suep_metod_sem2 / suep_metod_sem2 / 5.1 - Математическое описание асинхронного двигателя

Математическое описание асинхронного двигателя как объекта управления

Понятие обобщенного вектора

Для упрощения анализа процессов в асинхронном двигателе (АД), обычно принимаются следующие допущения [Шрейнер]:

машина является симметричной;

напряжения, токи, потокосцепления обмоток являются синусоидальными;

не учитывается насыщение магнитной цепи АД;

потерями в стали статора и ротора АД можно пренебречь;

параметры обмоток сосредоточенные и не зависят от режима работы АД;

параметры обмоток ротора приведены к цепи статора.

Геометрическая схема расположения обмоток машины имеет вид, показанный на рис.5.1. Для обмоток статора использованы обозначения A, B, C, для

что его проекции на оси А, В и С равны мгновенным значениям токов соответствующих фаз статора:

где ISm – амплитуда фазного тока статора;

S 2 fS z p 0 – частота вращения поля статора, эл. рад/с, связанная с

синхронной частотой вращения двигателя 0 через коэффициент пропорциональности z p ;

i – начальная фаза, эл. рад.

Этот вектор вращается относительно неподвижной системы координат А, В, С с угловой частотой S 2 fS поля статора, и его называют обобщенным

вектором тока статора. Таким образом, с помощью одного обобщенного вектора тока статора можно представить синусоидальные токи всех трех фаз статора симметричной АМ в любой момент времени.

Для описания обобщенного вектора на плоскости удобно использовать аппарат комплексных чисел. Тогда его можно выразить через мгновенные значения фазных токов:

IS 23 iSA a iSB a2 iSC ,

где a e j2 3 – комплексный орт поворота.

Можно показать, что обобщенный вектор IS имеет длину, равную амплитуде фазного тока статора ISm .

Трехфазная система координат статора А, В, С, используемая для определения положения обобщенного вектора на плоскости, очевидно, является избыточной. Поэтому обобщенный вектор может рассматриваться в неподвижной ортогональной системе координат , , ось которой удобно совместить с осью А (рис.5.2). Считая ось действительной, а ось – мнимой, вектор тока статора в любой момент времени можно представить в виде комплексного числа

IS iS jiS .

Аналогичным образом вектор тока статора можно рассматривать в любой другой ортогональной системе координат. Например, возьмем систему координат 1, 2 (рис.5.2), которая вращается относительно неподвижных систем А, В, С и , с произвольной угловой скоростью C d C dt :

IS iS1 jiS 2 .

Положение системы координат 1, 2 (рис.5.2) относительно неподвижной трехфазной системыА, В, Сстатора определяется углом

C C0 C dt ,

аотносительно системы координат a, b, c ротора – углом

C R C0 R0 C R dt ,

где C0 – начальное значение угла между системами координат 1, 2 и А, В, С;R0 – начальное значение угла между системами координат А, В, С и a, b, c.

Связь между проекциями тока статора в системе координат 1, 2 и проекциями в системе координат А, В, С выражается формулами

потокосцепления R ротора.

При этом векторы величин ротора изначально должны рассматриваться относительно системы координат a, b, c, неподвижной относительно ротора, и вращающейся вместе с ротором. Для перехода от системы координат a, b, c к системе 1, 2 в последних формулах следует заменить С на С– R.

Математическое описание АД в произвольной ортогональной системе координат

Система уравнений электрического равновесия напряжений фаз статора в векторной форме, записанное в произвольной ортогональной системе координат 1, 2 имеет вид:

где Lm 32 Lh – главная взаимная индуктивность между фазой статора и фазами

ротора;

LS Lm LS , LR Lm LR – полные индуктивности статора и ротора.

Для вычисления электромагнитного момента используются уравнения, составленные в соответствии с законом Ленца:

Уравнения (1) – (5) асинхронной машины в произвольной ортогональной системе координат называются уравнениями Парка – Горева.

Структурная схема АД для задач скалярного управления со стороны статора

Скалярное управление заключается в поддержании определенных соотношений между амплитудами (или действующими значениями) электрических величин без контроля взаимного расположения векторов. Для формирования управляющих воздействий при этом наиболее удобна синхронная система координат x, y, которая вращается относительно неподвижной с угловой скоростью

Кроме того, при управлении со стороны статора ротор двигателя замкнут накоротко непосредственно либо через добавочный реостат, поэтому

Для снижения громоздкости уравнений (1), (2) исключим из них векторы IR , R , выразив их из уравнений (3), (4). В результате после дополнительных преобразований с учетом (7) можно получить:

1 L2m LS LR – коэффициент рассеяния.

Разложим (8), (9) на составляющие по осям x,y . Для этого в них следует

подставить все векторы в комплексном виде и записать отдельно уравнения для действительных и мнимых составляющих. В результате получим:

Уравнение электромагнитного момента получим из первого уравнения (5) путем подстановки выражений векторов потокосцепления и тока статора:

Уравнение движения:

Рис.5.4. Структурная схема АД в синхронной системе координат статора.

При задании вектора напряжения статора важно выполнять соотношение:

uSx2 uSy2 US USm .

Этому условию соответствует и частный случай, когда

а синхронная система координат по сути становится полярной и ориентированной по вектору напряжения статора.

Структурная схема рис.5.4 существенно нелинейна, содержит большое число перекрестных связей, и поэтому неудобна для задач синтеза. Для получения более простых схем принимают ряд дополнительных допущений.

Предположим, что при рассмотрении процессов в статоре АД его активным сопротивлением можно пренебречь.

Вследствие этого к электрической цепи статора АД можно применить теорему постоянства потокосцепления [Терехов – ПП], т.е.

Sx const ; Sy const . (16)

С учетом (14) – (16) уравнения цепей статора (10) можно записать в виде:

Теперь уравнения (11) равновесия ротора примут вид:

а уравнение момента (12):

Поскольку составляющая тока iSy при принятых допущениях не участвует в

формировании момента, можно не брать в рассмотрение второе уравнение (18), а в оставшемся уравнении величиной ЭДС вращения ωS ωR σLSiSy , пропор-

циональной скольжению s 1 0 , часто можно пренебречь.

На основании упрощенного математического описания может быть получена структурная схема, справедливая для линейной части механических характеристик АД (рис.5.5). Данная схема является исходной при решении задач синтеза систем асинхронного ЭП со скалярным управлением, когда обеспечивается работа двигателя на линейной части механических характеристик.

Рис.5.5. Упрощенная структурная схема АД в синхронной системе координат.