Интегрирование / integ

интеграл расходится.

30

+∞

1

+∞

p

1

x

p

1

x

p 1

x

второго из интегралов. Так как для достаточно большого

Начнем соI =

Z0 x

− e−

dx = Z0

x

− e−

dx + Z1 x

− e−

dx.

A ïðè x > A

e−x ≤ x−p−1, òî

+∞

p

1

x

A

p

1

x

+∞

dx

слагаемое.Ихсуммасобственныйх дящийсяинеграл,интегралвторое. дèìх остьдящийся несоб-

ственныйПервоеПри

Z1 x

− e−

dx ≤ Z1 x

− e−

dx + Z1

x2 .

1

x (0, 1) e−1

≤ e−x

≤ 1

поэтому схо

1

интеграла

(9x.4)p−1eí−сходитсяxdx равносильнатолькприсходимости интеграла

R

xp−1dx. Согласно

R

îò íóëÿ äî

1

p < 1

0

0

ãðàë

бесконечности сходится. Значит,при наш исходный инте-

−

p > 0.

Íà

+∞

xm

1

xm

+∞

xm

Z0

1 + xn dx = Z0

1 + xn dx + Z1

1 + xn dx.

бесконечности

xm

1

+∞ xm

ïðè

x

m

R

ÿ

. Ïðè

1+xn

xn−m , поэтому интеграл

1

1+xn dxдитсходится

n > m + 1

x → 0

m

интегралвыполнениисх

ïðè

x

1+xn

m > −1. Весь интеграл поэтому сходится при

у ловий

m > −1, n > m + 1.

n+1 . Èíòåãðàë

x) x . Значит, при n > 1 ln(1+x)

x 2 Ïðè

n

+∞

1

+∞

Â

I = Z0

ln(1 + x)

ln(1 + x)

ln(1 + x)

xn

dx = Z0

xn

dx + Z1

xn

dx.

окрестности

íóëÿ

сходится при

ln(1+x)

x1−n

, поэтому первый из интегралов

xn

α

n < 2. Для любого α при достаточно больших x ln(1 +

≤

≤

n−1

ln(1+x)

≤

1

îò

x

x

2

1 äî

сходится, так как n+1

ln(1+x)

1

+∞

> 1.

n ≤ 1

≥ xn è

2

xn

32

= y − 1 = z =

+∞

1

z2 + 2z

+∞

z2

+ 2z

Z

z2 + 2z

= Z

+ Z

0

ln(1 + z)dz

0

ln(1 + z)dz

1

ln(1 + z)dz

1

+∞

Z0

zdz

ln(1 + z)dz

2z

+

Z1Âò

z2

+ 2z .

Первый из интегралов схîäèòñÿ.

орой оценим сверху:

+∞ln(1 + z)dz

+∞√

сяСогласно.

zdz

Z

z2 + 2z

≤ Z1

z2 .

УП АЖНЕНИЕ(9.3) интеграл21.. ИВычислитьходится.Исходныйинтегралынасследовать ñõîдимоин•стьтеграл2334интегралы-также2347. сходит•2358-

- 2375.

10

Признак Абеля -

абсолют-

с ормулированные доДирихлепор признаки касаютс

Всех димос и, так как они справедливы для

óíê-

íîöèéСне,вабсолютно,ормулируемчастностиункция длятопризнакмы будем. ЕслиАбеназыватьляинтегралДирихлеегîтуснеотрицательныхусловнойдо первообразную,сходящèìдится,ости:ся.

Пусть

|f (x)|

a b ≤ +∞

интегралункция

f (x) имеет ограниченную при x > a

g(x) монотонно стремится к нулю при x → +∞. Тогда

+∞

R

Исследуемfинтеграл(x)g(x)dx сходится.

a

+∞

sin x

è

Z0

на абсолютную

x

dx

условную сходèìîñòü. Òàê êàê ïðè

+∞

sin x

митсходится по признаку Абеля -Z0

x dx òàê êàê

Дирихл ,

ÿ ê íóëþ

1/x монотонно стре

x → +∞, а первообразная ункции sin x ýòî

+∞ sin x

+∞sin2 x

1

+∞dx

1

+∞cos 2x

Первыйтся,образнаявторойиç èíòåграловункцсхПоэтомуд сратс внениправойпопризня частиàêóðÀáàâелянстâ-а,Диочевидрихле,являетсо,акрасхокак-

ä

Z0

| x

|dx ≥

Z0

x

dx =

2

Z0

x

−

2

Z0

x

dx.

π/2

sin x

y

y y2

1

Z sin x

sin

1

dx =

1

= y,

x = arcsin

1

,

dx =

−dy

=

0

−

p

+∞

sin ydy

интегралов на абсолютную сходимость.

Исследуем последний из

Z

p

.

1

y

y2 − 1

+∞

2

dy

+∞

dy

Во втором

Z

sin y dy

≤ Z

y

1

+ Z

y

1.

y|

y2

|

1

y2

y2

интеграле при

p

−

1

p

−

1

p2

−

1

2

дится. В первом интеграле сделаем замену

y−

, поэтому он схо-

y → +∞ y√

y2−1

Z

2

y

y2

1

(z + 1) z(z + 2).

1 = y − 1 = z = Z

1

dy

−

0

dz

p

p

35

Тогда интегралом в смысле главного значения по Коши называется

число

b

ε→0+

c−ε

b

v p Z

Z

Z

f (x)dx

.

Аналогично. при. fу(словии,x)dx = чтоlim ункцияf (x)dx +

a