12.5 Дискретное описание в пространстве состояний

При использовании в системах управления цифровой ЭВМ сбор данных и выработка управляющих сигналов происходят только в опреде­ленные моменты времени. Ситуация принципиально не меняется при повышении скорости процессора - данные остаются дискретными выбор­ками непрерывного сигнала. В соответствии с дискретным характером модели измеряемые данные собираются через регулярные интервалы времени. Эти интервалы не обязательно должны быть одинаковыми, од­нако описание дискретной динамической модели проще при постоянном интервале времени. Данный процесс называется выборкой, дискретиза­цией (sampling) или квантованием, величина интервала времени - пе­риодом дискретизации (sampling time) или квантования. Будем считать, что измеряемые данные и сигналы управления остаются неизменными в течение интервала выборки.

Нелинейный процесс, описанный дифференциальными уравнениями, можно ап­проксимировать разностным уравнением

x[(k+1) h] ~ x(kh) + hf(x,u),

где h - интервал выборки и k - его порядковый номер; f(x,u) - производ­ная по времени вектора состояния системы х. Аппроксимация справедлива, если h достаточно мал и производная функции гладкая.

Линейная система с постоян­ными коэффициентами в дискретном виде может быть представ­лена следующим образом:

x₁[(k+l)h]=(1+ha₁₁)x₁(kh)+...+ha_1nx_n(kh) +...+ hb₁₁u₁(kh) +…+ hb_1ru_r(kh);

…………………………………………………………………………………………

x_n[(k+l)h]=(1+ha_n1)x₁(kh)+...+ha_nnx_n(kh) +...+ hb_n1u₁(kh) +…+ hb_nru_r(kh);

Предполагается, что сигнал управления u(t) остается постоянным между моментами выборки, т.е. система включает в себя схему удержания или выборки/хранения.

Аппроксимация конечными разностями стремится к точ­ному решению при малых значениях h интервала выборки. Решение уравнений дискретной модели

y(kh)=Cx(kh)+Du(kh)

на цифровой ЭВМ получается в последовательные моменты времени на основе решения шаг за шагом разностных уравнений. Поскольку измере­ния происходят периодически, то уравнение для дискретной моде­ли справедливо только в моменты выборки.