Іі. Визначений інтеграл. Задача 1.

1. Найпростішим методом обчислення визначеного інтеграла є формула Ньютона-Лейбніца:

де F (х) – будь-яка первісна від функції f (х).

2. Метод заміни змінної використовують тоді, коли можна вибрати таку функцію x = g (t), що після підстановки підінтегральна функція стане простішою. Якщо при обчисленні інтеграла робиться підстановкаx = g (t), то формула заміни змінної має вигляд:

,

де α, β – нові межі інтегрування, що знаходять із рівностей a = g (α), b = g (β).

3. При обчисленні визначеного інтеграла необхідно обов’язково перерахувати межі інтегрування. Повертатися до старої змінної не треба.

Задача 2.

1. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд:

.

2. Множники u(х) і dv обираються так само, як в невизначеному інтегралі.

Задача 3.

1. Нехай функція f (х) інтегрована на будь-якому відрізку [a; b], тоді інтеграли

називаються невласними інтегралами першого роду.

2. Якщо границі в правих частинах формул скінчені, то інтеграли називаються збіжними. Якщо ці границі не існують або дорівнюють нескінченості, то інтеграли є розбіжними.

Задача 4.

1. Площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції у = f (х)  0, віссю Ох і прямими х = а, х = b (рис. 1 а), обчислюється за формулою:

.

а

б

Рис. 1.

2. Якщо f (х) < 0 на [a; b], то .

3. Якщо фігура обмежена зверху графіком функції у = f ₂(х), знизу – у = f ₁(х), зліва і справа прямими х = а, х = b відповідно (рис. 1 б), то її площа обчислюється за формулою:

.

4. Якщо фігура обмежена зверху лінією, що задана параметричними рівняннями х = х(t), у = у(t) > 0, t [t₁; t₂], знизу – віссю Ох, зліва і справа – прямими х=а, х = b, то її площа дорівнює:

,

причому х(t₁) = а, х(t₂) = b.

Задача 5.

1. Нехай криволінійна трапеція (рис. 1 а) обертається навколо осі Ох. Тоді об’єм тіла обертання дорівнює:

.

2. Об’єм тіла, що утворене обертанням навколо осі Оу фігури, яка обмежена лініями у = с, у = d, х = 0, х = g(у), обчислюється за формулою:

.

3. Якщо лінія, що обмежує криволінійну трапецію, задана параметричними рівняннями х = х(t), у = у(t), t [t₁; t₂], то об’єм тіла обертання навколо осі Ох обчислюється за формулою:

ІІІ. Функції багатьох змінних.

Задача 1.

1. Величина z називається функцією двох змінних х і у, якщо кожній впорядкованій парі (х, у) значень двох незалежних одна від одної змінних х і у з деякої області D площини Оху відповідає єдине значення величини z.

Позначається функція двох змінних z = f (х,у), або z = F (х,у), або z = z(х,у).

2. Множина D всіх точок (х, у), при яких z = f (х, у) має сенс, називається областю визначення функції, а множина значень z, що приймає функція при (х,у)D, називається множиною значень функції.