12.2. Описание управляемых систем во временной и частной областях

Как правило, моделирование сложной системы представляет со­бой процесс, требующий экспериментальной проверки. При физическом подходе модель формируется исходя из физических соотношений и урав­нений баланса. При другом способе построения динамической модели в технический процесс вносятся определенные возмущения, а затем вы­полняется анализ серий входных и выходных данных. Такой анализ на­зывается идентификацией параметров (parameter identification) [1,2]. Если он выполняется в реальном масштабе времени, т.е. со скоростью, сопоставимой со скоростью протекания процесса, то такая процедура называется рекурсивной оценкой (recursive estimation) [3].

На практике обычно применяется комбинирование физического моделирования и идентификации параметров. При более глубоком изу­чении свойств процесса становится проще получить его точное динами­ческое описание. Однако даже тщательно разработанные модели, осно­ванные на физическом подходе, требуют экспериментальной проверки -идентификации.

Моделирование систем, работа которых основана на последова­тельности дискретных событий, принципиально отличается от моделиро­вания динамических систем. Для управления температурой, уровнем жидкости или давлением на основе дискретной обратной связи модель процесса фактически не нужна (пример - работа шахтного водоотлива). В этом случае значение контролируемого параметра поддерживается на заданном уровне с определенной точно­стью с помощью включения и выключения исполнительного механизма. При таком бинарном управлении уже на стадии анализа системы должны быть рассмотрены все возможные нештатные и аварийные ситуации. Что будет, если выйдет из строя датчик или отключится питание? Разработка полного перечня всех возможных событий в системе может быть доста­точно сложной задачей. Нужно сказать, что для горных машин этот тип систем управления в настоящее время наиболее распространен.

Физический подход к моделированию динамических систем ос­нован на уравнениях баланса сил, массы, энергии и моментов. Математи­ческой основой динамической модели любой механической системы яв­ляются законы Ньютона. При этом вводится некоторая система отсчета, относительно которой определяются положение, скорость и ускорение звеньев механизма. Для механической системы (рис. 12.1), характерной для многих технических устройств, обладающих упруго-диссипативными свойствами, уравнение состояния для этой системы с учетом сил демпфиро­вания и инерции запишется в следующем виде:

Рисунок 12.1 Расчетная схема кинематического механизма с упругой связью и демпфированием

.

Данное уравнение является математической моделью поведения подвижной массы при силовом воздействии на нее. Оно может использо­ваться для описания многих механизмов. Качественно решение уравне­ния зависит от относительной величины коэффициентов демпфирования b и жесткости с. При малом коэффициенте демпфирования уравнение описывает колебательный процесс, а при больших значениях b колеба­ния отсутствуют.

Часто масса или момент инерции звеньев может быть непостоянной вели­чиной, например, при работе промышленного робота или другого рычажного механизма, и нужно учитывать его зависимость от времени и фазовых коор­динат объекта. Момент сопротивления нагрузки также зависит от многих факторов. Силы трения (сухое трение) вызывают момент сопротивления, который не зависит от скорости, а только от направления вращения и действует всегда против него. В некоторых системах присутствует вязкое трение с моментом сопротивления, характеризующимся коэффициентом Стокса (кинематическая вязкость).

Первое систематическое изучение устойчивости систем с обрат­ной связью выполнил Джеймс С. Максвелл. В 1868 году Максвелл вывел дифференциальные уравнения маятникового регулятора, линеаризовал их в окрестности точки равновесия и показал, что устойчивость системы зависит от корней ее характеристического уравнения. В 1932 году аме­риканец шведского происхождения Гарри Найквист опубликовал свою знаменитую теорему о том, как определить устойчивость по форме час­тотной характеристики. Критерий Найквиста в момент своего появления считался революционным. В те времена военные считали эту теорему настолько важной, что США держали ее в тайне до конца Второй миро­вой войны.

В большинстве случаев технические процессы сложны и нели­нейны, что не позволяет исследовать их классическими методами теории автоматического управления. В 1950-е годы некоторые исследователи вернулись к описанию систем посредством обыкновенных дифференци­альных уравнений для задач управления процессами. Такое направление стимулировалось американской и советской космическими программами, поскольку обыкновенные дифференциальные уравнения представляют собой естественную форму описания динамики космических кораблей. Применение цифровых вычислительных машин потребовало новых мате­матических методов решения задач моделирования. Инженеры работали с дифференциальными уравнениями состояния, а не с частотными или характеристическими уравнениями. Появились новые фундаментальные понятия - управляемость, наблюдаемость и обратная связь по перемен­ным состояния. Стало возможным описывать и исследовать сложные сис­темы в терминах обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения, описывающие физический про­цесс, необходимо преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае говорят, что получено описание в виде уравнений состояния в пространстве состояний (state-space form). В таком виде эти уравнения можно решать численными ме­тодами. При этом достаточно четко прослеживается связь между внутренними переменными и внешними входным и выходным сигналами. Для представленного выше примера

В общем случае уравнения баланса нелинейны и, как правило, связаны друг с другом. Таким образом, описание динамики процесса мо­жет представлять собой набор нелинейных, связанных между собой дифференциальных уравнений первого порядка для баланса энергии, общей массы, массы компонентов, сил и моментов.

Уравнения состояния представляют собой практичный и удобный способ описания динамических систем. Состоянием называется набор всех пе­ременных - так называемых переменных состояния (state variables), про­изводные первого порядка которых входят в уравнения описания дина­мической системы. (координата и скорость массы в рассматриваемом примере). Концепция уравнений состояния имеет фундамен­тальное значение. Если известны текущее состояние системы (перемен­ные состояния) и входные воздействия, то можно предсказать ее даль­нейшее поведение. При этом предысторию, т.е. как было достигнуто те­кущее состояние, знать не нужно. Другими словами, текущее (начальное) состояние - это минимальное количество информации о системе, которое необходимо, чтобы предсказать ее будущее поведение.

Состояние х можно представить как вектор-столбец, компоненты которого - переменные состояния.

X = (x₁, x₂, … x_n )^T

Непосредственно измерить все переменные состояния можно в редких случаях (существуют внутренние переменные, за которыми не удается следить с помощью датчиков). Выходные величины (измеряемые параметры) образуют вектор у

Y = (y₁, y₂, … y_m )^T

Поэтому описание в пространстве состояний называют также внутренним описанием (internal description).

В общем случае число датчиков, связанных с техническим про­цессом, меньше числа переменных состояния. Поэтому вычисление пе­ременных состояния х по текущим значениям у выходных (измеряемых) параметров - нетривиальная задача.

На любую техническую систему влияют входные сигналы двух типов - сигналы, которыми можно управлять, и сигналы, которыми управлять невозможно. Сигналы первого типа называются управляющи­ми сигналами или переменными управления, и составляют вектор u,

u = (u₁, u₂, … u_k )^T

Входные сигналы второго типа могут влиять на систему, но не поддаются управлению. Величина этих сигналов отражает влияние внешней среды на систему, например изменение нагрузки, вызванное температурой, радиацией, магнитным воздействием и т.п. Все эти сигна­лы обозначим вектором v.

v = (v₁, v₂, … v_r )^T

Целью системы управления является вычисление на основе имеющихся измерений у таких управляющих сигналов u, чтобы, несмотря на влияние возмущении v, техническая система выполняла постав­ленные задачи. Управляемую систему можно представить в виде струк­туры, на которой показаны управляющие силы, силы возмуще­ния и выходные переменные (рис.12.2).

Рисунок 12.2. -Обобщенное представление управляемой системы