Основне рівняння динаміки обертального руху

Вектор моменту імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої

точки О

.

,

, ,.

Отже

.

, .

Таким чином:

. (1.74)

Швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої точки, дорівнює головному моменту відносно цієї точки всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла.

Спроектуємо вектори рівняння на довільну вісьz , що проходить через точку О .Тоді

, L_z=I_zw_z.

Якщо І=const, тоді

,,

, (1.75)

де I – момент інерції тіла, – кутове прискорення.

Таким чином, результуючий момент сил, які діють на тіло, дорівнює добутку моменту інерції тіла на його кутове прискорення.

§6. Енергія і робота при обертальному русі

Кінетична енергія. При обертанні навколо нерухомої осі кінетична енергія визначається формулою

, (1.76)

де I – момент інерції тіла навколо цієї осі,  – кутова швидкість.

У загальному випадку рух тіла – це накладання двох рухів – поступального з швидкістю центра інерції й обертального з кутовою швидкістю навколо осі, яка проходить через центр інерції тіла.

У цьому випадку формула для кінетичної енергії отримує найбільш простий вигляд:

, (1.77)

де – момент інерції відносно осі обертання, що проходить через центр інерції тіла.

Таким чином, у загальному випадку руху тіла його кінетична енергія складається з кінетичної енергії поступального руху і кінетичної енергії обертального руху навколо осі, яка проходить через центр інерції тіла.

Робота при обертанні твердого тіла.Якщо результуючий момент сил які діють на тіло, не змінюється (), то робота при обертанні:

A = M, (1.78)

де  – кут повороту. Якщо результуючий момент M є змінною величиною, то весь кут повороту потрібно розбити на елементарні повороти _i , такі малі, що моменти сил M_i на цих ділянках можна вважати незмінними величинами. Тоді для кожної i-ї ділянки повна робота буде дорівнювати:

. (1.79)

Формула (1.79) тим точніше визначає роботу, чим менші _i. Строгий знак рівності можна поставити тільки під знаком границі при _i 0. В результаті отримаємо:

, (1.80)

де ₁ і ₂ – початковий і кінцевий кути повороту. Таким чином, щоб визначити роботу при обертальному русі, потрібно результуючий момент сил, що діють на тіло, проінтегрувати за кутом повороту.

Таблиця 1

Поступальний рух	Формула	Обертальний рух	Формула
Лінійна швидкість		Кутова швидкість
Лінійне прискорення		Кутове прискорення
маса	m	Момент інерції
Іvпульс		Момент імпульсу
Сила		Момент сили
Основне рівняння динаміки		Основне рівняння динаміки
Кінетична енергія		Кінетична енергія	T
Робота		Робота
Потужність		Потужність

Підсумовуючи закономірності розглянутих типів руху тіла , зіставимо основ-ні величини і залежності його прямолінійного та криволінійного рухів (табл.1).