4.2. Теорема о структуре общего решения лоду-2

Теорема 4. Если функции и два ЛНЗ решения уравне-ния (3), то его общее решение имеет вид , гдеипроизвольные константы.

Вначале покажем, что является решением уравнения (3), для чего подставим его в (3) и сгруппируем члены прии:

.

Далее покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значенияи, при которых такое решение удовлетворяло бы им.

Подставим в эти условия , тогда получим систему для определения значенийи

. (5)

с определителем Вронского

так как и- ЛНЗ решения уравнения (3).

Из решения системы (5) определяем и. Таким образом,

является общим решением уравнения (3).

Лекция № 40

4.3. Лоду-2 с постоянными коэффициентами

Общий вид ЛОДУ-2

, (1)

где

Будем искать решение этого уравнения в виде .

Подставим в уравнение (1):

(2)

Уравнение (2) называется характеристическим уравнением.

В зависимости от значений корней характеристического уравнения возможны следующие три случая:

1. Корни уравнения идействительные и.

Тогда, очевидно, что и. Эти решения ЛНЗ, так как

В этом случае общее решение примет вид

. (3)

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (3):

.

2. Корни идействительные и

Тогда в качестве первого частного решения можно взять . Покажем, что в этом случае, является решением также функция. Подставим её в уравнение и с учетом теоремы Виета, получим

.

Эти решения ЛНЗ, так как

В этом случае общее решение примет вид

. (4)

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Составим характеристическое уравнени

Воспользуемся формулой (4)

.

3. Корни комплексно-сопряженные, т.е. .

Вначале покажем, что если является решением уравнения (1), то этому уравнению удовлетворяют функцииu и v. Подставим в уравнение (1) и выделим действительную и мнимую части:

Подчеркнутый член и выражение в скобках равны нулю.

Итак, в этом случае частные решения имеют вид

и .

Если воспользоваться формулой Эйлера, которая будет доказана позже,

,

то

и, как показано выше, решениями уравнения (1) будут являться функции:

Очевидно, линейно-независимыми среди них будут

,

Так как

Окончательно, общее решение будет иметь вид

. (5)

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Составим характеристическое уравнение:

Воспользуемся формулой (5):

.

4.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛНДУ-2)

(6)

гдефункции непрерывнынанекотором отрезке .

Ему соответствует однородное уравнение

(7)

Пусть известно общее решение уравнения (7)

. (8)

Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ-2). Общее решение ЛНДУ-2 является суммой частного решения уравнения (6) и общего решениясоответствующего однородного (7).

Вначале покажем, что является решением уравнения (6), для чего подставим его в уравнение (6) и сгруппируем члены

.

Сумма первых трёх членов левой части равенства равна нулю, так как  общее решение однородного уравнения, а сумма остальных трёх членов равна , так как есть частное решение уравнения (6).

Таким образом, является решением уравнения (6).

Теперь покажем, что для любых начальных условий вида можно найти значенияи, при которых решение удовлетворяло бы им. Подставим решение

в эти условия, тогда получим систему

(9)

Система (9) является линейной системой для определения ис определителем

так как и ЛНЗ решения уравнения (7). Из решения системы (9) определяем и. Таким образом,является общим решением уравнения (6).

Замечание. Если  функции от х, то не существует общих методов интегрирования уравнений (6) и (7). Рассмотрим случай, когда известно общее решение соответствующего однородного уравнения.