Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка по ТВ.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

2.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель р1, а для второго - р2. Какова вероятность того, что в волка попадет ровно 1 пуля?

Вариант N 6

1.Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. При попадании в первую область он получает 5 очков, во вторую - 3 очка, в третью - 1 очко. Вероятность попадания в 1-ую область равна 0.1, во 2-ую - 0.3, в третью - 0.4. Найти вероятность для стрелка при двух выстрелах набрать не менее 5 очков.

2.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - вторая цифра. Найти вероятность того, что оба раза будет выбрана нечетная цифра.

3.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0.1; вероятность выбить 9 очков равна 0.3;вероятность выбить 8 или меньше очков равна 0.6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее 9 очков.

4.Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что из трех вынутых деталей окажется хотя бы одна нестандартная.

5.В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что из наудачу отобранных 4 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

Вариант N 7

1.По статистическим данным ремонтной мастерской в среднем на 20 остановок токарного станка приходится: 10 - для смены резца; 3 -из-за неисправности привода; 2 - из-за несвоевременной подачи заготовок. Остальные остановки происходят по другим причинам. Найти вероятность остановки станка по другим причинам.

2.Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет. Чем отличается решение, если два раза бросается одна монета?

3.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

4.Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

5.Вероятность появления каждого из трех независимых событий А1, А2, A3 соответственно равны р1, р2, р3. Найти вероятность появления только одного из этих событий.

Вариант N 8

1.Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1=0.8; р2=0.7; р3=0.9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе из всех орудий.

2.В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0.9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина.

3.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0.4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок,чтобы с вероятностью не менее 0.9 он попал в цель хотя бы один раз?

4.Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0.936. Найти вероятность появления события в одном испытании.

5.У сборщика имеется 3 конусных и 7 элипсных валиков. Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков - конусный, а второй эллиптический.

Вариант N 9

1.В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар, при втором - черный и при третьем - синий.

2.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в мишень, равна р=0.9. Стрелок произвел 3 выстрела. Найти вероятность того, что все три выстрела дали попадание.

3.Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: "появился герб", "появилось 6 очков".

4.В двух ящиках находятся детали: в первом - 10 (из них 3 стандартных), во втором - 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

5.В студии телевидения 3 телевизионных камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент равна р=0.6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

Вариант N 10

1.Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

2.Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность события: опыт окончится до шестого бросания.

3.Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же стороной. Найти вероятность события: потребуется четное число бросаний.

4.Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех -

вторая цифра. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз.

5. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. При попадании в первую область он получает 3 очка, во вторую - 2 очка, в третью - 1 очко. Вероятность попадания в 1-ую область равна 0.1, во 2-ую - 0.2, в третью - 0.3. Найти вероятность для стрелка при двух выстрелах наберет не менее 3 очков.

Вариант N 11

1.Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в десятку, равна 0.6. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0.8 он попал десятку хотя бы один раз?

2.Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0.6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

3.Вероятность того, что событие А появится хотя бы один раз при двух независимых испытаниях, равна 0.75. Найти вероятность появления события в одном испытании.

4.Три команды Al, A2, A3 спортивного общества А состязаются соответственно с тремя командами общества В. Вероятности того, что команды общества А

выиграют матчи у команд общества В таковы: при встрече A1 с В1 - 0.8; A2 с В2 - 0.4; A3 с ВЗ - 0.4. Для победы необходимо выиграть не менее двух матчей из трех. Победа какого из общества вероятнее?

5.Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0.8, а вторым стрелком - 0.6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Вариант N 12

1.Из последовательности чисел 1,2,...,n наудачу одно за другим выбираются два числа. Найти вероятность того, что одно из них меньше заданного целого положительного числа k, а другое больше k, где 1<k<n.

2.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0.1. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно окажется нестандартным.

3.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, равна 0.1. Найти вероятность того, что нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

4.Гардеробщица выдала одновременно номерки трем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность следующих событий: А={каждому из трех лиц гардеробщица выдаст его собственную шляпу}; B={ровно два лица

получат свои шляпы}.

5. Гардеробщица выдала одновременно номерки трем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность следующих событий: A={ровно одно лицо получит свою шляпу}; Е={ни одно из трех лиц не получит своей шляпы}.

Вариант N 13

1.Бросают три кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной из них выпадет одно очко, если на всех трех костях выпали разные грани?

2.Известно, что при бросании 10 костей появилась по крайней мере одна единица. Какова вероятность того, что появилось две или более единицы?

3.Бридж. При сдаче карт для игры в бридж первый из игроков не получил тузов. Какова вероятность того, что его партнер а) не имеет тузов, б) имеет не менее двух тузов?

4.Бридж. Второй и четвертый игроки имеют вместе десять козырей (козыри - карты определенной масти). а) Найти вероятность того, что три оставшихся козыря находятся у одного игрока (т. е. либо первый, либо третий игрок не имеет козырей). Известно, что среди трех оставшихся козырей имеется король. Какова вероятность того, что он является единственным козырем у игрока, имеющего его на руках?

5.У сборщика имеется 16 деталей, изготовленных заводом №1, и 4 детали завода №2. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них окажется изготовленной заводом № 1.

