2 курс. Ден. ФК / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

штучну невідому y7 і отримаємо таку задачу:

співвідношенням (38 ), знайдемо X = (2;4) і Fmin = 103 .

Завдання для самостійного розвязання

130

131

Завдання для самостійного розвязання

Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте задачу дробово-лінійного програмування.

2.Які існують методи розв’язування задачі дробово-лінійного програмування? У чому їх сутність?

Бібліографічний список до практичного заняття

[1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16].

132

Практичне заняття № 12 Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Мета заняття: Набути практичні навички розв'язання задачі нелінійного програмування, використовуючи графічний метод та метод множників Лагранжа.

План заняття

1.Математична постановка задач нелінійного програмування.

2.Графічний метод розв’язання задач нелінійного програмування.

3.Метод множників Лагранжа розв’язання задач нелінійного програмування.

Методичні рекомендації до практичного заняття

При виконанні завдань необхідно звернутися до методичних рекомендацій до самостійної роботи з даної теми.

Завдання для практичного заняття

Навчальні завдання

1. Знайти максимальне значення функції

133

Розв'язання. Цільова функція (39) нелінійна, таким чином задача (39)-(40) є задачею нелінійного програмування. Областю допустимих рішень даної задачі є багатокутник ОАВС :

Отже, для знаходження її розв'язку потрібно визначити таку точку багатокутника ОАВС, у якій функція (3) приймає максимальне значення.

Побудуємо лінію рівня F = x2 − x12 + 6x1 = h де h — деяка постійна, і

будемо досліджувати її поведінку при різних значеннях h . При кожному значенні h одержуємо параболу, яка тим вище віддалена від осі Ох чим більше значення h (рис. 3). Таким чином, функція F приймає максимальне значення в точці торкання однієї з парабол із границею багатокутника ОАВС. У даному випадку це точка D , у якій лінія рівня торкається сторони АВ багатокутника ОАВС. Координати точки D можна знайти із системи рівнянь:

134

2. Знайти максимальне і мінімальне значення функції

Рис.4.

З рис. 4 ми бачимо, що цільова функція приймає мінімальне значення в точці F (4;3) , а максимальне - у точці C (13;10,5) . Отже,

Fmin =0 і Fmax =137,25.

135

3. Розв’язати задачу нелінійного програмування:

f = 4( −12,5x13 + 200x12 − 400x1 ) +35( −12,5x23 +150x22 −350x2 ) → max

за умов x1 + x2 =12 .

Із останнього рівняння цієї системи маємо: x1 =12 − x2 .

Підставивши значення x1 у (20), дістанемо:

−150(12 − x2 )2 +1600(12 − x2 )2 −1600 = −1312,5x22 +10500x2 −12250, або 1162x22 −8500x2 +11450 = 0 .

D=72250000-53219600=19030400.

D ≈ 4362.

Розв’язавши це квадратне рівняння, дістаємо x2(1) ≈1,78 ; x2(1) ≈5,53 .

Відповідно дістаємо: x1(1) ≈10,22 ; x12 ≈ 6,47 . Тобто сідловими точками є такі:

136

Перевіремо за допомогою достатньої умови існування екстремуму сідлову точку .

Матриця Гессе має такий вигляд:

Головні мінори утворюють знакозмінний ряд, починаючи з головного мінору 2-го порядку, наступний мінор визначається знаком

(−1)m+1 = (−1)2, тобто X1 є точкою максимуму.

Обчислимо значення цільової функції у цієї точці:

f (x1 = 6,47; x2 = 5,53) = 4(800 −523,26 +1294 −1200)647 +35(300 − −382,26 +829,5 −650)553 = 4625863.

Отже, цільова функція набуває максимального значення, якщо x1 = 6,47 ; x2 = 5,53.

Питання для самоконтролю

1.Сформулюйте алгоритм розв’язання задач нелінійного програмування графічним методом.

2.У чому сутність метода множників Лагранжа.

Бібліографічний список до практичного заняття

[1], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [13], [14], [15], [16].

137

Практичне заняття № 13

Поточний модульний контроль з теми:

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

План заняття

1.Загальна постановка задачі динамічного програмування та її геометрична інтерпретація.

2.Знаходження розв'язку економічних задач методом динамічного програмування.

Методичні рекомендації до практичного заняття

При виконанні завдань необхідно звернутися до методичних рекомендацій до самостійної роботи з даної теми.

Завдання для практичного заняття

Навчальні завдання

1. Фірма планує нарощувати виробничі потужності на чотирьох підприємствах, маючи для цього 4 млн. грн. Для кожного з підприємств розроблено інвестиційні проекти, які відбивають прогнозовані сумарні витрати C та доходи D , пов’язані з реалізацією кожного проекту. Зміст цих проектів ілюструє таблиця:

138

Перший проект передбачає відмовитися від розширення підприємства, а тому має нульові витрати і доходи. Розробити план інвестування виділених коштів у зазначені підприємства так, щоб одержати максимальний прибуток.

Розв’язування. Спрощеним і найменш ефективним способом розв’язування таких задач є перебір усіх можливих варіантів. Проте на практиці їх так багато, що проаналізувати всі і вибрати серед них найефективніший неможливо. Головними недоліками такого способу розв’язування є великий обсяг обчислень, відсутність апріорної інформації про неприпустимі розв’язки, а також неможливість скористатися проміжними результатами аналізу для відкидання неоптимальних комбінацій проектів.

Розв’яжемо цю задачу за алгоритмом (методом) зворотного прогону. Кроками задачі вважатимемо кожне з чотирьох підприємств, оскільки для кожного з них маємо вибрати оптимальний інвестиційний проект за обмежених грошових ресурсів.

Зауважимо, що в цьому разі нединамічний процес розглядаємо як динамічний, аби скористатися методами динамічного програмування для знаходження оптимального розв’язку. Зв’язок між зазначеними кроками забезпечується обмеженням на загальний обсяг виділених коштів – 4 млн. грн.

Змінні задачі візьмемо так, щоб послідовно керувати процесом розподілу коштів:

139