Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегрирование / integ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

285.62 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

ãäå Sl−n(x), Pm(x) многочлена ы степени l − nрациональнойm соответственно,

mк интегрированию< n. Поэтому интегрироваíèеправц ональныхльной

ункций сводитсядроби

Pm(x)

При этом можно считать êîý ,èö måíò< ïðèn.

Qn(x)

знамеíателяииèнтеграланамножителиотравункцииым единицетакого. ви-

да Первымявляетсяшагомразложениепривычисл

соответственно,действительных корней (

+ plx + ql, l = 1, . . . , j, не имеют

ãäåQn(x) = (x − a1)k1

. . . (x − ai)ki (x2 + p1x + q1)l1 . . . (x2

+ pj x + qj )lj ,

корни многочлена

(x)

кратности

, k2, . . . , ki

a2, . . . , ai а трехчлены

простСл

). Ïðè

суммы.

йшихдующимдробей:шагом являетсяpl − 4qlпредставление< 0 этомдробиkr â+âèäå2 lj

= n

r=1

A1(1)

A2(1)

(1)

A1(2)

(2)

Pm(x)

Ak1

Ak2

+· · ·+

Qn(x)

x − a1

(x − a1)2

(x − a1)k1

x − a2

(x − a2)k2

A(1),. . . A(i), B(1),. . . B(j), C(1),. . . C(j)

некоторые ч

ñëà,

îòî

A1(i)

(i)

B1(1)x + C1(1)

B2(1)x + C2(1)

Aki

x − ai

+ · · · +

(x − ai)ki

x2 + p1x + q1

(x2 + p1x + q1)2

+ · · · +

(1)

B1(j)x + C1(j)

(j)

ЗдесьBl1

x + Cl1

Blj

x + Clj

+ · · · +

(x2 + p1x + q1)l1

x2 + pj x + qj

(x2 + pj x + qj )lj

общемучаетсрыея

оторыйм,ячтометодомправаямногочлен.Вчислителенеопределенныхчастьстепенипоследнегополучившегоск эравенстваициентовприравнятьвыраженияприво. Заключадитсяполук

нахоонявзнаменателюекдятс

енныемногочленачерезискомые константы, ,надокоэ ициенты

которого,ккоэ

выражициентам

пример. Получится система

m + 1

линейного

уравнения. ассмотрим Pm(x)

I = Z

4x2 + 3

(2x2 − 8)(x2 + 1)2

(x − 2)(x + 2)(x2 + 1)2

4x2 + 3

Cx + D Ex + F

(x − 2)(x + 2)(x2 + 1)2

x − 2

x + 2

x2 + 1

(x2 + 1)2

A(x + 2)(x2 + 1)2 + B(x − 2)(x2 + 1)2

(x2 − 4)(x2 + 1)2

(Cx + D)(x2 − 4)(x2 + 1) + (Ex + F )(x2 − 4). (x2 − 4)(x2 + 1)2

4x2 + 3 = (A + B + C)x5 + (2A −2B + D)x4 + (2A + 2B −3C + E)x3+ +(4ОтсюдаA −4B −3D + F )x2 + (A + B −4C −4E)x + (2A −2B −4D −4F ).

A + B + C = 0, 2A − 2B + D = 0,

2A + 2B − 3C + E = 0, 4A − 4B − 3D + F = 4,

åøàÿ ýòóA +систему,B − 4Cполучим− 4E = 0значения, 2A − 2B − 4D − 4F = 3.

	универсальны,				A = 0, 19, B = −0, 19, C =
E = 0, D = −0, 76, F = 0 2. Поэтому
I = 0, 095 Z	dx			dx		dx		dx
		−0 095 Z			−0, 38 Z		+0 1 Z
	x − 2		x + 2			x2 + 1		(x2 + 1)2
								-
					ðатностиимер,ициентовеслиодин)выше,знаменательразложения,корни,новчастныхможноимеко
поступитьетслучаяхторыеЕстьтолькнедругиебываютстольдействительныеследующимметодыгораздонахобразомдобнеепростыеждениякак. . Напизложенныйкоэ(к								(4.1).

2x2 + 4x − 5	=	A	+	B	+	C	.
(x2 − 1)(x + 2)		x − 1		x + 1
						x + 2

2Положимx + 4x −поочередно5 = A(x + 1)(x + 2) + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)(x + 1).

x = 1, x = −1, x = −2. Получим равенства

Отсюда

1 = 6A,

−7

= −2B,

−5 = 3C.

