Интегрирование / integ

Одобрено учебно-методическим ветом

ого акуль-

тета Челябинского государственногî университетматематическ.

Методические указания содержат излож

методов нах

íèÿ неопределенныхинтеграл в, собст

ениенесобственных, так-

же методы исследования сх димости несобственных интегралов.

интегралов от различных ункций, вычислжде

Предназначены для студентов первого курса специальности "При-

кладная

à".

ецензент:математиканд. из.-мат. наук, доц. А.С.Макаров

Составитель:

анд. из.-мат. наук, доц. В.Е.Федоров

1 Таблица простейших интегралов

3

цииОпределение 1. Функция F называется первообразной для унк-

øåìfмножествонамножестве X, åñëè äëÿ âñ õ x

X F ′(x) = f (x). В дальней

-

разных для ункцииX указывать не будем. Совокупностьпервообразнаявсех

называется неопределенным интегралом

этой ункции

обозначаетсяf (x)

( ) = ( ) R

äëÿ

f (x)dx. Åñëè F (x)

R

d Z f (x)dx = f (x)dx;

Z f (x)dx ′

= f (x);

Z

df (x) = Z f ′(x)dx = f (x) + C;

Z

Z

Z

Z

xαdx =

xα+1

Z

dx

+ C, α 6= −1

= ln |x| + C

α + 1

x

Z axdx =

ax

+ C, a > 0, a 6= 1

Z

exdx = ex + C,

ln a

Z

sin xdx = − cos x + C

Z

cos xdx = sin x + C

Z

dx

= tg x + C

Z

dx

= − ctg x + C

cos2 x

sin2 x

Z

dx

1

x

Z

=

arctg

+ C,

a 6= 0

sh xdx = ch x + C

a2 + x2

a

a

dx

1

a

x

Z

=

ln

+

+ C,

a 6= 0

Z

ch xdx = sh x + C

a2

−

x2

2a

a

x

−

dx

x

dx

arcsin

C, a

x

C

Z

=

+

= 0

Z

sh2 dx

=

−

cth

+

√a2 − x2

a

6

4

Z

dx

dx

= ln |x + px

2

+ a| + C, a 6= 0

√x2

+ a

Z ch2 dx = th x + C

ãðàПриведелов.

м некоторые примеры вычисления неопределенных инте-

(

x3

√

2dx

x6

x3√

x

Z

+ )

= Z

+ 2 x + x

dx =

√

√

x

x

2

1

2

Z

x11/2dx + 2 Z

x3dx + Z √xdx =

x6√x +

x4 +

x3/2 + C.

13

2

3

Z

2x

x

dx = Z

2

x

Z 20

x

20x

2изшитьУП[1

2

5

(2

· 5)

dx =

dx =

+ C.

ln 20

Замена.задания)АЖНЕНИЕ•переменной1628.Применяя1673. (Здесьтаблицув дальнейшемпростейшихзаданияинтеграловдаютсяре-

dx =

1

d(ax + b),

dx

= d ln x,

x

a

xαdx =

dxα+1

axdx =

dax

,

,

α + 1

ln a

ассмотримcosнесколькоxdx = d sinпримеровx, sin. xdx = −d cos x.

(1 + x2) arctg x =

arctg x

= u = arctg x =

Z

dx

Z

d arctg x

= Z

du

= ln |u| + C = ln | arctg x| + C.

u

4 + x4

= 2 4 + x4 = u = x2 =

2 22

+ u2 =

Z

xdx

1

Z

dx2

1

Z

du

2

ëî

1

u

1

x

+ C.

4 arctg

2

+ C =

4 arctg 2

-

ехчленеа ву åнеразлокции,ныполный(сотрицательнымсодержащейæимомквадраттрехчлене:.вОбщеезнаменателедискримиправ

å трехчл

квадрат

íантом),еразложимыеИногдавыделениянадоприполвыдинтегквадратныíåоголитьировании

b

c

b

2

4c

b2

2

2

a

a

+

2a

4a

ассмотримax + bxпростейшие+ c = a x ïðè+ ìxåðû+ .

= a x +

− .

dx

dx

= Z

d(x + 1/2)

Z

√

= Z

=

x2 + x + 1

(x + 1/2)2 + 3/4

(x + 1/2)2 + 3/4

p

p

|

dx

2

+ 3 dx|

|1

2

|

1 2)

pdx

p

ln x + 1/2 + (x + /

/4 + C = ln x + 1/2 + x + x + 1 + C.

Z

= Z

=

Z

=

2x2 + x + 1

2(x2 + 21 x + 21 )

2

2

(x + 1/4)2 + 7/16

= 1 16

dx

2

=

7

27

=

d

4x

+

1

·

Z

√

Z

√

√

2

7

4x

+

1

+ 1

7

4x

+

1

+ 1

√7

√7

√7

√7

√7

ïðîâ= √îä7èòüarctg

+ C.

2

4x + 1

емыек .ИногдаПустьункциидобнее

çàìåíó

ïåðеменных в обратном поряд

x(t) и.Еслиt(x) взаимнообратные и непрерыв о ди еренциру-

òî

Φ(t) первообразная для уíêöèè f (x(t))x′(t),

Z

(x + 3)2√x − 1dx = x − 1 = t,

dx = dt =

Z

(t + 4)2√tdt =

5/2

3/2

1/2

2

7/2

16

5/2

32 3/2

= Z

t

dt + 8 Z

t

dt + 16 Z

t

dt =

t

+

t

+

t

+ C =

7

5

3

2

3

1

2

2

Åñëè дробных√степеней îò

выражений вида

√

√

=

7(x − 1)

x − 1 + 3

5(x − 1) x − 1 + 10 3(x − 1) x − 1 + C.

ax+b

нескольêî, òî äåëà-

ем замену

cx+d

ãäå

ax + b

= zp,

cx + d

p наибольший общий знаменатель всех показателей степеней.

dx

6z5dz

z3 · 6z5dz

x

x

1+x

=

= z6

, dx =

=

=

(1 +

x)2

1 +

3

x

1 + x

(1 z6)2

1 + z2

1+x

p

−

Z

Z

p

6

4

2

1

= 6 Z z

− z

+ z

− 1 +

dz =

1 + z2

=

6

z7

−

6

z5 + 2z3 − 6z + 6 arctg z + C =

7

5

7/6

5/6

6

x

6

x

x

x

x