Вариант N 14

1.Кость бросается до тех пор, пока не выпадет очко. Предполагая, что при первом испытании очко не выпало, найти вероятность того, что потребуется не менее трех бросаний.

2.В партии из 200 деталей 130 - первого сорта, 30 - второго, 16 - третьего, 4 - брака. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь будет первого или второго сорта.

3.Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь

допустит ошибку при считывании показаний прибора, равна 0,1. Для второго и третьего исследователей эта вероятность соответственно равна 0,15 и 0,2. Найти вероятность того, что при однократном измерении хотя бы один из исследователей допустит ошибку.

4.4. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения первым стрелком равна 0,7; вторым - 0,8 и третьим - 0,9. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков поразит цель; б) все три стрелка поразят цель; в) по крайней мере два стрелка поразят цель.

5.Вероятность выхода из строя k - го блока ЭВМ за некоторое время T равна рk

(k=1,2,…,n). Определить вероятность промежуток времени хотя бы одного из блоков взаимнонезависима.

выхода из строя за	указанный
n блоков машины, если	работа всех

Вариант N 15.

1.Игрок А поочередно играет по 2 партии с игроками В и С. Вероятности выигрыша первой партии для В и С равны 0,1 и 0,2 соответственно. Вероятность выиграть во второй партии для В равна 0,3, для С - 0,4. Определить вероятность того, что из игроков В и С: а)первым выиграет В; б) первым выиграет С.

2.Рабочий у конвейера при сборке механизма устанавливает в него две одинаковые детали. Берет он их случайным образом из имеющихся у него 10 штук, среди которых находятся 2 шт. уменьшенного размера. Механизм не будет работать, если обе установленные детали окажутся уменьшенного размера. Определить вероятность того, что механизм будет работать.

3.В урне с одинаковыми на ощупь шарами находятся 40 черных. 26 коричневых, 22 красных и 12синих шаров. Шары перемешаны. Какова вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется красным или синим (задачу решить, применяя теорему сложения).

4.В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что каждый из двух приобретенных билетов окажется выигрышным.

5.Две электрические лампочки включены в цепь последовательно. Определить вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, для обеих лампочек одинакова и в этих условиях равна 0,4.

Вариант N 16.

1.Три стрелка стреляют в одну мишень. Известно, что вероятность попадания в цель у первого стрелка равна 0,8; у второго - 0,7; у третьего- 0,6. Найти вероятность появления в мишени одной пробоины в результате одновременного выстрела всех трех стрелков.

2.Две электрические лампочки включены в цепь последовательно. Определить вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, для обеих лампочек одинакова и в этих условиях равна 0,4.

3.Бросаются одновременно 2 игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7? 12?

4.Каждое из четырех несовместных событий может произойти с вероятностями соответственно: 0,01; 0,1; 0,6 и 0,2. Определить вероятность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих событий.

5.Участковый врач обслуживает на дому троих больных. Вероятность того, что в течение суток врач потребуется первому больному равна 0, 1, второму - 0, 5,

третьему - 0, 3. Найти вероятность того, что в течение некоторых суток: а) ни один больной не вызовет врача; б) хотя бы один вызовет врача; в) только один больной вызовет врача.

Вариант N 17.

1.Три стрелка производят по одному выстрелу по мишени, вероятности попадания в которую равны для первого стрелка 0, 5, для второго - 0, 7, для третьего - 0, 8. Найди вероятность двух попаданий в мишень.

2.В лотерее 100 билетов: среди них один выигрыш в 30 рублей, 3 - по 25 рублей, 6 - по 10 рублей, 15 - по 3 рубля. Некто покупает один билет, Найти

вероятность какого-нибудь выигрыша.

3. Два стрелка А и В по очереди стреляют в одну мишень. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0, 25. Каждый стрелок имеет право произвести два выстрела, однако стрельба прекращается, когда кто-нибудь из них попадет в мишень. Определить вероятность поражения мишени каждым стрелком в отдельности.

4.В урне 30 шаров: 20 белых, 10 черных. Вынули подряд четыре шара, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего. Какова вероятность того, что среди вынутых четырех шаров будет два белых?

5.В первом ящике 6 шаров: один белый, два красных, три синих. Во втором - 12: 2 белых, б красных, 4 синих. Из каждого ящика выбирается по одному шару. Какова вероятность, что среди них нет синих?

Вариант N 18.

1.Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее в начала стрельбы равна 0,8 , а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попадет хотя бы раз.

2.Из цифр 1,2,3,4,5 выбирается наудачу одна, а из остальных - вторая. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) первый раз; б) второй раз; в) оба раза.

3.Ожидается прибытие трех судов с бананами. В 1% случаев груз (бананы) портится в дороге. Найти вероятность того, что придут с испорченным грузом два судна.

4.Вероятность покупки лотерейного билета, у которого равны суммы первых и последних трех цифр номера, равна 0,05525. Какова вероятность иметь такой билет среди двух купленных наудачу, если два билета а) имеют последовательные номера; б) куплены независимо один от другого?

