3.2. Абсолютная и условная сходимость

Теорема. Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд. Обратное, вообще говоря, неверно.

Обозначим суммы положительных и отрицательных членов частичной суммы соответственно и. Тогда частичная сумма данного ряда

, (2)

а частичная сумма ряда, образованного из абсолютных величин членов ряда будет равна

. (3)

По условию теоремы существует предел (3), следовательно, существуют пределы и.

Отсюда следует, что будет существовать и предел (2), ч.т.д.

Замечание 2. Обратное не всегда имеет место. Так, в примере 6 ряд сходится, однако ряд, составленный из положительных величин членов ряда, является расходящимся как гармонический. В примере 7 ряд сходится, сходится и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда, в чём легко убедится, сравнив его с обобщенным гармоническим .

Определение 3. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой ряд называется условно сходящимся.

Таким образом, в примере 6 ряд является условно сходящимся, а в примере 7  ряд абсолютно сходящийся.

Замечание 3. Следует отметить, что разделение рядов на абсолютно и условно сходящиеся является существенным, что видно из следующих свойств:

1. Если ряд сходится абсолютно, то он остаётся абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма не зависит от порядка его членов.

2. Если ряд сходится условно, то какое бы не было число А, в том числе и бесконечность, можно переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась равной А.

3. Если два ряда сходятся абсолютно, то их произведение  также абсо-лютно сходящийся ряд, сумма которого равна произведению сумм этих рядов.

Для условно сходящихся рядов свойство 3 не выполняется.

Список литературы

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1976.

2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.:Наука, 1971.

3. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1971.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980.

5. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1981.

7. Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика. Приклади і задачі. – К.: Академія, 2003.

8. Задачи и упражнения по математическому анализу./ Под ред. Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1972.

9. Збірник задач з вищої математики / За ред. Гудименка Ф.С. – К., 1967.

10. Пак В.В., Носенко Ю.Л. Вища математика. – Донецьк: Видавництво “Сталкер“, 2003.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. – В 2-х т.– М.: Наука, 1978.

12. Щипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 1990.