Лабораторная работа №7
Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях постоянного тока.
Цель работы: исследовать характер переходных процессов в цепях, описываемых дифференциальными уравнениями первого порядка: по осциллограммам напряжений на элементах схемы определить постоянные времени исследуемых электрических цепей.
Согласно закону Ома в дифференциальной форме ток конденсатора равен:
,
и если UC = const, то iC = 0, т.е. в цепях постоянного тока конденсатор обладает бесконечно большим сопротивлением. Аналогично напряжение на индуктивности равно:
,
и если iL = const, то UL = 0, т.е. в цепях постоянного тока индуктивность представляет собой короткое замыкание.
Конденсатор
и индуктивность в цепях постоянного
тока запасают энергию: конденсатор -
электростатическую
,
а индуктивность - электромагнитную
.
Процесс накопления энергии не может
происходить мгновенно, поэтому при
включении, выключении или изменении
параметров цепи происходит изменение
энергии, а поэтому ток конденсатора и
напряжение на индуктивности не равны
нулю, а изменяются по вполне определенному
закону до тех пор, пока не будет запасена
соответствующая энергия. Процессы,
связанные с изменением энергии в
конденсаторах и индуктивностях,
называются переходными процессами и
имеют место при любой коммутации цепи.
Из выражений для iC и UL следует, что напряжение на конденсаторе и ток в индуктивности не могут изменяться скачком (законы коммутации), т.е. значения этих величин до коммутации равны значениям после коммутации. Значения напряжений и токов в цепи до коммутации называют начальными условиями. Для того, чтобы получить закон изменения тока или напряжения на любом участке цепи во время переходных процессов, необходимо составить уравнения по закону Ома и Киргофа в дифференциальной форме и решить полученное дифференциальное уравнение. Частное решение дифференциального уравнения, т.е. решение уравнения с правой частью, дает установившиеся или принужденные значения напряжений и токов в цепи, т.е. значения напряжений и токов после окончания переходных процессов. Общее решение дифференциального уравнения (с нулевой правой частью) дает свободные составляющие напряжений и токов в цепи, характеризующих переходный процесс в цепи. Полные значения напряжений и токов в цепи находятся как сумма принужденной и свободной составляющих:
Закон
изменения свободных составляющих во
времени одинаков для всех напряжений
и токов данной цепи. Для схемы рис.7.1а
можно составить уравнение по законам
Ома и Киргофа:
После дифференцирования получим:
Так как правая часть полученного уравнения равно нулю, то принужденное значение тока в цепи равно нулю:
Iпр = 0.
Для нахождения общего решения дифференциального уравнения запишем характеристическое уравнение и найдем его корни:
Для уравнений первого порядка решение находится в виде:
где
А
- постоянная интегрирования, находится
исходя из начальных условий. Если UC(0)
= 0, то при включении схемы
, с другой стороны:
iп(t)
= iпр
+ iсв(t)
= 0 +
;
iп(0)
= A;
.