Класс экспоненциальных функций.

В классе экспоненциальных функций выделяются следующие функции:

; у = А(1-е^-Bх) + с; .

Рассмотрим каждую из них.

1. функция (27)

1.. Если напрямую использовать МНК, то Δ² имеет вид

и мы прейдем к системе нелинейных относительно коэффициентов А и В системе алгебраических уравнений. Ее решить гораздо труднее линейной.

Прологарифмируем (27) и получим функцию у*

y* = ln у = А+Вх (28)

Соответственно логарифмируются и величины определяемые экспериментально

(29)

После текущего преобразования необходимо минимизировать сумму новых квадратов

(30)

Для определения коэффициентов А и В можно использовать уравнения (18), в которые вместо величин нужно подставить:

(31)

(32)

2. Экспоненциальная функция

у=А(1-е^-Bх) + С (33)

Эта формула отличается от предыдущей независимыми от х членами А и С. Для их выделения продифференцируем (33) по х. Получим:

(34)

Также должны быть преобразованы и экспериментально полученные величины . Из них необходимо образовать отношения разностей

(35)

Это значит, что из N опорных величин можно вычислить только N - 1 производных. После такой подготовки можно прологарифмировать уравнения (34), (35), при чем уравнения (34) снова превращаются в уравнения прямой:

(36)

(37)

Соотношение разностей в общем случае не приведет к приращению абсцисс или , а даст некоторой точке на интервале между и . Для получения лучших приближений вводится значение абсциссы *.

Неизвестные коэффициенты прямой по уравнению (36) получаются с помощью выражений (18) как

(38)

(39)

Коэффициенты и также вычисляются из (18) путем замены

через ; у_п через ; N через N-1. (40)

Остается константа С, которая вызывает перемещение у параллельно оси X. Эту константу найдем из уравнения

, (41)

тогда

(42)

и

(43)

3. Экспоненциальная функция

(44)

Для линеаризации делают следующие шаги

-- в экспоненте заменяются наz с вычислением этого аргумента

-- новую функцию у = Ae^Bz логарифмируют

(45)

(это уравнение прямой с наклоном , которая пересекает ось ординат в точке );

-- экспериментально полученные величины y_t логарифмируются

-- коэффициенты вычисляются из формул

(46)

(47)

-- отсюда получают неизвестные коэффициенты

; (48)

2. Описание статических стохастических ОА с кодом О=(01γλ) может быть вьшолнено только вероятностным методом. Выходная координата такого объекта может быть определена только с определенной степенью вероятности.