Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
2
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
285.62 Кб
Скачать

Челябинский государственный университет

ИНТЕ И ОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ДНОЙ ПЕ ЕМЕННОЙ

Методические указания

Челябинск

2000

Миниосãîñóтерствоийской Федерацииобразования

Челябинский дарственный университет

Интегрирование ункций одной переменной

Методические указания

Челябинск 2000

Одобрено учебно-методическим ветом

 

ого акуль-

тета Челябинского государственногî университетматематическ.

Методические указания содержат излож

методов нах

íèÿ неопределенныхинтеграл в, собст

ениенесобственных, так-

же методы исследования сх димости несобственных интегралов.

 

интегралов от различных ункций, вычислжде

Предназначены для студентов первого курса специальности "При-

кладная

à".

 

 

ецензент:математиканд. из.-мат. наук, доц. А.С.Макаров

Составитель:

анд. из.-мат. наук, доц. В.Е.Федоров

 

ð íè

 

Содержание

 

1

 

Т блица остейших интегралов

2

 

Зам на переменной

3

 

 

по частям

4

 

Интегрирование раци нальных ункций

5

 

Метод Остроградского

6

 

Тригонометрические ункции

7

 

Интегрирование иррациональных ункций

8

 

Определенный интеграл

9

0

и сравнения

 

Признак Абеля - Дирихле

11

лавное значение в смысле Коши

2

3

4

7

8

63

18

264

34

1 Таблица простейших интегралов

3

 

 

 

цииОпределение 1. Функция F называется первообразной для унк-

øåìfмножествонамножестве X, åñëè äëÿ âñ õ x

 

X F (x) = f (x). В дальней

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

разных для ункцииX указывать не будем. Совокупностьпервообразнаявсех

 

называется неопределенным интегралом

этой ункции

обозначаетсяf (x)

 

 

 

 

 

( ) = ( ) R

 

 

 

 

äëÿ

f (x)dx. Åñëè F (x)

 

 

R

 

 

 

 

 

ОСНОВНЫЕf (x), то СВОЙСТВАf x dx F xÍÅÎÏ+ C, гдеЕДЕЛЕННЫХC произвольнаяИНТЕконстантАЛОВ.

d Z f (x)dx = f (x)dx;

Z f (x)dx

= f (x);

Z

df (x) = Z f (x)dx = f (x) + C;

Z

 

Z

Z

ТАБЛИЦА(αf (x) + βgÏ(x))ОСТЕЙШИХdx = α f (x)ÈÍÒÅdx + β ÀËÎÂg(x)dx.

 

 

 

Z

 

xαdx =

 

xα+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C, α 6= −1

 

 

 

 

= ln |x| + C

 

 

 

 

 

 

 

α + 1

 

 

x

 

 

 

 

 

Z axdx =

ax

+ C, a > 0, a 6= 1

 

 

Z

exdx = ex + C,

 

 

 

ln a

 

 

 

 

 

 

 

Z

sin xdx = − cos x + C

Z

cos xdx = sin x + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

dx

 

= tg x + C

Z

 

dx

 

= − ctg x + C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

sin2 x

 

 

 

 

Z

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

arctg

 

 

+ C,

a 6= 0

 

 

 

sh xdx = ch x + C

 

 

a2 + x2

a

a

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

1

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

=

 

ln

 

 

+

 

+ C,

a 6= 0

 

 

Z

ch xdx = sh x + C

 

a2

x2

2a

a

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

C, a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

= 0

 

Z

sh2 dx

=

cth

 

+

 

 

a2 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Z

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

= ln |x + px

2

+ a| + C, a 6= 0

 

 

x2

+ a

 

 

 

 

 

 

Z ch2 dx = th x + C

ãðàПриведелов.

м некоторые примеры вычисления неопределенных инте-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

x3

 

 

 

2dx

 

 

 

x6

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

+ )

 

 

 

= Z

 

+ 2 x + x

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

Z

 

x11/2dx + 2 Z

x3dx + Z xdx =

 

 

x6x +

 

 

x4 +

 

x3/2 + C.

 

 

 

13

2

3

 

 

 

 

Z

 

2x

x

dx = Z

 

 

2

 

 

x

 

 

 

Z 20

x

 

 

 

 

 

 

 

20x

 

 

2изшитьУП[1

2

5

 

 

(2

 

· 5)

 

dx =

 

 

dx =

 

+ C.

