- •Лекция № 28. Тема 2 : Определённый интеграл
- •2.1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
- •2.2. Определение определённого интеграла
- •2.3. Основные свойства определённого интеграла
- •2.4. Интеграл как функция верхнего предела
- •Лекция № 29
- •2.7. Интегрирование по частям в определённом интеграле
- •Лекция № 30. Тема 3 : Приложения определённого интеграла
- •3.1. Площадь плоской фигуры
- •3.2. Длина дуги плоской кривой
- •3.3. Площадь поверхности тела вращения
- •3.4. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Лекция № 31
- •3.5. Приложения определённого интеграла к некоторым задачам физики
- •Тема 4 : Несобственные интегралы
- •4.1. Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами)
- •4.2. Несобственные интегралы второго рода (от разрывных функций)
2.3. Основные свойства определённого интеграла
1. Если .
Действительно, .
2. Свойство линейности. Если функции иинтегрируемые наи, то
.
Это свойство вытекает из определения определённого интеграла.
3. .
Это свойство следует из того, что в интегральной сумме все разности меняют знак.
4. .
Действительно, так как .
5. Свойство аддитивности. Если , то
Это следует из определения определённого интеграла, если в качестве точки разбиения взять точку с.
6. Если .
Действительно, так как в интегральной сумме все слагаемые больше или равны нулю.
7. Если на функциииудовлетворяют неравенству, то
.
Действительно, если рассмотреть разность, то с учетом свойства 6, получаем
8. .
Проинтегрировав очевидное неравенство , приходим к данному свойству.
9. Оценка определённого интеграла. Если т и М - наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на, то
Интегрируя неравенство с учетом свойств1 и 7, получаем данное свойство.
10. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на, то существует такая точка, для которой выполняется равенство
.
Из свойства 8 получаем неравенство .
Так как непрерывна на, то она принимает все значения, заключенные междут и М. Из этого и следует данное свойство.
2.4. Интеграл как функция верхнего предела
Если в определённом интеграле зафиксировать нижний предел интегрирования, а верхний считать переменным, то интеграл будет являться функцией верхнего предела, где.
Найдем производную этой функции.
Теорема 2 (Барроу). Если непрерывная функция, то
.
Дадим переменной х приращение , тогда
.
По теореме о среднем получаем
, (1)
где .
Из формулы (1) следует, что функция непрерывная, так как
С учетом этой формулы находим производную
что следует в силу непрерывности функции .
Лекция № 29
2.5. Формула Ньютона – Лейбница
Теорема 1. Если функция первообразная для функции, то
. (1)
С учетом теоремы Барроу функция будет являться первообразной и тогда из теоремы о первообразных следует
.
Положим в этом равенстве . Тогда имеем
.
Полагая , получаем формулу Ньютона – Лейбница
.
Пример 1. Оценить .
Для подынтегральной функции нетрудно найти: и. Тогда
Теперь вычислим интеграл непосредственно по формуле Ньютона – Лейбница
т.е.
Пример 2. Найти среднее значение функции на отрезке.
По теореме о среднем имеем
2.6. Замена переменной в определённом интеграле
Пусть дан интеграл , где подынтегральная функциянепрерывна на. Рассмотрим функцию , которая имеет непре-рывную производную на и .
Тогда имеет место формула замены переменной в определённом интеграле
(2)
Докажем эту формулу.
С одной стороны
а с другой стороны
Замечание 1. Аналогично, как и для неопределённого интеграла, часто более удобно использовать замену .
Замечание 2. При вычислении определённого интеграла по формуле (2) не нужно возвращаться к “старой“ переменной.
Замечание 3. Полезно отметить свойства определённого интеграла от четных и нечетных функций в симметричных пределах интегрирования:
1. Если четная функция, то
(Далее по определению четной функции) =
2. Если нечетная функция, то
(Далее по определению нечетной функции) =
Пример 3. Вычислить .
Сделаем замену .
Тогда для нижнего предела интегрирования получаем, а для верхнего предела интегрирования.
Пример 4. Вычислить .