A = 1/6, B = 7/2, C = −5/3.

2x2 + 4x − 5

ln x

+ 3

ln x + 1

| −

ln x + 2

+ C.

(x2 − 1)(x + 2)

| −

естьЕсликорнизнаменателькратности имеебольтшедействительныеединицы, òî ïîñкорни,тупим средитак: которых11

	(4
	−x2 + 3x + 7	=	A	+	B	+	C	.
	(x + 3)(x + 1)2		x + 1		(x + 1)2		x + 3
2									2	. (4.2)
Положим−x + 3x + 7 = A(x + 1)(x + 3) + B(x + 3) + C(x + 1)										. (4.2)

получим x = −1 тогда 3 = 2B, B = 3/2. Теперь положим x = −3, руем тождество−11 = , .C2):= −11/4. Осталось найти A. Проди еренци-

Положим −2x + 3

= A(2x + 4)

+ B + 2C(x + 1).

x равным значению кратного корня, то есть x = −1, тогда

5 = 2A + B = 2A + 3/2, A = 7/4.

−x2 + 3x + 7

d(x + 1) 11

4 Z

2 Z (x + 1)2 − 4

x + 3

Z (x + 3)(x + 1)2

x + 1

1, 5

рованиеИтак,сводимразбивая= 1, 75к интегрироваlnправильную|x + 1| − íèþдробьдробей−íà2, 75простейшие,следующихln |x + 3| +ìûCвидов:.ее интегри-

x + 1

A		B		Cx + D		Cx + D
Ïîñ1)читаеì;	интегралы2)		îò	;ýòèõ 3)дробей:	; 4)			.
						(x2	+ px + d)l
x − a		(x − a)k		x2 + px + q

1)x − a dx = A ln |x − a| + C.

+ C.

(x − a)k

(1 − k)(x − a)k−1

Cx + D

dx = Z

Cx + D

dx =

x2 + px + q

(x + p/2)2 + 4q−4 p2

= x + p/2 = u,

4q − p2

= b, D

−

= E

Cu + E

du =

u2 + b

udu

d(u

+ b)

Z u2 + b

Z u2

+ b = 2

u2 + b

Z u2 + b

= C

						12
	C	2	E	u	+ C1	=
	замети= 2 ln(u		+ b) + √b arctg √b		+ C1	=
Здесь надо	òü, ÷òî
вадратного трехчлена			b = −D/4 > 0, òàê êàê D дискриминант

êорней,

значит отрицательныйx + px +. q, не имеющего действительных

ln(x2 + px + q) +

2D − Cp

arctg

2x + p

+ C1.

− Cp

2Cx + D

4q − p2

l dx =

−l

2 dx =

x + p) + D

= 2 Z

(x + px + q)

+ 4q−p2

l =

(x2

+ px + q)l dx + D −

2 Z

(x + p/2)2

2x + p

d(x + p/2)

= x + p/2 = u,

4q − p = b

(

+ )

−

(u2 + b)l

2(1 − l)

В последнем интегралеx pxделаетсяq подстановD êà

u = √

tg z:

= b

−

cos

−

dz.

(u2 + b)l

2(l

èен интеграловспособсоотношвычислакоãîÿâèнтеграладамыеще рассмотримановимиспользо.6.

ВычисленЕщерекуррентноед

= R

âàòü

åíèå,

(u2+b)l

которое мы сейчас уст

u2 + b − u2

du =

(u2 + b)l

−

d(u2 + b) =

(u2 + b)l−1

(u2 + b)l

(u2 + b)1

Il−1 −

Z ud

−

1 − l

Il−1

u(u2 + b)1−l

−

2(l − 1)

(u2 + b)l−1

−

= I .

Например, посчитаем интеграл

2b(l

−

l−1

− 2(l

−

1)(u2 + b)l

−

+ C.

Z (x2 + 1)2

2 I1

2(x2 + 1)

2 arctg x −

2(x2 + 1)

Досчитàåì èíòåãðàë (4.1)

−

0, 33 arctg x

−

0, 05

+ C.

5 ПустьУПМетодАЖНЕНИЕI знаменатель= 0, Îñòð095 ln.

+ 1

x + 2 −

îãðàнесократимойешитьдскогозаданияправильной•1866 -1889дроби.

