Литература Инж графика / 03 Коломиец НГ 2

31

зі сферою на перетвореному зображенні, а потім зворотним перетворенням

знайти ці точки на вихідних проекціях.

Якщо через пряму проводиться площина загального положення, то її до-

цільно провести через центр сфери. Тоді ця площина перетинає сферу по ве-

ликому колу і перетворення креслення слід виконати способом обертання на-

вколо лінії рівня. У цьому разі коло перетину сфери з площиною збігається з

проекцією екватора чи головного меридіану, дивлячись навколо якої лінії рі-

вня обертається допоміжна площина.

Коли ж через пряму l проводиться проекціювальна площина, то перетво-

рення слід виконати якимось зі способів, наприклад, способом заміни площин

проекцій або обертання навколо проекціювальної осі.

Приклад 2. Побудувати точки перетину прямої l зі сферою (рис. 11.5).

Через пряму l проводимо горизонтально проекіювальну площину Σ(Σ1) і

змінюємо площину П2 на нову площину П4, яка паралельна площині Σ. Для

побудови

додат-

12

кової

проекції

l4

прямої l на ній не-

M2

обхідно взяти

дві

які-небудь точки,

l2

наприклад,

1(11,

12) та 2(21, 22). Ви-

користовуючи

ви-

соти

цих

точок,

0

14

будуємо

їхні про-

Z

N2

l4

екції 14 та 24. Спо-

x

22

P2

M4

лучаємо їх і отри-

1 2

P1

муємо проекцію l4

прямої

l.

Далі

11

O4

проводимо

коло

a4, його діаметр

видно на горизон-

M1

Z0

a4

тальній проекції, а

O1

центр

віддалений

N4

від осі x14 на такій

l1 ≡S1

самій

відстані,

як

N1

24

центр

сфери

від-

P4

далений

від

пло-

21

P1

x1 4

щини П1 (показа-

но фігурною дуж-

кою). Коло a4

Рис. 11.5

Лiнiя перетину двох кривих поверхонь у загальному випадку є

просторовою кривою, яка будується за окремими точками. Загальнi принципи

побудови цих точок досить схожi з тими, що були розглянутi у попереднiй

темi. Загальнi точки для двох поверхонь (точки

лiнiї перетину їх) можуть

бути побудованi як точки перетину

твiрних

однiєї поверхнi з іншою

поверхнєю. Проте частiше лiнiя перетину поверхонь у загальному випадку

будується за допомогою допомiжних поверхонь - посередникiв, про що

йтиметься далi.

У залежності вiд положення поверхонь, що перетинаються, щодо пло-

щин проекцiй, а також виду самих поверхонь побудови їхніх лiнiй перетину

можуть бути досить простими, чи достатньо складними. Аналогiчно з багато-

гранними поверхнями видiлимо i розглянемо детальнiше три характерних ви-

падки.

Випадок 1. Перетинаються два рiзнойменно проекціювальнi цилiндри

(рис.

11.8).

В

цьому

E2 ≡F2

E3

F3

разi вже є дві (у наве-

A3 ≡C3

B3 ≡D3

деному прикладi фро-

A2 ≡B2

C2 ≡D2

нтальна

та

горизонта-

K3 ≡M3

L3 ≡N3

льна) проекцiї лiнiї пе-

K2 ≡L2

M2 ≡N2

ретину i розв’язування

задачi

зводиться

до

розпiзнання й позна-

чення

вiдповiдних

G2 ≡H2

G3

H3

проекцiй

точок

цiєї

лiнiї, а також побудо-

ви, якщо необхiдно,

третьої проекцiї.

на

E1 ≡G1

Наприклад,

горизонтальнiй

про-

K

A

C

M1

екцiї на колi, в яке

1

1

1

проекціюється

верти-

кальний цилiндр, бе-

ремо

будь-яку

точку

L

N

А(А1). Їй вiдповiдає

1

B1

D1

1

фронтальна

проекцiя

F1 ≡H1

А2, що розташована на

колi, в яке проекцію-

ється поверхня фронтально

Рис. 11.8

проекціювального

34

цилiндра. Профiльна проекцiя А3 точки А будується, як звичайно, за лiнiями

зв’язку за допомогою постiйної прямої креслення або за координатами.

Випадок 2. Перетинається проекціювальна поверхня з непроекціюваль-

ною (наприклад, фронтально проекціювальний цилiндр з конусом (рис. 11.9).

У цьому випадку одна

проекцiя

лiнiї перетину вже є. Вона збігається з про-

екцiєю бiчної поверхнi проекціювального цилiндра. Друга проекцiя лiнiї пе-

ретину будується за умови належностi її iншiй (непроекціювальній) поверхнi.

У наведеному на рис. 11.9 прикладi фронтальна проекцiя лiнiї перетину

збігається з колом, у яке спроекціювалась бiчна поверхня цилiндра. Горизон-

тальну проекцiю шуканої лiнiї будуємо як лiнiю, що розташована на по-

верхнi конуса.

За звичай, побудова лiнiї

перетину починається з визна-

Γ2

12

C2

≡D2

A2

чення характерних (опорних)

Λ2

точок: найвищої i найнижчої,

K2 ≡L2

границь видимостi лiнiї перети-

ну, точки дотику її до крайнiх

G2 ≡H2

твiрних поверхонь тощо. Іноді

Θ2

проекції

деяких точок можуть

бути побудовані без додаткових

M2 ≡N2

B2

побудов. Наприклад, горизонта-

Σ2

P2 ≡Q2

льні проекції А1 і В1 точок А і В

E2

≡F2

перетину крайньої правої твір-

2

ної конуса з циліндром знайдені

за лініями зв’язку.