 

 

 

 

 

 

ln 20

 

 

Замена.задания)АЖНЕНИЕ•переменной1628.Применяя1673. (Здесьтаблицув дальнейшемпростейшихзаданияинтеграловдаютсяре-

Используя ормулу для ди еренциала ункции с помощью замены dϕ(x) = ϕ(x)dx,

ное выражение видаϕ(x) = u часто удается упростить подынтеграль-

Z Z

ãäå f (ϕ(x))ϕ(x)dx = f (u)du = F (u) + C = F (ϕ(x)) + C,

алов:ПриведемF (u) первонекоторыебразнаяормулыдляункциидляпреобразованияf (u). ди еренци-

 

dx =

1

d(ax + b),

 

dx

= d ln x,

 

 

 

 

x

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xαdx =

dxα+1

 

axdx =

dax

 

 

 

 

,

 

 

,

 

 

α + 1

 

ln a

 

ассмотримcosнесколькоxdx = d sinпримеровx, sin. xdx = −d cos x.

 

 

(1 + x2) arctg x =

arctg x

= u = arctg x =

Z

dx

 

Z

d arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

= Z

 

du

= ln |u| + C = ln | arctg x| + C.

 

 

 

 

 

 

 

u

 

4 + x4

= 2 4 + x4 = u = x2 =

2 22

+ u2 =

Z

xdx

1

 

Z

dx2

 

 

 

1

Z

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

ëî

 

 

1

 

 

 

 

u

 

 

1

x

 

+ C.

 

 

 

 

4 arctg

2

+ C =

4 arctg 2

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ехчленеа ву åнеразлокции,ныполный(сотрицательнымсодержащейæимомквадраттрехчлене:.вОбщеезнаменателедискримиправ

 

 

 

 

 

 

 

 

å трехчл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

квадрат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

íантом),еразложимыеИногдавыделениянадоприполвыдинтегквадратныíåоголитьировании

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

2

 

 

4c

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

4a

 

 

 

 

 

 

ассмотримax + bxпростейшие+ c = a x ïðè+ ìxåðû+ .

 

 

= a x +

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z

 

 

 

 

 

 

 

 

d(x + 1/2)

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

= Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + x + 1

 

 

(x + 1/2)2 + 3/4

 

 

 

 

 

(x + 1/2)2 + 3/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

2

+ 3 dx|

 

 

 

 

 

 

 

 

|1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln x + 1/2 + (x + /

 

 

 

 

 

 

/4 + C = ln x + 1/2 + x + x + 1 + C.

 

Z

 

 

 

 

 

 

= Z

 

 

 

 

 

 

 

=

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

2x2 + x + 1

2(x2 + 21 x + 21 )

2

2

(x + 1/4)2 + 7/16

 

 

 

= 1 16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

2

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

27

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

4x

+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

·

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

+

1

 

+ 1

 

 

7

4x

+

 

1

 

 

 

 

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

7

 

 

 

7

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ïðîâ= √îä7èòüarctg

+ C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

емыек .ИногдаПустьункциидобнее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

çàìåíó

ïåðеменных в обратном поряд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x(t) и.Еслиt(x) взаимнообратные и непрерыв о ди еренциру-

òî

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φ(t) первообразная для уíêöèè f (x(t))x(t),

Z Z

f (x)dx = f (x(t))x(t)dt = Φ(t) + C = Φ(t(x)) + C.

6

Функциявыражениеx.(t) подбирается так, чтобы упростить подынтегральное

Z

(x + 3)2x − 1dx = x − 1 = t,

 

 

 

dx = dt =

Z

(t + 4)2tdt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1/2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

7/2

 

 

16

 

5/2

 

 

 

32 3/2

 

 

 

 

 

 

= Z

t

 

 

dt + 8 Z

 

t

dt + 16 Z

 

t

 

 

dt =

 

 

t

+

 

 

 

 

 

t

 

 

 

+

 

 

t

 

+ C =

 

 

 

 

 

 

7

5

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Åñëè дробныхстепеней îò

 

выражений вида

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

7(x − 1)

 

 

 

 

 

 

 

x − 1 + 3

5(x − 1) x − 1 + 10 3(x − 1) x − 1 + C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax+b

 

нескольêî, òî äåëà-

 

ем замену

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx+d

 

 

ãäå

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax + b

 

 

= zp,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cx + d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p наибольший общий знаменатель всех показателей степеней.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6z5dz

 

 

 

 

 

z3 · 6z5dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+x

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

= z6

, dx =

 

 

 

 

 

=

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 +

x)2

1 +

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 z6)2

 

 

 

 

 

 

1 + z2

 

 

1+x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

4

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 6 Z z

 

 

− z

 

+ z

 

 

 

− 1 +

 

 

 

 

dz =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

6

z7

6

 

z5 + 2z3 − 6z + 6 arctg z + C =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7/6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5/6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

x

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è ýòîì ìû

 

 

 

 

 

 

äелили

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+r1 + x −6r1 + x +6 arctg r1 + x+C.