имеет вид								Pm(x)/Qn(x)
	k1			ki	2	l1	2	lj
Метод Остроградского заключается в использовании ормулы
Qn(x) = (x − a1) . . . (x − ai) (x + p1x + q1) . . . (x + pj x + qj ) .
В ней многочлены			Pm(x)		R(x)	T (x)

			Qn(x) dx =		S(x) + Z	U (x)dx.
Z			Qn(x) dx =		S(x) + Z	U (x)dx.
		S(x) и U (x) имеют вид

S(x) = (x−a1)k1−1 . . . (x−ai)ki −1(x2+p1x+q1)l1−1 . . . (x2+pj x+qj )lj −1,

	2	2
соответственнопроизведениемогут быть выч слены безжителейразло ения многочлена
U (x) = (x − a1) . . . (x − ai)(x + p1x + q1) . . . (x + pj x + qj )
QnДействительно,(x) íà	неприводèìûõ ìíî	.
многочленов	S(x) является наи ольшим общим делителем двух

горитмаМногочленЕвклида, который èзлагможаетсáяытьвкурсевычисалгебрыен при. помощи ал-
Qn(x) Qn′ (x)
быть вычисленUпосредством(x) представляетде собойия част	îå Qn(x)/S(x)	æåò
Остается ч слить многочëåíû Qn(x) íà S(x) столбик .
неопределеннымè коэ ициентами степениR(x)	Tíà(x)единицукакмногочленыниже,чемс

няхзнаменателюОстроградделенныхS(x) è Uчислителях(êîýxêîãî,) соответственносопоставитьицпрèентоввести резульследуетк. оэДляатициентыпровычисленияди еренцированияеренцироватьпри указанныхдинаковыхкобщемнеопреормустепелу--

основномМетоxждениеОстроградск.ого особенно э ективен, когда корни

íàõâ	являютсяорней кратными или огда вызывает								затруднение
íàõâ	являютсяорней кратными или огда вызывает								Qn(x)
Вычислим		Qn(x).
		6		7x		x2
Имеем		Z	− −					dx.
Имеем		Z	x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1					dx.
		Qn(x) = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1,
				3		2
Наибольший общийQделитель′ (x) = 4xýòèõ 6многочленовx + 6x 2. равен
		n			−		−
Поделив			S(x) = x2 − x + 1.

Qn(x) íà S(x) "столбиком", найдем

U (x) = x2 − x + 1.

íûìèR(x) èêîýT (x) ициентами,задаемкак многочленыиормула Остроградскогопервойстепенипринимаетснеопределенвид-

Z	x4	6 7x x2	Ax + B	+ Z	Cx + D
		− 2x3−+ 3x−2 − 2x + 1 dx = x2 − x + 1			x2 − x + 1dx.
Проди еренцируем эту орìóëó:

					6 − 7x − x2				=
	A(x2			x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1					=
				x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1
=		−	x + 1)		−	(Ax + B)(2x	−	1)	Cx + D
=		−			−		−		+	.
послеезультатчего	дисопоставляемеренцированиячислителиприводим.Получимк								îáùåìó çíàменателю,
				(x2	− x + 1)2				x2	− x + 1

6 −7x −x2 = A(x2 −x + 1) −(Ax + B)(2x −1) + (Cx + D)(x2 −x + 1).

нений

, x

è x

3, получим систему урав-

Сравнивая коэ ициенты при x

, x

A + D

C =

C = 0,

−2B D−+ C =− 7,

ешая эту систему, найдем

−

− −

образом ормула Остроградского

= 0

= 1

A = 2 B = 3

A + B + D = 6.

принимает,,

âèä ,

. Таким

2x + 3

x4 − 2x3−+ 3x−2 − 2x + 1dx = x2

− x + 1 + Z

x2 − x + 1 .

Вычислим интеграл в правой

части:

ar tg

2x − 1

Окончательно имååì=

+ C.

x2 − x + 1

(x − 1/2)2 + 3/4

√3

Z x4

6 7x x2

2x + 3

2 ar tg2x 1

− 2x3 + 3x2

− 2x + 1

x2 − x + 1

√3

ассмотрим еще один прèìåð.

−

dx =

− + C.

