§5. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен

В этом параграфе рассматриваем интегралы вида

, .

В квадратном трехчлене выделим полный квадрат , где, а. После этого интеграл можно разбить на сумму двух интегра-

лов. Например,

.

Интеграл в первом слагаемом – это , а во втором – арктангенс или «высокий» логарифм.

Аналогично для получим:

.

Здесь первый интеграл равен , а второй – это арксинус или «длинный» логарифм.

Примеры.

1.

.

2.

.

Замечание. Если , то интегралы ипосле выделения полного квадрата можно найти с помощью правилаIII из §3 (замена переменной не обязательна).

§6. Интегрирование рациональных функций

I Рациональные функции

Определение. Рациональной функцией (или рациональной дробью) называется отношение двух многочленов

.

При этом дробь называется правильной, если ; в противном случае дробь называется неправильной.

Из алгебры известно, что неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель «столбиком» можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

поэтому .

Интегрирование многочлена не представляет трудностей, поэтому надо сосредоточиться на интегрировании правильных дробей.

Среди всевозможных правильных дробей выделяют так называемые

простейшие дроби следующих четырех типов:

1) ; 2); 3); 4).

Здесь: ;– действительные числа, причем.

II Интегрирование простейших дробей

Правило III §3 позволяет сразу написать

,

.

Чтобы проинтегрировать дроби третьего и четвертого типов, следует выделить полный квадрат, сделать замену переменной и разбить интеграл на сумму двух интегралов. Например, для дроби третьего типа :

Для дроби четвертого типа аналогично будем иметь

Здесь интеграл вычисляется путем подведения под знак дифференциала:

Для интеграла во втором слагаемом можно вывести рекуррентную формулу, предварительно преобразовав его следующим образом:

Ко второму интегралу применим формулу интегрирования по частям, положив ,. Тогда, а– это уже вычисленный интеграл. Получим

,

.

Из последнего равенства и получим рекуррентную формулу

.

Эта формула позволяет последовательно вычислять интегралы для любого , опираясь на то, что

.

Вывод: интегралы от простейших рациональных дробей выражаются в конечном виде через рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

III Интегрирование правильных рациональных дробей

Сформулируем (без доказательств) две теоремы алгебры, которые позволяют свести интегрирование правильных дробей к интегрированию простейших.

Теорема 1. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно разложить единственным образом на множители двух типов: а) ли-нейные , б) квадратичные , где – действи-тельные числа. Эти множители могут быть простыми, если , и крат-ными, если .

Отметим, что линейные множители соответствуют действительным корням многочлена, а квадратичные – парам комплексных сопряженных корней.

Теорема 2. Всякую правильную рациональную дробь можно разложить на сумму простейших дробей; при этом:

a) линейному простому множителю в разложении знаменателя дроби на множители соответствует дробь 1^го типа ;

b) линейному кратному множителю соответствует сумма дробей 1^го и 2^го типов вида

;

c) квадратичному простому множителю соответствует дробь 3^го типа ;

d) квадратичному кратному множителю соот-ветствует сумма дробей 3^го и 4^го типа вида

.

Здесь , , – некоторые действительные числа, часть из которых может быть равна 0. Указанное разложение единственное (с точностью до порядка слагаемых).

Можно предложить следующий алгоритм разложения правильной дроби на простейшие слагаемые:

1) в соответствии с разложением знаменателя дроби на множители выписываем формальное разложение дроби на простейшие слагаемые с неизвестными коэффициентами;

2) приводим выписанную сумму дробей к общему знаменателю;

3) приравниваем числитель дроби, полученной в пункте 2), числителю исходной дроби;

4) равенство (тождественное!) многочленов, полученное в пункте 3) позволит нам найти неизвестные коэффициенты либо методом неопределенных коэффициентов ( т.е. приравнивая коэффициенты, стоящие при равных степенях х) либо методом частных значений (т.е. придавая переменной х конкретные – “ удобные ” – значения ).

Замечание. Метод частных значений особенно удобен в случае прос-тых действительных корней знаменателя разлагаемой дроби. Можно ком-бинировать оба метода определения неизвестных коэффициентов.

Примеры. 1. Разложить на простейшие слагаемые дробь

1^й шаг: пишем формальное разложение

2^й шаг: приводим сумму дробей к общему знаменателю

3^й шаг: приравниваем числители

4^й шаг: метод неопределенных коэффициентов дает систему уравнений

Отсюда :Искомое разложение имеет вид

Теперь, если понадобится, легко найти интеграл

2. Вычислить .

Имеем:

Отсюда следует тождество:

Для определения коэффициентов положим в этом тождестве последовательно . Сразу получим:, т.е. ,,. Окончательно имеем:

3.

Разложение на простейшие дроби здесь достигается путем незамысловатых преобразований:

Искомый интеграл равен

В заключение сформулируем основной результат данного параграфа: интегралы от рациональных функций выражаются в конечном виде с помощью рациональных функций, логарифмов и арктангенсов. Иными словами, всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

В связи с этим интегралы от иррациональных и трансцендентных выражений стараются специально подобранными подстановками рационализировать, т.е. свести к интегралам от рациональных функций. Этим подстановкам и будут посвящены следующие параграфы.