=Ïð7

1 + x

 

 

ðàç5

1 + x

 

 

Вычислим еще несколько8 интегралов2. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

íà 1 + z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

=

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

=

 

 

 

 

 

Z

 

1 + ex = ex

= y, x = ln y, dx =

y

Z

 

 

y(1 + y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

+ C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y + 1

 

 

1 + y

+ C = ln

 

 

 

 

 

 

+ ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

пользуяегралы •методы,1674- изложенные-1843вданном. па-

 

рагрУÏà å,ÀЖНЕНИЕ=âû÷èслить. интИс

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

ln

 

 

 

 

 

 

 

 

+ C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

sin x

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

1 − cos2 x

 

 

Z

 

1 − cos2 x

2

 

 

 

 

 

 

 

1 + cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1740,

1836

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Интегрирование по частям

7

справедливаЕслиu(x), vормула(x) непрерывноинтегрированияди поеренцируемыечастям ункции, то

 

 

 

Z

u(x)dv(x) = u(x)v(x) − Z

v(x)du(x) èëè

 

 

 

 

Приведем

Z

 

u(x)v(x)dx = u(x)v(x) − Z

v(x)u(x)dx.

 

 

 

 

 

 

 

наиболее типичные примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln xdx = u = ln x, v = x = x ln x −

 

xd ln x = x ln x −

 

x xdx =

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x ln x − Z

dx = x ln x − x + C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x cos 2xdx = 2

xd sin 2x = u = x, v = sin 2x =

 

 

 

Z

 

 

 

 

1

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2 Z sin 2

 

 

2

 

 

 

 

4

 

 

+

 

 

 

 

 

 

x sin

 

x

 

 

1

 

 

xdx

 

 

 

 

x sin 2x +

 

cos

 

x

 

C.

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

1

 

 

 

1

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2e3xdx =

 

x2de3x =

 

 

x2e3x

 

e3x2xdx =

 

 

 

 

3

3

3

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

Z

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

2

Z

 

 

 

 

 

 

=

 

x2e3x

 

xde3x =

 

x2e3x

 

xe3x +

 

 

e3xdx =

 

 

 

 

3

9

3

9

9

 

когдаТакие

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3x

2

 

3x

 

 

 

2

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ðлогичныале вместоì образомножèòì елявычисляютсявторомислуча ,

 

 

 

интегралыпервоминтеган= à3 x e −

9 xe

 

+

27e

 

+ C.

 

 

 

 

 

 

грале âместо ножителя

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x èëè âî

èíòå-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

последовнекоторыйтельномногочленпочастямстепени

n.

При э ом надо интегрироватьx стоит

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Èíòегралы следующих типов выражàются сами через себяn ðàç. .

 

I = Z

e2x sin 3xdx =

1

 

Z

sin 3xde2x =

1

e2x sin 3x −

1

 

Z

e2xd sin 3x =

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

2

 

1

 

3

 

Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

Z

 

 

 

=

 

e2x sin 3x −

 

 

 

e2x cos 3xdx =

 

 

e2x sin 3x −

 

cos 3xde2x =

2

2

 

2

4

8

 

 

 

 

 

 

=

1

e2x sin 3x −

3

e2x cos 3x +

3

 

Z

e2xd cos 3x =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4

4

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

e2x(2 sin 3x − 3 cos 3x) −

9

Z

e2x sin 3xdx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

e

2x

(2 sin 3x − 3 cos 3x) −

 

 

9

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

1 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I =

 

 

e

 

 

 

(2 sin 3x − 3 cos 3x),

 

I =

 

 

 

e

(2 sin 3x − 3 cos 3x).

 

4

4

 

 

 

13

 

 

J = Z

 

 

 

p

a2 − x2dx = x a2 − x2 Z xd a2

− x2 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

−2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

 

 

x

dx

 

= x a2

 

 

x2

x

 

 

 

 

 

dx = x

 

 

 

 

a2

 

 

 

x2 +

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a2 − x2

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 − x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z

 

a2 − x2 − a2

dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

 

 

a2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

a2 − x2

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x

 

 

 

 

 

 

a2

− x2 Z

 

 

 

 

 

a2 − x2dx + a2 Z

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

p

= xp

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 − x2

+ a2 arcsin

 

− J + C1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АЖНЕНИЕинтегралыîвание. Применяя• 1791рационал1831метод. интегрированияüных ункцийпо частям,

4вычислитьУПИнтегрирJ = 2 pa

− x +

2

arcsin a + C,

 

 

 

a > 0.

 

 

ациональной называется унк ия вида Rl (x)

 

многочлены степени

 

 

 

 

 

, ãäå Rl(x), Qn(x)

 

 

Qn(x)

Åñëè

 

l è n соответственно.

 

 

l ≥ n, то можно выделить целую часть дроби

 

 

Rl(x)

 

Pm(x)

 

 

 

 

 

= Sl−n(x) +

 

,

 

 

 

Qn(x)

Qn(x)

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Интегрирование