Лекция № 39. Тема 3 : ду высших порядков

3.1. Определение ду п-го порядка

Общий вид дифференциального уравнения п-го порядка (ДУ-п):

, (1)

или разрешенного относительно старшей производной:

.

Дляпоискачастногорешениянеобходимо задать начальные условия:

. (2)

Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция илисоответст-венно, которая:

1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных .

2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функцияилисоответственно будет удовлетворять условиям (2).

3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка

3.2.1. .

Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Проинтегрируем уравнение три раза:

3.2.2. (нету).

При помощи замены уравнение принимает вид

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

После замены уравнение принимает вид

Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку

Тогда получим

и

Так как , то

.

Интегрируя, окончательно получаем

3.2.3. (нетх).

При помощи замены …

уравнение принимает вид

.

Пример 3. Решить задачу Коши .

После замены получим уравнение с разде-ляющимися переменными:

Проинтегрируем:

.

Воспользуемся начальными условиями

Разрешим уравнение относительно и разделим переменные

Проинтегрируем

Из начальных условий находим и, окончательно, получаем частное решение

Тема 4 : Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛОДУ-2). Определитель Вронского и его свойства

Общий вид

, (3)

где инепрерывные на некотором отрезкефункции.

Определение 2. Функции иназываютсялинейно зависи-мыми (ЛЗ) на , если, где, по крайней мере, одно из них отличное от нуля, и для которых выполняется равенствоили, если, то, т.е.

В противном случае, функции иназываютсялинейно независимыми (ЛНЗ).

Например, функции и ЛЗ, так как , а функциии ЛНЗ, так как

Для выяснения ЛЗ или ЛНЗ решений уравнения (3) используется определитель Вронского

,

что следует из теорем:

Теорема 1. Если функции илинейно зависимы (ЛЗ) на, то определитель Вронского.

Так как , то

.

Теорема 2. Если определитель Вронского, составленный из решений уравнения (3), при некотором отличен от нуля, т.е.то

Так как ирешения уравнения (3), то

Первое равенство умножим на , второе наи сложим полученные результаты. С учётом, что

,

получим уравнение с разделяющимися переменными

Найдём его решение, удовлетворяющее начальному условию

(4)

или

.

Формула (4) называется формулой Лиувилля. Из неё видно, что если

то .

Замечание 1. Из формулы (4) также следует, что если при некотором.

Замечание 2. По формуле Лиувилля, зная одно из решений ЛОДУ-2, можно найти другое. Разделив обе части равенства (4) на получим

Теорема 3. Если решения ЛОДУ-2 (3) ЛНЗ на , то.

Предположим обратное, т.е. при некотором. Тогда по теореме2 . Предположим, что(в противном случае определитель Вронского тождественно равен нулю), тогда имеем равенство

т.е. функции илинейно зависимы. Полученное противоречие доказывает теорему.