3.4. Оценка результатов измерений с помощью интервалов.

Представление результата измерения с использованием точечных оценок является не единственным способом записи итога измерений. Его целесообразно применять, если полученный результат многократного измерения планируется использовать для последующих расчетов или для сравнения с другими результатами измерений. Если же результат измерения окончателен, его целесообразно предоставлять в виде интервальной оценки, которую характеризует размер доверительного интервала, накрывающий действительное значение измеряемой величины с заданной (доверительной) вероятностью Р.

В теории вероятностей отмечается, что смысл оценки параметров функции распределения с помощью интервалов заключается в нахождении размеров интервалов, называемых доверительными, в пределах которых с определенными (доверительными) вероятностями находятся истинные значения оцениваемых параметров функции распределения.

Ранее, говоря о характеристиках нормального распределения, мы отмечали, что вероятность появления случайной погрешности, не превышающей значения ±, равна 2/3. В этом случае + и – следует рассматривать как границы интервала, в пределах которого с вероятностью Р=2/3 лежат значения случайных погрешностей, а значит и истинное значение измеряемой ФВ. Заданными могут быть любые границы интервала; следовательно, необходимо определить соответствующую им вероятность. Может решаться и обратная задача: по заданной вероятности определить границы доверительного интервала.

Доверительный интервал (рано, как мат. ожидание и дисперсия или СКО) — величина неслучайная и его ширину можно рассматривать в качестве допустимого значения погрешности измерения величины Х с доверительной вероятностью Р. Ясно, что чем больше размер (ширина) доверительного интервала, тем с большей вероятностью попадает в него истинное значение измеряемой ФB — это с одной стороны. С другой стороны, чем больше разброс результатов наблюдений, характеризуемый дисперсией, тем меньше доверительная вероятность при одном и том же размере доверительного интервала. Эти два принципиальных положения положены в основу определения ширины доверительных интервалов.

Предположим, что распределение результатов наблюдений нормально, известно СКО результатов наблюдений , систематические погрешности из результатов наблюдений исключены, т.е. погрешность результата измерения определяет только случайная составляющая. В теории вероятностей доказано, что этом случае:

P[(X–t_p)Q(X+t_p)]=2Ф(t_p) – 1.

Это означает, что истинное значение измеряемой ФВ с доверительной вероятностью P, равной (2Ф(t_p)–1), находится между границами доверительного интервала [(X–t_p); (X+t_p)], где Ф(t_p) — некоторое значение интегральной функции нормированного нормального распределения; Х — результат любого из наблюдений.

Половина ширины доверительного интервала —  = t_p — называется доверительной границей случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для нахождения значения «» при заданной доверительной вероятности Р по таблицам находят значение коэффициента Стьюдента t_p, как функцию доверительной вероятности Р, и рассчитывают доверительное отклонение  = t_p при известном значении СКО .

Проведение измерений с многократными наблюдениями позволяет значительно сократить ширину доверительного интервала. Действительно, если результаты наблюдений x_i (i=1, 2, 3, ..., n) распределены нормально, то распределены нормально величины «x_i/n» и среднее арифметическое , являющееся их суммой. Поэтому справедливо следующее равенство:

P[(–t_p)  Q  (+t_p)]=2Ф(t_p)–1.

где - СКО среднего арифметического, а коэффициента Стьюдента t_p определяется заданной доверительной вероятностью Р.

Полученный доверительный интервал [(–t_p); (+t_p)], построенный с помощью среднего арифметического из n независимых повторных наблюдений, в раз короче доверительного интервала, вычисленного по результату одного наблюдения, хотя доверительная вероятность для них одинакова. Это говорит о том, что сходимость измерений и их точность растет пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Половина ширины этого интервала

называется доверительной границей погрешности результата измерений.

Итог измерений с помощью интервалов записывается в следующем виде:

… .

Запись результата измерений с помощью интервальных оценок ясно указывает, что итог измерений не есть одно определенное число; в результате измерений мы получаем «полосу значений измеряемой величины» с несколько расплывчатыми границами, определяемыми принятой доверительной вероятностью.