5.Процесс изготовления детали состоит из нескольких операций. После первой и второй операций производится контроль качества и при обнаружений брака деталь отбрасывается. Вероятность детали оказаться бракованной после первой операции равна 0,02, а после второй -0,1. Определить вероятность того, что деталь окажется отбракованной до третьей операции.

Вариант N 19.

1.В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

2.Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

3.Два охотника одновременно стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0.7, для второго 0.8. Какова вероятность попадания в волка?

4.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

Вариант N 20.

1.Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

2.Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одному числу очков.

Вариант N 21.

1.Бросается монета до первого появления "герба. Найти вероятность того, что потребуется четное число бросков.

2.Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.

3.Два охотника одновременно стреляют в волка, причем каждый делает по

4.Производится бомбардирование военного объекта. Вероятность попадания в цель при сбрасывании бомбы равна 0,7, а вероятность того, что бомба не взорвется, равна 0,08. Найти вероятность того, что объект будет разрушен, если будет брошена одна бомба.

5.Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет. Чем отличается решение, если два раза бросается одна монета?

Вариант N 22.

1.Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - вторая. Предположим, что все 20 возможных исходов равновероятны. Найти вероятность того, что а) в первый раз, б) во второй раз, в) оба раза будет выбрана нечетная цифра.

2.Вероятность того, что на билет денежно-вещевой лотереи выпадет денежный выигрыш, равна 0,012, вещевой - 0,008. Найти вероятность того, что на один купленный билет выпадет какой-либо выигрыш.

3.Два стрелка производят в мишень по одному выстрелу, Вероятность попадания одного стрелка, равна 0,7, для второго - 0,8. Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба стрелка; б) только один стрелок; в) ни один из стрелков.

4.Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет четным.

5.При штамповке пластмассовых тарелок брак составляет в среднем 2% общего числа изделий, 95% годных изделий составляет продукция первого сорта. Найти вероятность того, что взятая наудачу изготовленная тарелка окажется первого сорта.

Вариант N 23.

1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. При попадании в первую область он получает 5 очков, во вторую - 3 очка, в третью - 1 очко. Вероятность попадания в первую область равна 0.1, во вторую - 0.3, в третью - 0.4. Найти вероятность того, что стрелок при двух выстрелах наберет не менее

5 очков.

5.Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - вторая цифра. Найти вероятность того, что оба раза будет выбрана нечетная цифра.

Вариант N 24.

3.Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: "появился герб", "появилось 6 очков".

4.Из цифр 1,2,3,4,5 сначала выбирается одна, а затем из оставшихся четырех - вторая цифра. Найти вероятность того, что будет выбрана нечетная цифра: а) в первый раз; б) во второй раз.

Вариант N 25.

5.Гардеробщица выдала одновременно номерки трем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность следующих событий: D={ровно одно лицо получит свою шляпу}; Е={ни одно из трех лиц не получит своей шляпы}.

Вариант N 26.

1.В урне находится 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Испытания состоят в извлечении шаров без возвращения. Найти вероятность того, что при 1-ом испытании появится белый шар, при 2-ом- черный и при 3-м - синий.

2.Монета бросается до тех пор, пока 2 раза подряд она не выпадет одной и той же

стороной. Найти вероятность события: опыт окончится до шестого бросания.

3.Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз при 2-х независимых испытаниях - 0.75. Найти вероятность появления события в одном испытании.

5.Вероятность покупки лотерейного билета, у которого равны суммы первых и последних трех цифр номера, равна 0,05525. Какова вероятность иметь такой билет среди двух купленных наудачу, если два билета а) имеют последовательные номера; б) куплены независимо один от другого?

Вариант N 27.

1.Для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 3 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?

2.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.5, хотя бы один раз выпала шестерка.

3.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, хотя бы один раз выпала цифра не меньше пяти.

4.Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три области. При попадании в первую область он получает 3 очка, во вторую - 2 очка, в третью - 1 очко. Вероятность попадания в первую область равна 0.1, во вторую - 0.2, в третью - 0.3. Найти вероятность того, что стрелок при двух выстрелах наберет не менее 3 очков.

5.Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Вариант N 28.

1.Из трех орудий произвели залп по цели, вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что : а)только один снаряд попадет в цель; б) все три снаряда попадут в цель.

2.В электрическую цепь последовательно включены приборы А1 и A2 ,не взаимодействующие друг с другом. Вероятность выхода из строя прибора А1 равна 0,1, а прибора А2 - 0,2. Цепь выключается, если выйдет из строя хотя бы один прибор. Определить вероятность выхода из строя цепи.

3.Производится бомбардирование военного объекта. Вероятность попадания в цель при сбрасывании бомбы равна 0,7, а вероятность того, что бомба не

взорвется, равна 0,08. Найти вероятность поражения, если брошена одна бомба.

4.Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность срабатывания при аварии первого - 0,95; 2-го - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

5.Для некоторой местности среднее число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые два дня августа будут дождливыми?

Вариант N 29.

1.Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности равны соответственно 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что : а) только один снаряд попадет в цель; б) хотя бы один снаряд попадет в цель.

