2.2. Угол между двумя прямыми

Пусть заданы уравнения двух прямых

или у

Очевидно, что угол между этими

прямыми равен углу между их нормаль-

ными векторами и. Поэтому х

получим (см. лекцию 5)

(5)

Формуле (5) можно придать другой вид – через угловые коэффициенты, если считать угол острым и воспользоваться известной формулой из тригонометрии

(6)

Из формул (5-6) следуют условия параллельности и перпендикуляр-ности прямых:

1. Если прямые параллельны, то векторы коллинеарны, и тогда получаем или

2. Если прямые перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны, и тогда или.

2.3. Взаимное расположение двух прямых

Совместное решение уравнений прямых даёт точку пересечения этих прямых, т.е.

(7)

Тогда, если определитель системы (7)

,

то прямые имеют точку пересечения. Если же , т.е., то прямые параллельны, и здесь возможны случаи:

- параллельны и не имеют общей точки;

- прямые совпадают.

2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки у М

и Тогда, если

текущая точка прямой, то из условия М₂

коллинеарности векторов и

имеем О М₁ х

(8)

Уравнение (8) – искомое уравнение прямой.

2.5. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть задана точка и угловой коэффициентk. Требуется составить уравнение прямой для данных условий. Так как угловой коэффициент задан, то уравнение будем искать в виде . Коэффициентb определим из условия прохождения прямой через данную точку. Тогда имеем

(9)

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Из условия перпендикулярности прямых находим угловой коэффициентk = 3, а по формуле (9) получаем

.

2.6. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая задана общим y M₀

уравнением и

требуется определить расстояние

от этой прямой до заданной M d

точки .

Из рисунка следует O x

(10)

Пример 2.Найти расстояние от прямой до точки

По формуле (10) получаем

Задача. Даны две вершины у

и точка  пересечения C

высот треугольника. Составить уравнения А 3 D

его сторон.

Составим уравнение стороны АВ, -3 5

как прямой, проходящей через две точки, O B x

Аналогично уравнение высоты ВD (через две точки) будет иметь вид

Составим уравнение стороны AC. Тогда

Уравнение высоты AD (через две точки) :

Лекция № 9. Тема 3 : Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

(1)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта линия назы-ваетсякривой или линией второго порядка.

Может случиться, что нет точек с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например, это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).