Горизонтальнi

проекцiї

E1

всiх інших точок лiнiї перетину

M1

знаходимо за допомогою гори-

G1

P1

зонтальних

допомiжних

пло-

K1

C1

щин. Наприклад, верхнi точки

C(C1, C2) та D(D1, D2) побудо-

ванi

за

допомогою

площини

O1

A1 B1

Г(Г2). Слiд Г2 проводимо через

точки C2 ≡ D2. Площина Г пере-

тинається з конусом по колу, що

проходить через точку 1 (11, 12).

H1

L

D1

Q

1

Проводимо коло через точку 11

1

iз центра О1 i за лiнiєю зв’язку

N1

F1

знаходимо на ньому точки C1 та

D1. Аналогiчно побудованi гори-

зонтальнi проекцiї E1, F1 нижнiх

Рис. 11.9

точок E i F за допомогою

та b, по яких ця поверхня перетинається з вихiдними поверхнями

Ф1 та Ф2. У перетинi лiнiй a і b

дiстаємо точки A, В, ... , якi на-

лежать обом заданим поверхням,

Φ1

тобто їхній лiнiї перетину. Пове-

Φ2

рхонь Σ має бути стiльки, щоб

дiстати достатню кiлькiсть точок

для проведення плавної кривої

B A

b

лiнiї перетину. Вид i положення

Σ

a

поверхонь Σ вибираються так,

щоб вони перетинали заданi по-

верхнi по найпростiших лiнiях, -

прямих чи колах, - якi i проекці-

юються у найпростiшi лiнiї -

прямi чи кола. Якщо як посередник

Рис. 11.10

використовується площина, то

37

проекції проводимо коло радіусом О 3

1

із центра О , та коло радіусом О1 4

1

-

1

1

1

із центра О1 . У перетині цих кіл маємо точки Е

та F . За лініями зв’зку зна-

1

1

1

ходимо фронтальні проекції Е2 і F2 точок Е та F на слідовіпроекції площини

( 2).

На рис. 11.12 представлено ще один приклад застосування допомiжних

площин. Тут вертикальний цилiндр перетинається з напiвкiльцем (тором).

Допомiжнi площини розташовують фронтально. Кожна така площина пере-

тинає напiвкiльце по двох напiвколах, а цилiндр - по двох прямих. У перетинi

цих лiнiй маємо точки, що належать лiнiї перетину поверхонь. У прикладi

показана побудова точок А(А1, А2), В(В1, В2), С(С1, С2), D(D1, D2). Цей прик-

лад схожий на випадок, представлений на рис.11.9. Оскiльки цилiндр перебу-

ває у вертикальному положенні, то горизонтальна проекцiя лiнiї перетину збі-

гається з колом, у яке проекціюється його бiчна поверхня. Тодi фронтальна

проекцiя шуканої лiнiї будується за умови її належностi поверхнi напiвкiльця

за допомогою уже названих фронтальних площин.

У випадках, коли перетинаються у будь-яких поєднаннях похилі конуси

та циліндри, основи яких розташованi в однiй площинi, доцiльно застосовува-

ти допомiжнi площини загального положення.

На рис.11.13 показано приклад

побудови лiнiї перетину двох ко-

нусiв, основи яких розташованi в го-

A2

B2

ризонтальнiй площинi. Допомiжнi

площини проводяться через вершини

C2

D2

конусiв. Для цього через вершини

S1 (S11 , S12 ) та S 2 (S12 , S 22 ) проведена

пряма i побудована точка М(М1, М2)

перетину її з площиною основ ко-

нусiв. Пряма S1S2, як i у випадку з

A1 ≡C1

B1 ≡D1

двома пiрамiдами, є “вiссю обертан-

ня” допомiжних площин, тому цей

Γ1

спосiб у навчальнiй лiтературi назва-

но способом площини, що оберта-

ється. Через точку М(М1) проводимо

пряму h(h1), що дотикається до осно-

ви конуса S1.

Прямi h та S1S2 визначають площину

Рис. 11.12

Г(h, S1S2), що дотикається до конуса S1 i

перетинає конус S2. Як видно з рис. 13.13, ця площина дотикається до по-

верхнi конуса S1 по його твірнiй 1S1(11S11, 12S21) i перетинає конус S2 по його

твiрним 2S2(21S21) та 3S2(31S21). У перетинi

твiрної 1S1(11S11) з твiрними

2S2(21S21) i 3S2(31S21) маємо точки А(А1) та В(В1), що належать лiнiї перетину

39

S

1

2

S

2

2

F2

E

B2

H

C2

2

2

A2

D2

72

G2

1

M2

2

32

S 2

1

S1

1

M1

B

F1

H1

1

A1

11

E

101

1

C1

h

21

G

81

1

1

31

2

91

h1

D

51

1

71

h

1

61

1

41

Рис. 11.13

F2

D2

A2

E2

H2

B2

C2

G2

72

1

2

4

2

9

3

10

M

2

2

2

2

2

2

82

S1

A1

F1

B1

H

D

1

1

E1

G1

3

M1

1

1

1

21

101

9

h1

1

h

3

1

61

1

81

C1

71

51

h1

2

Рис. 11.14

41