2.Покупатель приобрел пылесос и полотер. Вероятность исправной работы пылесоса - 0,95, полотера - 0,94. Найти вероятность того, что хотя бы один из приборов выдержит гарантийный срок.

3.Производится стрельба по цели, вероятность попадания при одном выстреле – 0,2. Найти вероятность того, что попадание произойдет при 6-ом выстреле

4.Экспедиция издательства отправила газеты в два почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в каждое отделение почты равна 0,9. Найти вероятность того, что: а) оба почтовых отделения получат газеты вовремя; б) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.

5.Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,8. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба стрелка промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один стрелок поразит мишень.

Вариант N 30.

2.Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна лампочка перегорит, равна 0.6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

3.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие нестандартно, 0.1. Найти вероятность, что нестандартным окажется только четвертое по порядку проверенное изделие.

4.Второй и четвертый игроки имеют вместе десять козырей. а) Найти вероятность того, что три оставшихся козыря находятся у одного игрока; б) Известно, что среди трех оставшихся козырей имеется король. Какова вероятность того, что он является единственным козырем у игрока.

5.Семь шаров случайно распределяются по семи ящикам. Найти вероятность события «найдется ящик содержащий три шара» при условии, что имеется ровно два пустых ящика.

ТЕМА5. ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И БАЙЕСА

Вариант N1

1.Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1, и две коробки деталей, изготовленные, заводом №2, вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а для завода №2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена бракованная деталь.

2.Прибор может работать в двух режимах: нормальном и аварийном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; аварийный - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в аварийном – 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.

3.Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых, направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несет по одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые - не имеют и производят бомбометание по сигналу ведущего. По пути к объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в которой каждый из самолетов, независимо от других, сбивается с вероятностью р. Если к цели подойдет ведущий самолет с обоими ведомыми, они поразят объект с вероятностью Р(1,2). Ведущий самолет, сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятностью Р(1,1). Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект с вероятностью Р(1,0). Если ведущий самолет сбит, то каждый из ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью Р(0,1). Найти полную вероятность поражения объекта с учетом противодействия.

4.Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может применять или не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью р0; если применяет

- с вероятностью р1<р0. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора.

5.Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе 90%, а во второй – 80% отличного шифра. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная литера из наудачу взятой кассы будет отличного качества.

Вариант N2

1. На складе готовой продукции находится пряжа, изготовленная двумя цехами фабрики, причем 20% пряжи составляет продукция цеха №2, а остальная продукция - цеха №1. Продукция цеха №1 содержит 90%, а цеха №2 - 70% пряжи первого сорта. Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался первого сорта. Определить вероятность того, что этот моток является: а) продукцией

цеха №1; б) продукцией цеха №2.

2.Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

3.Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d

черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, три шара (предполагается, что a ≥ 3; b ≥ 3). После этого из второй урны берут 1 шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

4.Имеется n урн, в каждой из которых а белых шаров и b черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар и т.д. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

5.Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного

первым заводом, равна р1; второго - р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.

Вариант N3.

1.В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором – 30, из них 24 стандартных, в третьем – 10, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется стандартной.

2.Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых n дефектных; вторая партия состоит из М изделий, среди которых m дефектных. Из первой партии берется случайным образом К изделий, а из второй L изделий (K<N;L<M); эти K+L изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой партии берется наугад три изделия. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие из трех окажется дефектным.

3.Из чисел 1, 2, ..., n одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m (m>0)?

4.Из N стрелков можно выделить три группы: а1 отличных стрелков, а2 средних, а3 плохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка 1- й группы равна p(i) (i=1,2,3). Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадания.

5.Из 25 кинескопов, имеющихся в телевизионном ателье, 5 штук изготовлены заводом №1, 12 штук изготовлены заводом №2 и 8 штук – заводом №3. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный заводом №1, в течение гарантийного срока не выйдет из строя, равна 0,95. Для завода №2 такая вероятность равна 0,9; а для завода №3 - 0,8. Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит гарантийный срок.

Вариант N4.

1.Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются и затем из второй урны в первую перекладывается один шар. Затем из первой урны выбирают шар. Найти вероятность того, что он белый.

2.Производится n независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью

р1; если два снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится.

3.Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Наудачу вызывается один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

4.В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них

выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус с вероятностью р0 не входит ни один пассажир; с вероятностью (1-р0) – входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров.

5.В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L, 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивши в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что больной страдал заболеванием К.

Вариант N5.

1.Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут поражены, а третья нет.

2.Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов I и II (если выходит из строя один, то автоматически подключается второй; прибор не работает, если из строя вышли оба узла). Прибор может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме

надежность каждого из узлов равна р1, в неблагоприятном р2. Вероятность благоприятного режима равна Р1, неблагоприятного 1-Р1. Найти полную (среднюю) надежность прибора р.

3.В ящике находится а новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика наугад вынимаются два мяча, которыми играют, после этого мячи возвращают в ящик.

Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (a>2;b>2).

4. Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k<2n. Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один вопрос из дополнительного билета.

