2.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим ДУ-1 (3). Если , то уравнение (3) можно пред-ставить в виде

.

Если к тому же

,

то

. (6)

Пусть в уравнении (6) выполняются условия:

,

тогда оно примет вид

. (7)

Определение 5. Уравнение (7) называется уравнением с разделяющи-мися переменными.

Разделим уравнение (7) на произведение , тогда получим

(8)

Интегрируя уравнение (8), получим его общий интеграл

(9)

Замечание 2. Особого внимания требуют точки, где обращаются в нуль функции и. Пусть, например,. Тогда уравнение (7) наряду с решением (9) имеет и решение. Аналогично, если, тоявляется решением уравнения (7).

Пример 3.Найтиобщеерешениеуравнения .

Преобразуем уравнение:

или

,

при этом . Интегрируя уравнение, получим

или

К этому решению нужно добавить решение вида , а решение видавходит в общее решение при. Окончательно, имеем

Пример 4. Решить задачу о радиоактивном распаде вещества:

Разделим переменные:

Интегрируя, получим

или .

Если известна начальная масса M₀ при , тогда

и .

Определим коэффициент k из наблюдений. Пусть за время t₁ масса вещества стала равной M₁. Тогда

или

Таким образом, получили конкретный вид закона изменения заданной массы радиоактивного вещества в зависимости от времени.

Лекция № 38

2.3. Однородные уравнения

Определение 1. Функция называетсяоднородной функцией, если выполняется.

Например, функция является однородной, так как

.

Определение 2. Уравнение вида называется однородным уравнением, еслиоднородная функция.

Покажем, что решение однородного уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными.

По условию . Положим в этом тождестве, тогда

и уравнение примет вид

.

Сделаем замену и.

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными

или .

Интегрируя его, а затем, подставляя , находим решение.

Замечание. Аналогично, как и для уравнений с разделяющимися переменными, если , то однородное уравнение обладает решениемили.

Пример 1. Определить кривую, проходящую через точку , еслиподкасательная АВ любой её точки есть среднее арифметическое координат.

Если  текущая точка у

кривой, то по условию задачи,

получаем уравнение

у

Получили однородное урав-

нение, поэтому сделаем замену О А В х

и .

Тогда уравнение примет вид

.

Разделяем переменные

и интегрируем

.

Выполнив обратную замену , имеем

.

Окончательно, учитывая, что кривая проходит через заданную точку и подставляя в общее решение ее координаты

находим и получим искомое уравнени кривой

.

2.4. Линейные уравнения первого порядка (ЛУ–1)

Определение 3. Уравнение вида , гдеинепрерывные нафункции, называется линейным.

Его решение будем искать в виде

. (1)

Продифференцируем выражение (1), а, затем подставим в ЛУ-1, получим

. (2)

Функцию выберем из условия

.

Проинтегрируем это уравнение

.

Тогда уравнение (2) примет вид

.

Окончательно, имеем

.

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение ищем в виде . Тогда для функцииполучаем уравнение

а для функции 

Окончательно, имеем

.

2.5. Уравнения Бернулли

Определение 4. Уравнение вида , где, называется уравнением Бернулли.

Отметим, что при оно становится линейным, а при уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому в дальнейшем эти случаи не рассматриваем.

Покажем, что уравнение Бернулли путём замены , приводится к линейному. Действительно,

.

Таким образом, уравнения Бернулли интегрируются аналогично как линейные.

Пример 3. Найти общее решение уравнения .

Разделим данное уравнение на и получим уравнение Бернулли

.

Здесь . Решение ищем в виде. Тогда

.

Для функции получаем уравнение

,

а для функции 

Проинтегрируем это уравнение, тогда .

Таким образом, общее решение имеет вид

.

2.6. Уравнения в полных дифференциалах

Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если

, (3)

где частные производные непрерывны в некоторой области.

Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала.

Теорема. Если полный дифференциал некоторой функции, то выполняется условие (3). Верно и обратное.

Пусть выражение является полным дифференциалом. Это означает, что, так как

.

Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе по х, получим

.

Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворятьусловиям:

.

Интегрируя первое из них, получим

где является фиксированной точкой из области определения функцийи, а произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение:

и воспользуемся условием (3)

откуда

и .

Таким образом, функция найдена

. (4)

Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах. Если выполняется условие (3), то согласно теореме имеем

общий интеграл.

С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

. (5)

Пример 4. Решить задачу Коши

Проверим выполнение условия (3):

,

т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем

или

.

Приведём подобные члены и соберём все константы в одну:

.

Значение константы С определим из начального условия: .

Тогда решение задачи Коши будет иметь вид

.