2. Восьмеричная система счисления.

Основанием системы является число 8. Для изображения произвольного числа используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Перевод 8  10 :

35174, = 3  + 5  + 1  + 7  + 4  + 6  = 34096 + 5512 +

+164 + 78 + 4 + 6/8 = 12288 + 2560 + 64 + 56 + 4 + 3/4 = 14972,7 .

Пример 2. Перевод 10  8 . Схема перевода такая же, как и для 2 с/c.

397, = 615,1

397  8 0,  2  8

32 49  8 1,  6  8

77 48 6 4,  8  8

72 1 6,  4  8

5 3,  2  8

1,  6  8

…………

0, = 0,146314631… = 0,(1463

Полученная восьмеричная дробь числа (615,15) округлена до двух цифр.

Правило округления: чтобы округлить дробное число до цифр, нужно к (+1)-ой цифре добавить половину цены разряда для данной системы счисления, после чего отбросить все дробные цифры, начиная с -ой. Для 8 c/c половина цены разряда равна 4, для 2 с/c - 1, для 16 c/c - 8.

В рассмотренном выше примере имеем (для = 2):

0, 1 4 6 3 1 4 6 3

+ 4



 0, 1 5 2 3 1 4 6 3

Примечание. Здесь сложение выполнено в восьмеричной системе счисления.

Перевод 8  2. Для перевода восьмеричного числа в 2 c/c нужно каждую восьмеричную цифру записать в виде двоичной триады, т.е. трех двоичных цифр.

Восьмеричное число	Двоичное число	Двоичная триада
0 1 2 3 4 5 6 7	0 1 10 11 100 101 110 111	000 001 010 011 100 101 110 111

Например, 3763,2 = 011 111 110 011 , 010 100 = 11111110011,010 (отброшены незначащие нули).

Приведенное выше правило перевода 8  2 связано с тем, что 8 = .

В самом деле,

3763,24 = 3 + 7 + 6 + 3 + 2 + 4 = (0 + 1 + 1 ) + (1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 0) + (0 + 1 + 1) + (0 + 1 + 0) + (1 + 0 + 0) = 0+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 0+ 0+ 1+ 1+ 0+ 1+0+ 1+ 0+ 0 =

= 011 111 110 011, 010 10 .

Для перевода 2  8 следует разделить двоичное число влево и вправо от запятой на триады, а затем заменить каждую триаду одной восьмеричной цифрой. Если первая триада в целой части или последняя триада в дробной части числа получаются неполными, то нужно дополнить их незначащими нулями.

Пример 3.

1011110111,1011010 = 001011110111,101101010 = 1367,55

В связи с тем, что перевод 10  8 или 8  10 выполняется быстрее, чем перевод 10  2 или 2  10, то перевод 10  2, как правило, производят по схеме 10  8  2 , а вместо 2  10 соответственно 2  8  10 .

3. Шестнадцатеричная система счисления.

Основанием системы является число 16. Для изображения произвольного числа нужно использовать 16 цифр. Так как цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 недостаточно, то дополнительно применяют первые буквы латинского алфавита: A (цифра 10), B (цифра 11), C (цифра 12), D(цифра 13), E (цифра 14), F (цифра 15).

Пример 4. Перевод 16  10:

A8B7,E = 101 + 81 + 111 + 71 + 141 = 104096 + 8256 +

+ 1116 + 7 + 14/16 = 43191,87 .

Пример 5. Перевод 10  16 .

7643, = 1EDB,

7643  16 0,  4  16

64 477  16 6,  4  16

124 32 29  16 6,  4  16

112 157 16 1 6,  4  16

123 144 14 …………

112 13

11

Перевод 16  2 . Так как 16 = , то в этом случае каждая шестнадцатеричная цифра должна быть представлена двоичной тетрадой.

Шестнадцате- ричное число	Двоичное число	Двоичная тетрада	Шестнадцате- ричное число	Двоичное число	Двоичная тетрада
0 1 2 3 4 5 6 7	0 1 10 11 100 101 110 111	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111	8 9 A B C D E F	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Пример 6.

4AD,B8 = 0100 1010 1101, 1011 1000 = 10010101101,10111.

Перевод 2  16. Исходное число разделяют влево и вправо от запятой на тетрады, а затем каждую тетраду записывают одной шестнадцатеричной цифрой.

Пример 7.

11101111100001,0110 =0011101111100001,01101100 = 3BE1,6С

Для сокращения вычислений вместо 10  2 выполняют 10  16  2 , а вместо 2  10 выполняют 2  16  10 .

Примечание. Очевидно, что переводы из 16 с/с в 8 с/с и наоборот выполняют с применением 2 с/с как буферной. Например, перевод 16  8 производится по схеме 16  2  8.