- •§1. Первообразная и неопределенный интеграл: основные определения и теоремы
- •§2. Таблица основных интегралов
- •§3. Основные правила интегрирования
- •§4. Основные методы интегрирования
- •I Непосредственное интегрирование
- •II Метод замены переменной
- •II.1 Подведение под знак дифференциала
- •II.2 Метод подстановки
- •III Интегрирование по частям
- •§5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен
- •§6. Интегрирование рациональных функций
- •I Рациональные функции
- •1) ; 2); 3); 4).
- •II Интегрирование простейших дробей
- •III Интегрирование правильных рациональных дробей
- •§7. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
- •I Интегралы вида
- •II Интегралы вида
- •V Интегралы вида
- •III Квадратичные иррациональности: общий случай,
- •IV Интегрирование биномиальных дифференциалов:
V Интегралы вида
Для гиперболических функций имеются разнообразные формулы, аналогичные формулам тригонометрии. Приведем некоторые из них:
1) основное тождество – ;
2) формулы двойных углов – ;;
3) формулы понижения степени – ,.
Пользуясь этими формулами нетрудно рационализировать любой интеграл вида . Однако, на практике иногда проще выразить гиперболические функции через показательную функцию
и рационализировать интеграл подстановкой :
Примеры.
10.
.
11. .
§8. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
I Линейные и дробно-линейные иррациональности
Пусть – линейная или дробно-линейная функция. Интеграл видарационализируется подстановкой, где , так что числа – целые. Например, если, то,и, где– некоторая ра-циональная функция.
Аналогично нетрудно показать (рекомендуем сделать это! ), что если , тоии интегралснова рационализируется.
Пример 1.
.
II Квадратичные иррациональности: частный случай
В этой части параграфа рассмотрим интегралы вида и. В этих интегралах удается избавиться от иррациональности с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок, после чего рационализировать интеграл подстановками, рассмотренными в предыдущем параграфе.
II.1
.
С тем же успехом можно взять и ,.
II.2
a)
;
b)
.
II.3
a)
;
b)
.
Относительно интеграла необходимо сделать следующее замечание. Область определения радикаласостоит из 2-х частей:. Рассмотренные выше замены справедливы лишь для. Длятригонометрическая замена та же, нои, а гиперболическая замена имеет вид. В случае четной или нечетной подынтегральной функции можно пользоваться соответствующими свойствами первообразных (см. §1) и не рассматривать отдельно случай.
Примеры.
3.
Если учесть, что , то ответ можно упростить
.
4. . Здесь тригонометрическая замена приведет к сложно-му интегралу, поэтому лучше применить гиперболическую подстановку:,,. Имеем
.
Здесь на последнем шаге использована формула для и выражениечерез логарифм.
5. .
Для сделаем замену,, тогда,,и получим
.
Подынтегральная функция – четная, а полученная первообразная нечетная, значит результат справедлив и для .
III Квадратичные иррациональности: общий случай,
подстановки Эйлера
Интеграл вида выделением полного квадрата в подкоренном выражении и соответствующей заменой переменной можно свести к одному из интегралов, рассмотренных ранее.
Однако, существуют и прямые способы рационализации интеграла – это так называемые подстановки Эйлера. Новая переменная интегрирования вводится такими соотношениями:
1) если , то;
2) если , то;
3) если , то, где– один из корней квадратного трехчлена.
Возводя эти соотношения в квадрат и упрощая, можно убедиться в том, что , и радикал выражается через рациональным образом. Следовательно, данный интеграл рационализируется.
Предлагается студентам самостоятельно произвести все необходимые преобразования и применить эти подстановки к вычислению интегралов:
, ,.