Z x2 + 1

азложим знаменатель наI ìíîæ= ители:dx.

x4 + 1

+(a+c)x+1.

xОтсюда+1 = (x

+ax+1)(x

+cx+1) = x

+(a+c)x

+(2+ac)x

√

a + c = 0, 2 + ac = 0, a = 2, c = −

x2 + 1

Ax + B

Cx + D

Приравниваем

коэ ициенты:

√

2x + 1)

√

+ 2x + 1)(x

−

2x + 1

− 2x + 1

√

A + C = 0,

2(C − A) + B + D = 1, A + C + 2(D − B) = 0,

B + D = 1;

A = C = 0, B = D =

I =

√

x + 1

√

x + 1

x2 +

x2 −

sin((α + β)x)d((α + β)x)+

(√

+ Z

(√

x + 1)2 + 1

x − 1)2 + 1

6гралыУПТригон•АЖНЕНИЕ1891îì- 1897

√

етрические..Применяя методункцииОстроградского, найти инте-

= √2

(arctg( 2x + 1) + arctg(

2x − 1)) + C.

При инт грировании тригонометрических ункций часто оказы-

ваются полåзными следующие ормулы:

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x

sin α sin β = 1/2(cos(α − β) − cos(α + β))

sin α cos β = 1/2(sin(α − β) + sin(α + β))

Например, cos α cos β = 1/2(cos(α − β) + cos(α + β))

sin(αx) cos(βx)dx =

sin((α + β)x)dx +

sin((α − β)x)dx =

2(α + β)

			1		Z
+	2(α		−	β)	sin((α − β)x)d((α − β)x) =
1			−				1
удобно		использовать				ормулу		β) cos((α − β)x) + C.
Иногда= −2(α + β) cos((α + β)x) −						2(α	−	β) cos((α − β)x) + C.
щим образом:							−	1 = sin2 x + cos2 x следую-
щим образом:								1 = sin2 x + cos2 x следую-

Z	dx	= Z

	sin2 x cos x
	= t = sin x		=
			Z

sin2 x + cos2 x

cos xdx

dx = Z

+ Z

sin2 x cos x

cos x

sin2 x

1 t2 +

= 2 ln

− t

+ C =

+ t

−

интег= 2 ln

1 − sin x

− sin x + C.

1 + sin x

ассмотрим

ðàë âèäà

рациональнойс

ункцией

R(sin x, cos x)dx

(6.1)

Ïðè ëþá

ункцииподстановки(см.акойпп.:4,5)интегралспомощьюсводитсяуниверсальнойк интегралутриот-

гонометрической

t = tg

x = 2 arctg t,

dx =

2dt

1 + t

sin x =

cos x =

1 − t2

1 + t2

2dt

1+t2

= 2

3 + 2 sin x

3 + 1+t2

3t2

+ 4t + 3

t + 2

= √

arctg

√

+ C =

(t + 2/3)2 + 5/9

3t+2

+ 1

√

3 tg

+ 2

случаигралу1)В .некоторыхЕслиот.

√

arctg

√

+ C.

с учаях

процедуруункции

можносведенияупроститьинтеграла. ассмотрим(6.1)к интеэти-

рациональной

зоваться подстановкойR(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то удобнее восполь-

2). При условии t = cos x, dx =	√	−dt		.
		1 − t	2

использовать заменуR(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), проще всего

t = sin x, dx = √ dt .

1 − t2

новка3). В случае R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x), поможет подста-

t = tg x,

dx =

1 + t

sin 2x

dx = tg x = t,

sin 2x = 2 sin x cos x =

sin2 x

cos4 x

1 + t2

sin x =

tg x =

cos x =

r1 + tg2 x

√1 + t2

1 +

1+t

= 2

dt.

1+t2 (1+t2)2

Интегðàë âèäà

tdt = 2 ln |t| + t + C = 2 ln | tg x| + tg x + C.

2 Z

+ 2 Z

рационализировать посредствомsh h подстановки

thx , ïðè

можно

x, x)dx

t =

ýòîì

1 + t2

2dt

7 ЕслиУПИнтегрироАЖНЕНИЕподынтегральнаяx = âàíè. Посчитать,е ирраункцияhx =интегралысодержитöèîíальных, dx•ðàä1741= икалы- 1765ункций.âèäà.

1 − t2

− t2

√

x2 + a2

− a2

− x2

ющих замен:,

, то часто бывает полезно сделать одну из следу-

= x = a sin t,

dx = a cos tdt

= a cos t,

a2 − x2

= a sin t;

pa − x

= x = a cos t,

dx = −a sin tdt

sin t

−

cos t

cos2 t

, dx = a

= a tg t

a2 = x =

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Интегрирование

#
03.03.201614.47 Кб7integ.docx
#
03.03.2016285.62 Кб7integ.pdf