5. При проверке качества зерен пшеницы было установлено, что все зерна могут быть разделены на 4 группы. К первой группе принадлежит 96%, ко второй - 2% , к третьей - 1% и к четвертой – 1% всех зерен. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен, для семян первой группы - 0,50, для семян второй группы - 0,2, для семян третьей группы - 0,18, для семян четвертой группы - 0,02. Определить вероятность того, что из взятого наудачу зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен.

Вариант N6.

1.В конвейер поступают однотипные изделия, изготовляемые двумя рабочими. При этом первый поставляет 60%, второй - 40% общего числа изделий. Вероятность того, что изделие, изготовленное первым рабочим, окажется нестандартным, равна 0,002; вторым -0,01. Взятое наудачу с конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что оно изготовлено: а) первым рабочим, б) вторым рабочим.

2.Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую. Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность

попадания в первую часть равна р1, во вторую р2=1-р1. По цели производится три выстрела; вероятность попадания при каждом выстреле ровна р. Найти вероятность того, что данными тремя выстрелами цель будет поражена.

3.Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и b черных; во второй с белых шаров и d черных; в третьей – k белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

4.Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в

течение времени t) первого узла равна р1, второго р2. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

5.Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта

вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что эта машина грузовая.

Вариант N7.

1.Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность

благополучной посадки равна р1. Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна Р. Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же

вероятностью р1, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с очень малой вероятностью р*. Известно, что при плохой видимости самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что посадка произошла по приборам слепой посадки.

2.У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом

месте, рыба клюет с вероятностью р1; на втором месте - с вероятностью р2; на третьем - с вероятностью р3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

3.Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с

вероятностью р1, второй - с вероятностью р2. Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадает в ОТК завода, где дефект, если он имеется,

обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано: а) первым контролером; б) вторым контролером; в) ОТК завода.

4.В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

5.На вход радиолокационного устройства с вероятностью р поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью (1-р) - только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует

наличие сигнала с вероятностью р1; если только помеха - с вероятностью р2 (ложная регистрация несуществующего сигнала). Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

Вариант N8.

1.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны

соответственно р1, р2, р3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы Р1, для второй Р2, для третьей РЗ. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

2.Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели: I

и II. Вероятность попадания в цель I равна р1, в цель II равна р2. После выстрела получено известие, что попадания в цель I не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель II?

3.Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынем из той же урны, будет тоже белым.

Вариант N9.

1.Имеются три одинаковые с виду урны. В первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызываются наугад два студента. Найти вероятность того, что они получат отметки отлично и хорошо (в любом порядке).

4.Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью р1 находится в пункте I, а с вероятностью р2=1-р1 в пункте II (р1>0,5). В нашем распоряжении имеется n снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт I или в пункт II. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью р. Какое

число снарядов n1 следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

5.В пирамиде установлено 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, равна 0,95; для винтовки без прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Вариант N10.

1.Первое орудие четырехорудийной батареи пристрелено так, что вероятность попадания равна 0,3; остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цель была поражена. Найти вероятность того, что первое орудие стреляло.

2.Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых n дефектных; вторая партия состоит из М изделий, среди которых m дефектных. Из первой партии берется случайным образом К изделий, а из второй L изделий (K<N;L<M), эти K+L изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

3.Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

4.Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k<2n. Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

5.Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла безусловно необходима для

работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узла равна р1, второго р2. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Вариант N11.

1.Известно, что 96% выпускаемой продукции стандартны. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее контроль, удовлетворяет стандарту.

3.В ящике находится а новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика наугад вынимаются два мяча, которыми играют, после этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (а>2; b>2).

4.Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и b черных; во второй с белых шаров и d черных; в третьей - k белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.

Вариант N12.

1.В телеателье имеется 4 кинескопа. Вероятность того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы для каждого из них соответственно равна 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

3.Группа из трех самолетов совершает налет на объект, объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор размерами 60', так что из полного угла 360' вокруг объекта оказываются защищенными 240'. Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения объекта для двух способов организации налета: все три самолета летят по одному и тому же направлению, выбираемому случайно;

5.Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в

Вариант N13.

1.Прибор может работать в двух режимах: 1)нормальном и 2)аварийном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; аварийный - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в аварийном -0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t.

2.Имеются две урны: в 1-ой а белых шаров и b черных; во 2-ой с белых и d черных. Из 1-ой урны во 2-ую перекладывают, не глядя, один шар, затем из второй один шар извлекают. Найти вероятность того, что шар будет белым.

3.Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых n дефектных; вторая партия состоит из М изделий, среди которых m дефектных. Из первой партии берется случайным образом К изделий, а из второй L изделий (K<N; L<M); эти K+L изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

4.Производится n независимых выстрелов зажигательными снарядами по

резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью р1; если два снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится.

5.В благоприятном режиме надежность каждого из узлов равна р1, в неблагоприятном р2. Вероятность благоприятного режима равна Р1, неблагоприятного 1-Р1. Найти полную (среднюю) надежность прибора р.

6.Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую. Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность

попадания в первую часть равна р1, во вторую р2=1-р1. По цели производится три выстрела; вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что данными тремя выстрелами цель будет поражена.

Вариант N14.

1.Производится 5 независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р.

