Застосування законів збереження до центрального удару тіл

Непружний удар, тобто такий, після якого обидві кулі залишаються де-формованими і рухаються як одне ціле. Застосовуючи закон збереження імпульсу , отримаємо:

m₁₁ +m₂₂ = (m₁+m₂), (1.46)

де₁ і ₂ –швидкості тіл до удару,

- спільна швидкість тіл після удару. При такому ударі має місце тільки закон збереження імпульсу . Закон збереження механічної енергії не має місця.

Рис.1.10

, (1.47)

де - частина кінетичної енергії , яка перетворилася на внутрішню енергію тіл.

Пружний удар тіл. Після ідеально пружного удару тіла відновлюють свою форму, швидкості тіл різні. При такому ударі має місце закон збереження імпульсу та механічної енергії. За законом збереження імпульсу системи

m₁₁+m₂₂=m₁₁+m_22, (1.48)

де ₁ і ₂- швидкості тіл до удару,

₁ і ₂- швидкість тіл після удару.

Сумарна кінетична енергія їх залишається незмінною

. (1.49)

Швидкості тіл після удару відповідно становитимуть:

; . (1.50)

§5. Динаміка обертального руху

Момент сили відносно точки. Моментом сили відносно точки (центра обертання) є векторний добуток радіуса-вектора, проведеного з центра обертання в точку прикладання сили  і самої сили( рис.1. 11):

Рис.1. 11

. (1.51)

Модуль моменту сили

,

де – плече сили.

Момент сили відносно осі. Момент сили M_z відносно осі z – це скалярна величина, яка дорівнює проекції на дану вісь вектора моменту сили відносно будь-якої точки цієї ж осі:

, (1.52)

де – радіус-вектор з точки на осі z у точку прикладання сили .

Рис.1. 12

Можна переписати формулу (1.53) у вигляді

, (1.53)

де – тангенціальна складова сили, тобто складова вздовж дотичної, – радіус-вектор у площині обертання ( рис.1. 12).

Момент інерції тіла. Моментом інерції матеріальної точки називається добуток її маси m на квадрат відстані r від осі обертання:

. (1.54)

Щоб визначити момент інерції твердого тіла, його потрібно уявно розбити на елементарні маси m_i, кожна з яких настільки мала, що її можна уявляти матеріальною точкою, за формулою (1.55) визначити момент інерції кожної елементарної маси, а потім підсумувати по всіх елементарних масах. У результаті отримаємо

. (1.55)

Знак рівності можна поставити тільки під знаком границі при , тобто

. (1.56)

Інтегрування в формулі (1.56) проводиться по повній масі тіла М. Увівши локальну густину

,

отримаємо , де– елементарний об’єм.

Тоді формула (1.46) перепишеться у вигляді

, (1.57)

де інтегрування проводиться по об’єму тіла. Якщо тіло однорідне, тобто , тоді

. (1.59)

Момент інерції тіла є мірою інертності тіла при обертальному русі, тоді як маса тіла – міра його інертності при поступальному русі.

Для однорідного циліндра маси m і радіуса R при обертанні навколо осі циліндра

. (1.60)

Для однорідної кулі маси m і радіуса R при обертанні навколо осі, що проходить через його центр:

. (1.61)

Для однорідного стержня масою m й довжиною l при обертанні навколо осі, що проходить через його центр, і площина обертання перпендикулярна до осі обертання

. (1.62)

Теорема Штейнера. Момент інерції тіла маси m відносно будь-якої осі дорівнює:

Рис.1.13

I_a = I_c+md² (1.63)

де I_a - момент інерції тіла відносно довільної осі а, I_c – момент інерції тіла відносно осі, яка проходить через центр інерції тіла і паралельна даній, d – відстань між осями.

Момент імпульсу матеріальної точки визначається аналогічно до мо-менту сили. Відносно центра обертання О момент імпульсу ( рис.1. 14)

, (1.64)

де – імпульс матеріальної точки,– радіус-вектор, проведений з центру обертанняО у матеріальну точку.

Модуль моменту імпульсу відносно точки О

L = pl, (1.65)

де – плече імпульсу. Відносно осі обертанняz момент імпульсу

Рис.1. 14

, (1.66)

де – радіус- вектор, проведений з будь-якої точки на осі в матеріальну точку, індексz у векторного добутку вказує на те, що потрібно взяти проекцію на вісь z.

Момент імпульсу відносно осі можна представити так:

L_z = p_ R, (1.67)

де p_ – тангенціальна складова імпульсу (вздовж дотичної до кола обертання матеріальної точки), R – радіус кола в площині обертання.

Момент імпульсу системи матеріальних точок

. (1.68)

Закон збереження моменту імпульсу. Для окремої матеріальної точки

, (1.69)

де – результуючий момент сил, які діють на матеріальну точку.

Для системи матеріальних точок

, (1.70)

де – результуючий момент зовнішніх сил, які діють на систему матеріальних точок.

Якщо система замкнена (), то

і . (1.71)

У замкненій системі тіл повний момент імпульсу системи є незмінною величиною.

Момент імпульсу твердого тіла. При обертанні твердого тіла навколо осі симетрії його момент імпульсу прямо пропорційний кутовій швидкості:

, (1.72)

де I – момент інерції тіла, відносно тієї ж осі, – кутова швидкість. Продиференціюємо формулу (1.72) за часом і врахуємо (1.60). У результаті отримаємо:

. (1.73)

Якщо , то. Таким чином, якщо результуючий момент зовнішніх сил, що діють на тіло,M = 0, то добуток залишається незмінним і зміна моменту інерції викликає за собою відповідну зміну кутової швидкості.