри розташуємо в табл. 7. Найменші

Гра не має сідлової точки, оскільки α < β.

147

2. Двоє гравців А і В розігрують гру з нульовою сумою, в якій А може записати одну з трьох цифр 0,1 або 2, а В – одну з двох цифр щ або 1. Якщо сума записаних цифр буде 3, то гравець А виграє 3 очки, якщо 2, то гравець В виграє 2 очки, а якщо 0 або 1, то виграш кожного гравця дорівнює 0. Записати матрицю гри, знайти нижню і верхню ціни гри.

Розв’язання. Нехай A(0) , A(1) , A(2) – стратегії гравця А, B(0) , B(1)

– стратегії гравця В. Таблиця виграшів гравця А має вигляд:

ціна (вона одночасно є нижньою і верхньою ціною) гри дорівнює нулю. Оптимальною стратегією гравця А є A(0) , а гравця В – B(0) .

Завдання для самостійного розв’язання

3. Для гри, заданої матрицею, знайти нижню і верхню ціни гри, максимінну і мінімаксну стратегії гравців; якщо існує сідлова точка, то вказати розв’язок гри в чистих стратегіях.

148

Питання до самоконтролю

1.Що називається конфліктною ситуацією?

2.Що таке гра?

3.Що таке хід гри?

4.Дайте визначення платіжної матриці.

5.Дайте визначення максимінної та мінімаксної стратегії.

6.Яка гра називається скінченою, парною?

7.Які властивості мають оптимальні стратегії гравців?

8.Дайте визначення понять виграш, ціна гри, нижня і верхня ціни гри.

9.У чому полягає ідея зведення задач теорії ігор до задач лінійного програмування?

Бібліографічний список до практичного заняття

[1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16].

Практичне заняття № 17-Модульний контроль

149