10.2. Математическая статистика

Выборочный метод – статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов (генеральной совокупности) на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку (выборочной совокупности).

Объем совокупности – количество объектов этой совокупности.

Характеристики генеральной совокупности – это теоретические характеристики изучаемой СВ.

Характеристики выборки называют выборочными (статистическими, эмпирическими, опытными). Они являются статистическими аналогами соответствующих характеристик генеральной совокупности.

Если для исследования СВ Х выполняются опыты (эксперименты), то:

- генеральная совокупность (Г.С.) – множество всех возможных значений СВ Х;

- выборочная совокупность(выборка) – множество наблюдаемых ее значений, которые называютсявариантами(x₁, x₂, ..., x_n).

Будем обозначать: x_i - значение (варианта) СВ Х,

n - число всех вариант (объем выборки).

Размах варьирования

R = xнаиб. – xнаим.

10.21

Формула Стерджеса для определения длины x интервала статистического ряда

10.22

Количество k интервалов статистического ряда определяется по формулам:

10.23

Относительная частота (частость) значния х_i

(статистическая вероятность)

где ni – частота значения хi; n – число всех вариант.

10.24

Эмпирическая (статистическая) функция распределения

где nx – число выборочных значений хi, меньших х.

10.25

Выборочное среднее

(несмещенная, состоятельная оценка математического ожидания m_x)

или

10.26

где k – число интервалов (разрядов) в сгруппированном статистическом ряде.

Выборочная дисперсия

а)
или	10.27
б)
или	10.28

"Исправленная" выборочная дисперсия (s²)

(несмещенная, состоятельная оценка дисперсии ² Г.С.)

	10.29
или	10.30

Замечание. При большом объеме выборки Поэтому на практике исправленной дисперсией пользуются при малых объемах выборки (n < 20  30).

Выборочное среднее квадратическое отклонение

(стандартное отклонение)

	10.31
- "исправленное" стандартное отклонение	10.32
Выборочный коэффициент вариации
или	10.33
Выборочный центральный момент k -го порядка
, k = 1, 2, 3, 4.	10.34
Выборочные коэффициенты
а) ассиметрии	10.35
б) эксцесса или	10.36

Мода М₀ – варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана М_е – варианта, делящая статистический ряд на две равные части.

Точечные оценки параметров Г.С. (m_x, _x², _x)

Обозначим: - оценка параметра.

а)	- (см. формулу 10.26);
б)	- смещенная оценка дисперсии, применяют при большом объеме выборки (см. формулы 10.27 и 10.28);
в)	- несмещенная оценка дисперсии; применяют при малом объеме выборки (n < 20  30).

Интервальные оценки параметров Г.С.

Если тос надежностью.

В этом случае:  - доверительная вероятность (надежность);

- доверительный интервал для m_x;

 - предельная погрешность оценки m_x по выборочной средней.

Построение доверительного интервала для математического ожидания m_x с надежностью 

1) Пусть генеральная совокупность (Г.С.) имеет нормальное распределение.

а) Если известна дисперсия  ² генеральной совокупности, то

и	10.37
с надежностью .

Здесь t_ - корень уравнения  = 2Ф(t);

Ф(t) - функция Лапласа (см. прил. 1).

б) Если неизвестна дисперсия ² генеральной совокупности, то

	10.38
с надежностью .

Здесь  = 1 - ;  = n – 1 - число степеней свободы;

s - "исправленное" стандартное отклонение;

t _{, n-1} - квантиль распределения Стьюдента (см. прил. 3).

в) Из правила "трех сигм" следует простая (но менее точная) формула для :

(при известном ); (при неизвестном)

10.39

2) Если распределение Г.С. отличается от нормального, то

а) при большом объеме выборки применяют формулу (10.37), заменив  его точечной оценкой ;

б) при малом объеме выборки применяют формулу (10.38).

Для любого распределения

pi = P(xi-1 < X < xi) = F(xi) – F(xi-1)

10.40

Для нормального распределения

pi = P(xi-1 < X < xi) = Ф(ui) – Ф(ui-1),

10.41

где (Функция Лапласа).