Если в резервуар попал 1 снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью р1; если 2 снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность воспламенения.

2.Прибор состоит из дублирующих друг друга узлов I и II (если выходит из строя один, то подключается второй; прибор не работает, если из строя вышли оба узла). Прибор может случайным образом работать в одном из двух режимов: благоприятном и неблагоприятном. В благоприятном режиме надежность

каждого из узлов равна р1, в неблагоприятном р2. Вероятность благоприятного режима Р1, неблагоприятного 1-Р1. Найти полную надежность прибора.

3.Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую. Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность

4.У рыбака имеется три излюбленных места для ловли рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он закидывает удочку на первом

месте, рыба клюет с вероятностью р1; на втором месте - с вероятностью р2; на третьем - с вероятностью р3. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза закинул удочку, и рыба клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.

5.В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них одна нестандартная, во втором - 10 ламп, из них две нестандартных. Из первого ящика наудачу взятая одна радиолампа переложена во второй ящик. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная после этого из второго ящика, будет нестандартная.

Вариант N15.

1.Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе имеются три контролера; изделие осматривается только одним контролером, с одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим. Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для i-гo (i=l,2,3)

контролера равна р1, р2, рЗ. Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадает в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с

вероятностью р0. Определить вероятности следующих событий: а) изделие будет забраковано; б) изделие будет забраковано в цехе; в) изделие будет забраковано в ОТК завода.

2.Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного

3.Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили 2, взятые наугад, шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность того, что после этого из второй урны можно вынуть белый шар.

4.В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них

выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус с вероятностью р0 не входит ни один пассажир; с вероятностью (1-р0) - входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров.

5.Первое орудие четырехорудийной батареи пристрелено так, что вероятность попадания равна 0,3; остальным трем орудиям соответствует вероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания. Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цель была поражена. Найти вероятность того, что первое орудие стреляло.

Вариант N16.

1.На сборку поступило 3000 деталей с первого автомата и 2000 - со второго. Первый автомат дает 0,2% брака, второй - 0,3%.Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали.

2.Имеется n урн, в каждой из которых а белых шаров и b черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар и т.д. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

4.Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить

только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызываются наугад два студента. Найти вероятность того, что они получат отметки отлично и хорошо (в любом порядке).

5. Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k<2n. Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

Вариант N17.

1.Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынем из той же урны, будет тоже белым.

2.Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с

3.Группа из трех самолетов совершает налет на объект, объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор размерами 60', так что из полного угла 360' вокруг объекта оказываются защищенными 240'. Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения объекта для двух способов организации налета: все каждый из самолетов выбирает себе направление случайно независимо от других.

4.В ящике находится а новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика наугад вынимаются два мяча, которыми играют, после этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. Найти вероятность того, что они будут новыми (а>2; b>2).

5.Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить

только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

Вариант N18.

1.В трех ящиках находятся соответственно:1) 2 белых и 3 черных; 2) 4 белых и 3 черных; в) 6 белых и 2 черных шара. Предполагая, что извлечение шара из любого ящика равновероятно, найти вероятность того, что извлечение было произведено из первого ящика, если вынутый шар оказался белым.

2.Из чисел 1, 2, ..., n одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m (m>0)?

3.Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность

вероятностью р1, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с очень малой вероятностью р*. Найти полную вероятность благополучной посадки самолета, если известно, что в k% всех случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью.

Вариант N19.

1. Из трех орудий произвели залп по цели, вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8; для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что : а)

только один снаряд попадет в цель; б) все три снаряда попадут в цель.

3.Группа из трех самолетов совершает налет на объект, объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор размерами 60', так что из полного угла 360' вокруг объекта оказываются защищенными 240'. Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения, если все три самолета летят по одному и тому же направлению, выбираемому случайно.

течение времени t) первого узла равна р1, второго р2. Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя. Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен.

Вариант N20.

1.Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица; вторая перфораторщица.

2.Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может применять или не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за

один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью р0; если применяет - с вероятностью р1<р0. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не завист от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора.

3.Имеется n урн, в каждой из которых а белых шаров и b черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар

и т.д. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

4.В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них

5.Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью р1 находится в пункте I, а с вероятностью р2=1-р1 в пункте II (р1>0,5). В нашем распоряжении имеется n снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт I или в пункт II. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью р. Какое

число снарядов n1 следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

Вариант N21.

1.На распределительной базе находятся электрические лампочки, произведенные двумя заводами, из них 70% - первым заводом и 30% - вторым. Известно, что из каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведенных вторым заводом, 80 удовлетворяют стандарту. Определить вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка удовлетворяет стандарту.

3.Группа из трех самолетов совершает налет на объект, объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор размерами 60', так что из полного угла 360' вокруг объекта оказываются защищенными 240'. Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения объекта, если все три самолета летят по одному и тому же направлению, выбираемому случайно.

4.Имеется n урн, в каждой из которых а белых шаров и b черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар

ит.д. Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый.

5.Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод

поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна р1; второго - р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.

Вариант N22.

1.Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.

2.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, хотя бы один раз выпала цифра не меньше пяти.

