IV. Диференціальні рівняння.
Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння зі змінними, що розділяються.
Знайти загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння першого порядку.
Знайти частинний розв’язок лінійного диференціального рівняння першого порядку.
а), б) Знайти загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
в) Знайти частинний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Знайти загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами методом невизначених коефіцієнтів.
V. Диференціальні рівняння другого порядку.
1. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння другого порядку.
2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння другого порядку.
3,4. Знайти загальний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
5. Знайти частинний розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.
VI. Числові і функціональні ряди.
Дослідити числовий ряд на збіжність.
Дослідити знакочережний ряд на збіжність.
Дослідити функціональний ряд на збіжність.
Розвинути функцію в ряд Тейлора в околі даної точки.
Розвинути функцію в ряд Тейлора в околі нуля, користуючись стандартним розвиненням.
ВАРІАНТИ ДОМАШНІх індивідуальних завдань
ВАРІАНТ №1
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
; б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №2
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
;
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №3
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
1.
а)
;
б)
;
в)
.
2
.
3.а)
;
б)
.
4.
.
5.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №4
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
1.
а)
;
б)
;
в)
.
2.
.
3.а)
;
б)
.
4.
.
5.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
.
5.
.
ВАРІАНТ №5
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №6
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №7
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №8
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №9
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №10
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №11
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №12
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
5.
.
ВАРІАНТ №13
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №14
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №15
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №16
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
ВАРІАНТ №17
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №18
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №19
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
5.
.
ВАРІАНТ №20
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
5.
.
ВАРІАНТ №21
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №22
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №23
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
5.
.
ВАРІАНТ №24
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
ВАРІАНТ №25
Частина 1
І. Невизначений інтеграл
1.
а)
; б)
.
2.
а)
; б)
.
3.
а)
; б)
.
4.
а)
; б)
.
5.
а)
; б)
.
ІІ. Визначений інтеграл
а)
;
б)
;
в)
.
.а)
;
б)
.
.
.
ІІІ. Функції багатьох змінних
.
;
.
.
;
.
;
;
.
Частина 2
IV. Диференціальні рівняння
,
;
;
,
;а)
;
б)
;
в)
,
,
;
.
V. Диференціальні рівняння другого порядку
,
,
;
;
;
;
,
,
.
VI. Числові і функціональні ряди
1.
а)
, б)
.
2.
а)
б)
.
3.
а)
, б)
.
4.
,
.
5.
.
Довідкові матеріали.
Частина 1.
І. Невизначений інтеграл.
Задача 1.
1. Функція F (х) називається первісною від функції f (х) на відрізку [a,b], якщо в усіх точках відрізку виконується рівність F ' (х) = f (х).
2.
Множина
усіх первісних F
(х)
+ С
для функції f
(х)
на відрізку [a,b]
називається невизначеним інтегралом
від f
(х)
і позначається
:
.
Функція
f
(х)
називається підінтегральною функцією,
вираз f
(х)dx
– підінтегральним виразом, х
– змінною інтегрування,
–
знаком невизначеного інтеграла.
3. Таблиця основних невизначених інтегралів.
1.
.
9.
.
2.
.
10.
.
3.
.
11.
.
4.
.
12.
.
5.
.
13.
.
6.
.
14.
.
7.
.
15.
.
8.
.
16.
.
4. Властивості невизначеного інтеграла.
1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:
.
2. Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:
.
3. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від функцій, що додаються:
.
4.
Якщо
,то
,
деи=u(x)
– довільна функція, яка має неперервну
похідну.