- •Числовые ряды Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Лекция № 45
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Список литературы
- •С о д е р ж а н и е
С о д е р ж а н и е
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Лекция № 1. Тема : Определители . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Определители второго и третьего порядков . . . . . . . . . . 4
Основные свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . 5
Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Лекция № 2. Тема : Системы линейных алгебраических уравнений . . 8
Правило Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Лекция № 3. Тема : Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Основные виды матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Действия над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Решение систем линейных уравнений
с помощью обратной матрицы . . . . . . . . . . . . 16
Лекция № 4. Тема : Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Определение вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . 18
Декартова система координат . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Лекция № 4. Тема : Векторы (окончание) . . . . . . . . . . . . . 23
Способы задания векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Тема : Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . 24
Скалярное произведение двух векторов
и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 24
Скалярное произведение векторов,
заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 25
Длина вектора. Угол между двумя векторами.
Направляющие косинусы . . . . . . . . . . . . . . . 25
Лекция № 6. Тема : Векторное произведение . . . . . . . . . . . 27
Векторное произведение двух векторов
и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . 27
Векторное произведение векторов,
заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 27
Механический смысл векторного произведения . . . . . . . . 28
Тема : Смешанное произведение . . . . . . . . . . . 29
Смешанное произведение двух векторов
и его основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . 29
Смешанное произведение векторов,
заданных координатами . . . . . . . . . . . . . . . 30
Лекция № 7. Тема : Линии на плоскости и их уравнения . . . . . . 32
Линии и их уравнения в декартовой системе координат . . . . 32
Параметрические уравнения линии . . . . . . . . . . . . . 32
Уравнение линии в полярной системе координат . . . . . . . 33
Преобразование системы координат.
Уравнение линии в новой системе координат . . . . . . 34
Лекция № 8. Тема : Прямая линия на плоскости . . . . . . . . . . 36
Уравнения прямой линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Взаимное расположение двух прямых . . . . . . . . . . . . 38
Уравнение прямой, проходящей через две точки . . . . . . . 38
Уравнение прямой, проходящей через точку
с заданным угловым коэффициентом . . . . . . . . . 39
Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . 39
Лекция № 9. Тема : Линии второго порядка . . . . . . . . . . . . 40
Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Классификация линий второго порядка . . . . . . . . . . . . 44
Лекция № 10. Тема : Плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Уравнение плоскости. Построение плоскости . . . . . . . . . 45
Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку,
перпендикулярно заданному вектору . . . . . . . . . . 45
Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Угол между двумя плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . 46
Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . 47
Тема : Прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . 48
Уравнение прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Лекция № 11. Тема : Прямая в пространстве (окончание) . . . . . . 49
Уравнение прямой, проходящей через две точки . . . . . . . 49
Угол между двумя прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . 50
Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . 51
Пересечение прямой с плоскостью . . . . . . . . . . . . . . 51
Лекция № 12. Тема : Поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Уравнение поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Поверхности второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Лекция № 13. Тема : Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Определение функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Лекция № 14. Тема : Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Предел последовательности и переменной величины . . . . . 62
Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Лекция № 15. Тема : Пределы (продолжение) . . . . . . . . . . . 65
Бесконечно малые и бесконечно большие величины . . . . . 65
Теорема о пределе функции . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Основные теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . 67
Раскрытие неопределенностей . . . . . . . . . . . . . . . 68
Лекция № 16. Тема : Пределы (окончание) . . . . . . . . . . . . 69
Первый стандартный предел . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Число е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Второй стандартный предел . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Сравнение б.м.в. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Лекция № 17. Тема : Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . 73
Определение непрерывной функции . . . . . . . . . . . . . 73
Основные теоремы о непрерывных функциях
Непрерывность элементарных функций . . . . . . . . 74
Классификация точек разрыва функции . . . . . . . . . . . 74
Свойства функций, непрерывных на отрезке . . . . . . . . . 75
Лекция № 18. Тема : Производная и дифференциал . . . . . . . . 77
Производная функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Производные основных элементарных функций . . . . . . . . 78
Механический смысл производной . . . . . . . . . . . . . 79
Геометрический смысл производной . . . . . . . . . . . . . 79
Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 81
Лекция № 19. Тема : Производная и дифференциал (окончание) . . . 82
Производная обратной функции . . . . . . . . . . . . . . 82
Производная функции, заданной параметрическими
уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Производная функции, заданной неявно . . . . . . . . . . . 83
Производная степенно-показательной функции . . . . . . . . 83
Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . 84
Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Лекция № 20. Тема : Основные теоремы о дифференцируемых
функциях . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Теорема Ролля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Лекция № 21. Тема : Исследование функции . . . . . . . . . . . . 91
Возрастание и убывание функций . . . . . . . . . . . . . 91
Экстремум функции. Необходимые условия экстремума . . . . 91
Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 92
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке . . . 94
Лекция № 22. Тема : Исследование функции (продолжение) . . . . . 95
Выпуклость, вогнутость, точки перегиба . . . . . . . . . . . 95
Асимптоты линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Общий план исследования функции и
построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Лекция № 23. Тема : Исследование функции (окончание) . . . . . . 99
Исследование функции (пример) . . . . . . . . . . . . . . 99
Кривизна кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Лекция № 24. Тема : Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . 103
Первообразная и неопределенный интеграл . . . . . . . . . 103
Основные свойства неопределённого интеграла . . . . . . . . 104
Таблица неопределённых интегралов . . . . . . . . . . . . 104
Интегрирование методом замены переменной
(способ подстановки) . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Лекция № 26. Тема : Неопределенный интеграл (продолжение) . . . 107
Интегрирование некоторых функций,
содержащих квадратный трёхчлен . . . . . . . . . . . 107
Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Многочлены и рациональные дроби . . . . . . . . . . . . . 109
Лекция № 26. Тема : Неопределенный интеграл (продолжение) . . . 111
Интегрирование рациональных дробей . . . . . . . . . . . . 111
Интегрирование тригонометрических функций . . . . . . . . 112
Лекция № 27. Тема : Неопределенный интеграл (окончание) . . . . 114
Интегрирование некоторых иррациональных функций . . . . . 114
Понятие о неберущихся интегралах . . . . . . . . . . . . . 117
Лекция № 28. Тема : Определенный интеграл . . . . . . . . . . . 118
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла . . . 118
Определение определённого интеграла . . . . . . . . . . . . 119
Основные свойства определённого интеграла . . . . . . . . . 120
Интеграл как функция верхнего предела . . . . . . . . . . . 122
Лекция № 29. Тема : Определенный интеграл (окончание) . . . . . . 122
Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Замена переменной в определённом интеграле . . . . . . . . 123
Интегрирование по частям в определённом интеграле . . . . . 125
Лекция № 30. Тема : Приложения определенного интеграла . . . . . 126
Площадь плоской фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Длина дуги плоской кривой . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Площадь поверхности тела вращения . . . . . . . . . . . . 129
Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений . . 130
Лекция № 31. Тема : Приложения определенного интеграла
(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Приложения определённого интеграла к некоторым
задачам физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Тема : Несобственные интегралы . . . . . . . . . . 132
Несобственные интегралы первого рода
(с бесконечными пределами) . . . . . . . . . . . . . 132
Несобственные интегралы второго рода
(от разрывных функций) . . . . . . . . . . . . . . 134
Лекция № 32. Тема : Функции нескольких переменных. Предел.
Непрерывность. Частные производные . . . . 136
Определение функции нескольких переменных . . . . . . . . 136
Предел и непрерывность функции двух переменных . . . . . 137
Частные производные функции двух переменных . . . . . . . 138
Полный дифференциал функции двух переменных . . . . . . 139
Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . 140
Лекция № 33. Тема : Частные производные.
Производная по направлению. Градиент . . . . 141
Полная производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Частные производные функции, заданной неявно . . . . . . . 141
Частные производные высших порядков . . . . . . . . . . . 141
Производная по направлению . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Градиент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Лекция № 34. Тема : Частные производные. Производная по
направлению. Градиент (окончание) . . . . . . 145
Касательная и нормаль к поверхности . . . . . . . . . . . . 145
Тема : Векторная функция скалярного аргумента . . . 146
Векторная функция. Предел. Непрерывность . . . . . . . . . 146
Производная векторной функции . . . . . . . . . . . . . . 147
Лекция № 35. Тема : Экстремум функции нескольких переменных . . 149
Необходимые условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 149
Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . 150
Нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции в замкнутой области . . . . . . . . 151
Лекция № 36. Тема : Экстремум функции нескольких переменных
(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . 156
Лекция № 37. Тема : Дифференциальные уравнения. Введение . . . 158
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям . . . . 158
Определение дифференциального уравнения. . . . . . . . . . 158
Тема : Дифференциальные уравнения первого порядка . 159
Общие понятия. Теорема существования и единственности . . . 159
Уравнения с разделяющимися переменными . . . . . . . . . 160
Лекция № 38. Тема : Дифференциальные уравнения первого порядка
(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Линейные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . 164
Уравнения Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . 165
Лекция № 39. Тема : Дифференциальные уравнения высших порядков . 167
Определение ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . 167
Уравнения, допускающие понижение порядка. . . . . . . . . 168
Тема : Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 169
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго
порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского
и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . 169
Теорема о структуре общего решения ЛОДУ-2 . . . . . . . . 171
Лекция № 40. Тема : Дифференциальные уравнения второго порядка
(продолжение). . . . . . . . . . . . . . . . 172
ЛОДУ-2 с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . 172
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 173
Метод вариаций произвольных постоянных . . . . . . . . . 175
Лекция № 41. Тема : Дифференциальные уравнения второго порядка
(окончание) . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
ЛНДУ-2 с постоянными коэффициентами
со специальной правой частью . . . . . . . . 176
Лекция № 42. Тема : Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков . . . . . . . . . . . . . 180
Линейные ДУ п-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Понятие о краевой задаче . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Лекция № 43. Тема : Системы дифференциальных уравнений . . . . 184
Нормальные системы дифференциальных уравнений . . . . . 184
Решение нормальных систем ДУ методом исключений . . . . 186
Лекция № 44. Тема : Числовой ряд.
Необходимый признак сходимости . . . . . . 189
Числовой ряд и его сумма . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд . . . . 191
Тема : Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами . . . . . . . . . 192
Признаки сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Лекция № 45. Тема : Достаточные признаки сходимости рядов
с положительными членами (окончание) . . . . 193
Признак Даламбера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Радикальный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Тема : Знакопеременные ряды . . . . . . . . . . . . 196
Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница . . . . . . . . . 196
Абсолютная и условная сходимость . . . . . . . . . . . . . 197
Л и т е р а т у р а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198