число снарядов n1 следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

Вариант N23.

1.Изделие может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями р1=0,25; р2=0,25; р3=0,25. Вероятности того, что изделие проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1, 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что изделие проработает заданное число часов.

2.В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не откажет, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на удачу взятой машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не откажет.

3.На фабрике, изготовляющей болты, машины А, В и С производят соответственно 25, 35 и 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5 ; 4 и 2%. Случайно выбранный из продукции болт оказался бракованным. Какова вероятность того, что он был произведен машиной А? машиной В? машиной С?

5.Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 1/4 всех изделий, поступающих на производство; второй 3/4. Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного

Вариант N24.

2.Упакованные консервы поступают с конвейера на проверку к одному из двух контролеров. Вероятность того, что проверяемая банка попадет первому контролеру, равна 0,6; ко второму - 0,4. Вероятность того, что качественная банка будет признана стандартной при проверке первым контролером, равна 0,94; вторым - 0,98.Определить вероятность того, что наудачу взятая после проверки банка окажется стандартной.

3.Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 6%, причем в продукции, забракованной по принципу А в 4% случаев встречается дефект В , а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность встречи дефекта В во всей продукции.

Вариант N25.

2.В первой коробке содержится 20 радиоламп, из которых 18 стандартных, во второй - 10 радиоламп, из которых 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа,

наудачу извлеченная затем из первой коробки, будет стандартной.

3.В автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них

4.Сборщик получает в среднем 50% деталей завода №1 , 30% - завода №2, 20% - завода №3. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества, равна 0,7; для детали второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9, Наудачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом №1.

число снарядов n1 следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

Вариант N26.

1.На сборочный конвейер поступают детали, с трех станков. Производительность станков неодинаковая. Первый станок дает 50% деталей, второй - 30%, третий - 20%. Если в сборку попадет деталь, сделанная на первом станке, то вероятность получения годного узла - 0,98. Для продукции II и III станков соответствующие вероятности равны 0,95 и 0,8. Определить вероятность того, что узел, сошедший с конвейера, годный.

2.Приборы одного наименования изготовляются двумя заводами; первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство; второй 1/3.

Надежность (вероятность безотказной работы) прибора, изготовленного первым заводом, равна р1; второго - р2. Определить полную (среднюю) надежность р прибора, поступившего на производство.

3.автобусе едут n пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит

с вероятностью р; кроме того, в автобус с вероятностью р0 не входит ни один пассажир; с вероятностью (1-р0) - входит один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет по-прежнему n пассажиров.

4.Группа студентов состоит из а отличников, b хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Наудачу вызывается один студент. Найти

вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.

5.Стрельба производиться по пяти мишеням типа А, трем - типа В, двум -типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0, 4; типа В - 0,1 ; типа С - 0, 15. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле, если неизвестно, в мишень какого типа он будет произведен.

Вариант N27.

1.В группе спортсменов 10 лыжников, 12 велосипедистов и 13 бегунов. Вероятность выполнения квалификационной нормы такова: для лыжника

р1=0,9; для велосипедиста р2=0,8; для бегуна p3=0,75. Выбранный наудачу спортсмен выполнил норму. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

2.Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых n дефектных; вторая партия состоит из М изделий, среди которых m дефектных. Из первой партии берется случайным образом К изделий, а из второй L изделий (K<N; L<M); эти K+L изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

4.Имеется n экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 2n вопросов, а только на k<2n. Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.

число снарядов n1 следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью?

Вариант N28.

1.В цехе три типа автоматических станков. Известно, что станок первого типа производит 90% деталей отличного качества, станок второго типа - 85%, третьего80%. Все произведенные детали сданы на склад. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь со склада окажется отличного качества, если станков первого типа 10 штук, второго - 8, третьего - 2, а производительность всех станков одинакова.

2.Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад

выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число.)

3.Сборщик получил две коробки одинаковых деталей, изготовленных заводом №I, и три коробки таких же деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,9, а завода - №2 - 0,7. Из наудачу взятой коробки наудачу извлеченная сборщиком деталь оказалась стандартной. Что вероятнее: эта деталь изготовлена заводом №1 или №2?

4.Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую. Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность

5.Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 6%, причем в продукции, забракованной по принципу А в 4% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность встречи дефекта В во всей продукции.

Вариант N29.

1.Телеграфное сообщение состоит из сигналов "точка" и "тире", Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений "точка" и 1/3 сообщений "тире".Известно, что среди передаваемых сигналов "точка" и "тире" встречаются в отношении 5:3. Определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал "точка".

3.На двух автоматических станках изготовляются одинаковые валики. Вероятность изготовления валика высшего сорта на первом станке равна 0,92, а на втором - 0,80. Изготовленные на обоих станках не рассортированные валики находятся на складе в случайно образовавшемся порядке. Среди них валиков, изготовленных на первом станке, в 3 раза больше, чем на втором. Взятий наудачу со склада валик оказался высшего сорта. Определить вероятность того, что он произведен на первом станке.

4.Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала 1, если известно, что на второй кости выпало число очков больше, чем

на первой?

