sopromat_1_mu511

σIIIрас = σ1 − σ2 = 74,34 +114,34 =188,7 МПа.

Четвертая теория прочности - энергетическая:

σIVрас = σ12 + σ22 − σ1σ2 = 74,342 + (−114,34)2 − 74,34 (−114,34) =164,62 МПа.

Для заданного стального элемента (пластичный материал) первую и вторую теории прочности применять нельзя, третья теория прочности дает лишний запас прочности, т.е. приводит к перерасходу материала, и только четвертая теория прочности дает результаты, хорошо согласующиеся с опытными значениями.

2.2.Определение напряжений на наклонной площадке при плоском напряженном состоянии

Задача 6

Стальной элемент (модуль упругости E = 2 105 МПа, коэффициент Пуассона μ = 0,25) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние

(рис. 2.3). Требуется аналитически и графически определить напряжения на наклонной площадке.

Данные взять из табл. 2.2.

Порядок выполнения задачи аналогичен примеру 6.

Пример 6. Для заданного стального элемента аналитически и графически определить напряжения на наклонной площадке (рис. 2.4, а).

Решение.

Аналитически напряжения по наклонной площадке при плоском напряженном состоянии определяются по формулам:

30

Подставим в (2.4) и (2.5) заданные напряжения: σx = 100 МПа,

σy = - 50 МПа, τyx = -25 МПа, ϕ = 300 . На наклонной площадке берем произволь-

ную точку и проводим в этой точке внешнюю нормаль к наклонной площадке (рис. 2.4,б). Угол α получается вращением направления σx до совпадения с внешней нормалью к площадке. Если вращение происходит по часовой стрелке, то угол α отрицателен. В рассматриваемом примере α = −300 .

После подстановки исходных данных в (2.4) и (2.5) получим

σα =100 cos2 (−300 )+ (−50)sin2 (−300 )− (−25)sin(−600 )= 40,85 МПа;

τα = 100 −2(−50)sin(−600 )+ (−25)cos(−600 )= −77,45 МПа.

Значит, на наклонной площадке действуют растягивающие нормальные напряжения σα = 40,85 МПа и касательные напряжения τα = -77,45 МПа, направлен-

ные на наклонной площадке против хода часовой стрелки (рис. 2.4, б).

31

Рис. 2.3.

Определяем главные напряжения графически построением круга Мора (рис. 2.4, в). В системе координат σ − τ (масштаб - в 1 см 20 МПа) находим точку A, соответствующую вертикальной грани заданного элемента, откладывая σx = 100 МПа,

τyx = -25 МПа. Таким же образом находим точку B горизонтальной грани заданного элемента, откладывая σy = - 50 МПа, τxy = 25 МПа. На диаметре AB строим окруж-

ность с центром C (круг Мора). Точки пересечения заданных нормальных напряжений определяют полюс напряжений ПН. Из полюса напряжений от горизонтальной

32

3. КРУЧЕНИЕ КРУГЛЫХ СТЕРЖНЕЙ

Рассматриваются вопросы подбора сечения и определения углов закручивания статически неопределимого вала.

3.1.Напряжения и перемещения при кручении статически неопределимого вала

Задача 7

Стальной вал (рис. 3.1) защемлен по концам и нагружен парами сил M1 и M2. Требуется:

1)определить моменты в опорах;

2)построить эпюру крутящих моментов;

3)определить размеры сечений вала из расчета на прочность при заданном

допускаемом напряжении [τ] (модуль сдвига G = 8 104 МПа);

4)определить углы закручивания на каждом участке вала;

5)построить эпюру углов закручивания.

Данные взять из табл. 3.1.

Порядок выполнения задачи 7 аналогичен решению примера 7.

Пример 7. Стальной вал загружен моментом M1 = 2 кНм и M2 = 5 кНм (рис. 3.2,а), d2 = 1,5 d1, d3 = 2,5 d1, [τ] = 60 МПа, G = 8 104 МПа.

Решение.

1. Определение моментов в опорах.

Под действием приложенной к заданному валу нагрузки в опорах A и B возникают моменты MA и MB. Уравнение равновесия можно составить только одно - сумма всех моментов относительно оси вала равна нулю:

∑ Mx = 0; M A − M1 + M2 − MB = 0 .

34

Для раскрытия статической неопределимости составляем дополнительное уравнение (уравнение деформаций), которое представляет собой равенство нулю угла закручивания сечения B вала по отношению к сечению A, так как заделки не

Крутящий момент Mx на каждом участке вала определяем методом сечений.

Тогда:

35

Определяем полярные моменты инерции на участках вала с учетом заданных в условии соотношений диаметров.

На первом участке вал имеет отверстие, полярный момент инерции такого сечения вала определяется по формуле

где dн - наружный диаметр вала, dв - внутренний диаметр вала. На первом участке dн =1,6d1 , dв = d1, поэтому

На втором и третьем участках вал имеет сплошные круглые сечения, для кото-

38

По этим значениям строим эпюру крутящих моментов (рис. 3.2, б).

3. Из условия прочности определяем диаметр вала на каждом участке

τmax = Mx ≤[τ],

Wp

На третьем участке d3 = 3 16 4,42 103 = 7,22 10−2 м = 7,22 см. 314, 60 106

39