3.5 Оценка результатов при малом числе наблюдений «n» и неизвестной дисперсии «».

Вычисляемая по отклонениям от среднего арифметического оценка СКО «S» является лишь приближенным значением истинного СКО «», т.е. некоторым приближением к нему. Определение размера доверительного интервала по заданной доверительной вероятности «Р» и оценке СКО «S» (или наоборот - доверительной вероятности «Р» для заданного размера доверительного интервала) оказывается тем менее надежным, чем меньше число наблюдений в серии. Стьюдент указал на возможность при малом числе наблюдений определять доверительную вероятность (или размер доверительного интервала) для среднего арифметического в тех случаях, когда неизвестно значение истинного СКО «», а известна оценка СКО «S». В этом случае значение коэффициента Стьюдента t_р следует определять в зависимости от числа наблюдений «n» и принятой доверительной вероятности «Р». Для практического применения служат специальные таблицы, где даны значения t_р для различных «Р» и «n» (иногда в таблице вместо доверительной вероятности «Р» указывается «уровень значимости», равный «1-Р»).

Приклад 1.

Електронним вольтметром на діапазоні (0,2...2) В виконано багаторазове вимірювання відомої е.р.с. джерела опорної напруги Е₀ = 1,260 В. Шляхом подальшої статистичної обробки отриманих результатів потрібно:

1) оцінити результат багаторазового вимірювання (); у якості результатів спостережень застосувати наступні (грубі похибки з результатів спостережень виключені):

U1	U2	U3	U4	U5	U6	U7	U8	U9	U10	U11	U12
1,256	1,243	1,264	1,223	1,237	1,247	1,226	1,213	1,254	1,224	1,227	1,254

2) визначити поправку, яку слід внести в результати вимірювання – П_u;

3) оцінити середнє квадратичне відхилення (СКВ) випадкового розсіювання результатів спостережень – та СКВ результату багаторазового вимірювання (середнього арифметичного результатів спостережень) - ;

4) оцінити інструментальну складову похибки вимірювання (абсолютну), обумовлену класом точності застосованого вольтметру – ; межу відносної похибки вольтметру, що припускається, визначити (у відсотках) за формулою:

;

5) оцінити довірчу межу абсолютної невиключеної систематичної похибки (НСП) результату вимірювання - ;

6) оцінити підсумкову похибку результату багаторазового вимірювання з урахуванням обох складових – випадкової та НСП.

Розв’язання прикладу.

1) Результат багаторазового вимірювання визначаємо за наступною формулою, вважаючи розподіл результатів спостережень нормальним:

 В.

2) Визначаємо різницю результату вимірювання та напруги Е₀; цю різницю за певних умов (дивись далі) можна вважати систематичною складовою похибки результатів спостережень:

(1,239 – 1,260) В = -0,021 В.

Розсіювання наданих результатів спостережень свідчить про наявність в них випадкових похибок. Це означає, що і середнє арифметичне результатів спостережень, яке обчислено на кінцевій безлічі результатів спостережень, теж обтяжено випадковою похибкою. Тому правомірно стверджувати, що систематична похибка визначена приблизно – з точністю до випадкової похибки середнього арифметичного. Отже, говорити про вміст в результатах спостережень систематичної похибки можна лише з деякою імовірністю. Тому стверджувати, що результат вимірювання  = 1,239  В вміщує систематичну похибку  = -21 мВ можна з певною імовірністю, якщо модуль оцінки систематичної похибки буде більший за довірчу межу випадкової похибки результату вимірювання.

З урахуванням наведеного вище далі визначаємо СКВ випадкового розсіювання результатів спостережень та СКВ середнього арифметичного :

1,63∙10^-2 В;

 4,7∙10^-3 В.

Довірчу межу випадкової похибки результату вимірювання (середнього арифметичного) визначаємо у наступний спосіб:

.

Тут - значення коефіцієнту Стʼюдента (обрано у таблиці за довірчою імовірністю та ).

Оскільки при Р = 0,95 довірча межа випадкової похибки результату вимірювання менша за 21 мВ, робимо висновок, що з вірогідністю Р = 0,95 в наведених результатах спостережень присутня постійна систематична похибка  -21 мВ. Поправка, яку слід внести в результати спостережень, дорівнює:

П_u = – Δ_s = 21 мВ.

3) Визначаємо довірчу межу відносної похибки вольтметру, що припускається:

.

Довірчу межу абсолютної похибки вольтметру (абсолютну інструментальну похибку вимірювання) визначаємо наступним чином:

В.

4) У даному прикладі НСП результату вимірювання () обумовлена лише інструментальною похибкою, тобто похибкою вольтметру. Довірчу межу абсолютної НСП результату вимірювання визначаємо у відповідності до формули (1.6) наступним чином:

,

де приймаємо k = 0,95 при Р = 0,9 чи k = 1,1 при Р = 0,95.

.

5) Довірчу межу підсумкової похибки результату вимірювання з урахуванням обох складових – випадкової та НСП – визначаємо у наступний спосіб:

- визначаємо відношення довірчої межі абсолютної НСП результату вимірювання до СКВ результату багаторазового вимірювання (середнього арифметичного):

;

відношення  < 0,8; отже робимо висновок, що основний внесок у підсумкову похибку вимірювання дає випадкова складова. Тому довірчу межу підсумкової похибки результату вимірювання визначаємо у такий спосіб:

;

- записуємо виправлений результат вимірювання (з виключенням систематичної похибки) у вигляді інтервальної оцінки, застосовуючи правила округлення:

 -21 мВ,