Лекция № 11.

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки и. Возьмём в качестве направляющего вектора, а за начальную точку любую из точек М₁ и М₂, например, М₁. Тогда уравнения искомой прямой примут вид

(1)

5.3. Угол между двумя прямыми

Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами и. Тогда

(2)

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности из формулы (2) примет вид

Пример 1. Две прямые ипроходят через начало координат. При этом точки. При каком значении пара-метрар они перпендикулярны?

В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат , тогда направляющие векторы будут равны , и из условия перпендикулярности получаем

5.4. Расстояние от точки до прямой

Пусть требуется найти расстояние от точки до прямой l, заданной каноническими уравнениями

Построим вектор . z M₁

Расстояние d от точки M₁ до

Прямой l равно высоте параллело- M₀ d

грамма, построенного на векторах у

и .

Так как площадь параллелограмма х l

или ,

то получим

(3)

Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой

Здесь И тогда имеем

5.5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:

Здесь  нормальный вектор l

плоскости P,  направляющий

вектор прямой l, а   угол между прямой

и плоскостью.   l₁

Если l₁  проекция прямой l на P

плоскость P, то и тогда

Окончательно, считая , получаем

(4)

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы иколлинеарны, и тогда условие перпендикулярности примет вид

Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны, и условие параллельности примет вид

5.6. Пересечение прямой с плоскостью

Пусть требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение

Исключая параметр t, получим

(5)

Здесь возможны три случая:

1. Тогда по формуле (5) вычисляем значение пара-метраt и из уравнений прямой определяем координаты точки пересе-чения.

2. , а. В этом случае прямая параллельна плоскости.

3. и. Тогда прямая принадлежит плоскости.

Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки и, с плоскостью

Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки:

Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):

Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку.Р

Из условия компланарности векторов М М₀

и имеемl М₁

Раскрывая определитель, получим искомое уравнение плоскости Р