Задача 2.

1. Якщо при знаходженні інтеграла зробити підстановку (заміну змінної)х = φ (t), де φ(t) – це функція, яка має неперервну похідну, то

dх = φ' (t)dt і виконується рівність:

.

2. Підстановку х = φ(t) необхідно підбирати так, щоб інтеграл в правій частині формули був табличним або легко зводився до табличного.

3. Після знаходження інтеграла треба обов’язково повернутися до старої змінної інтегрування (підставивши замістьt функцію обернену до φ (х)).

4. В багатьох інтегралах підстановку більш зручно зробити у вигляді t = φ(х); тоді dt = φ' (х)dх.

Задача 3.

1. Якщо підінтегральний вираз можна записати у вигляді добутку udv, де u(x)

i v(x) – функції, які мають неперервні похідні, то має місце формула інтегрування частинами:

.

2. Записати підінтегральний вираз у вигляді добутку udv можна декількома способами. Причому, множник dv обов’язково містить диференціал змінної інтегрування. Після вибору множників u і dv треба диференціюванням знайти du та інтегруванням – v. При обчисленні довільну сталу опускають. Отримані значенняu, v та du підставляють в праву частину формули. Множники u і dv будуть вибрані вірно, якщо інтеграл є простішим за інтеграл.

Розглянемо основні типи інтегралів, які легко обчислити інтегруванням частинами.

3. В інтегралах вигляду ,,,, деР_n(х) – многочлен n-го степеня, k – число, зручно вибрати множник u = Р_n(х), dv – всі інші множники.

4. В інтегралах вигляду зручно взятиdv=Р_n(х)dх, а u=ln(ах+b).

5. В інтегралах вигляду ,,,, деР_n(х) – многочлен, k – число, вибирають dv = Р_n(х)dх, за u – функцію, що є множником при Р_n(х).

6. Метод інтегрування частинами можна, у разі необхідності, застосовувати декілька разів поспіль або комбінуючи з іншими методами інтегрування.

Задача 4.

1. Інтеграли вигляду і можна спростити, виділивши повний квадрат в знаменнику:

.

2. Підстановка зводить даний інтеграл до табличного.

Задача 5.

1. Позначимо R (sin x, cos x) функцію зі змінними sin x та cos x, над якими виконані дії додавання, віднімання, множення або ділення (R – знак раціональної функції).

2. Будь-який інтеграл виду можна за допомогою підстановкипривести до інтеграла від функції, раціональної відносноt. В цьому випадку , , , а

.

Така підстановка називається універсальною тригонометричною підстановкою.

В ряді випадків при інтегруванні тригонометричних функцій можна скористатися більш простими підстановками. Зокрема, однією з наступних, в залежності від вигляду підінтегральної функції.

3. В інтегралах , деR – раціональна функція, можна застосувати підстановку t = sin х; в інтегралах вигляду – підстановкуt = cos х.

4. Коли інтеграл має вигляд , деR – раціональна функція, то він спрощується за допомогою підстановки tg x = t.

5. Інтеграл вигляду спрощується заміною змінних, яку зручно обрати в залежності від значень m і n, а саме:

5.1. коли n – ціле додатне непарне число, такий інтеграл можна спростити підстановкою t = sin х;

5.2. підстановку t = cos х використовують, коли m – ціле додатне непарне число;

5.3. якщо m і n – цілі невід’ємні парні числа, то для спрощення інтеграла можна застосувати формули зниження степеня тригонометричних функцій :

, ;

5.4. коли (m + n) – ціле від’ємне парне число, то використовують підстановку tg x = t.

6. Інтеграли вигляду ,,обчислюються за допомогою формул:

,

,

.