5. На двух станках обрабатываются однотипные детали; вероятность брака для первого станка равна 0,03; для второго - 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей с первого станка складывается вдвое больше, чем со второго. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет бракованной.

Вариант N30.

1.Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено от первого курса 4, от второго - 6, от третьего - 5 студентов. Вероятности того, что студент первого, второго, третьего курса попадет в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7; 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего он принадлежал?

2.Упакованные консервы поступают с конвейера на проверку к одному из двух контролеров. Вероятность того, что проверяемая банка попадет первому контролеру, равна 0,6; ко второму- 0,4.Вероятность того, что качественная банка будет признана стандартной при проверке первым контролером, равна 0,94; вторым - 0,98.Определить вероятность того, что наудачу взятая после проверки банка окажется стандартной.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, хотя бы один раз выпала цифра не меньше пяти.

3.При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор C-I с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-II - с вероятностью 1,0. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором C-I или С-II, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разладке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором C-I или С-II?

4.В цехе три группы автоматических станков (по степени амортизации) производят одни и те же детали. Производительность их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки первой группы производит 0,8 деталей первого сорта, второй - 0,85, третьей – 0,9. Все произведенные в цехе за смену детали в нерассортированном виде сложены на складе. Взятая из склада наудачу деталь оказалась первого сорта. На станке какой группы вероятнее всего она была изготовлена, если станков цервой группы 5 , второй - 4 и третьей 2 шт.?

5.В магазине приобретено 5 телевизоров для студенческих общежитий. Для каждого из них вероятность невыхода из строя в течение гарантийного срока равна 0,8. Определить вероятность того, что: а)три; б)четыре телевизора в течение гарантийного срока не выйдут из строя.

ТЕМА 6. ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ

ЗАДАНИЕ: решить задачу, используя частную или общую теорему повторения опытов. Ответить на вопрос задачи, а также найти наиболее вероятное значение количества появления события при заданном числе испытаний.

Вариант N1

1.В группе десять 18-летних студентов, пять 19-летних и пять 20-летних. Какова вероятность того, что из 3 случайно выбранных студентов будут представители всех возрастов ?

2.В партии 5% нестандартных деталей. В узел входит 5 таких деталей. Какова вероятность того, что в узел попадут не менее 2 нестандартных деталей ?

3.Студент сдает сессию. Вероятность получить оценку ниже "4" на 1-м экзамене - 0.2, на 2-м - 0.1, на 3-м - 0.5, на 4-м - 0.1. Найти вероятность сдать сессию на "4"

и "5".

4.Вероятность появления контролера в троллейбусах данного маршрута - 0.1. Какова вероятность встретить контролера для человека, 10 раз воспользовавшегося данным маршрутом ?

5.В партии ручек: 20% - синих, 13% - черных, 44% - красных, 23% -зеленых. Взяты 3 ручки. Найти вероятность того, что среди них есть красная.

Вариант N2

1.В билете 3 вопроса: 1-теоретический, 1-обзорный, 1-практический. Вероятности полных ответов на эти вопросы: 0.8, 0.9, 0.7. Найти вероятность, что студент ответит не менее чем на 2 вопроса.

2.Машинистка напечатала текст на 5 страницах. Вероятность (для данной машинистки) напечатать 1 страницу без ошибок - 0.3, с 1 ошибкой - 0.4, более 1 ошибки - 0.3. Найти вероятность того, что не будет страниц без ошибок.

3.Для данной местности любой из летних дней с вероятностью р1 = 0.8 будет солнечным, с р2 = 0.1 - будут осадки. Найти вероятность, что из 8 дней не более 2 будут пасмурными или с осадками. (Считать, что погода в разные дни независима).

4.Вероятность попадания в цель при 1 выстреле 0.8. Стреляют до первого попадания. Найти вероятность того, что будет сделано ровно 5 выстрелов.

5.Студент сдает сессию. Вероятность получить оценку ниже "4" на 1-м экзамене - 0.2, на 2-м - 0.1, на 3-м - 0.5, на 4-м - 0.1. Найти вероятность сдать сессию на "4"

и "5".

Вариант N3.

1.Известно, что загрузка автобусов некоторого маршрута может быть менее 50%

ср1=0.1, 50 - 80% с р2=0.2 и более 80% с р3=0.7. За сутки проходит 5 рейсов. Найти вероятность того, что не менее 3 рейсов будут с загрузкой более 80%.

2.Известно, что в некоторой школе все дети занимаются спортом: 30% - футболом, 20% - гимнастикой, 20% - теннисом, 30% - шахматами и шашками. Взяты 5 человек. Найти вероятность того, что двое из них футболисты, а другие

-представители остальных видов спорта.?

3.Известно,что в некотором городе 70% - местные жители, 10% - командировочные из других городов и 5% - транзитные пассажиры. Какова вероятность того, что из 5 человек не менее 4 - местные жители ?

4.Испытание самолета происходит по 3 программам. Вероятность неполадок по 1-й программе - 0.2, по 2-й - 0.1 и по 3-й - 0.05. Найти вероятность того, что хотя бы 2 испытания пройдут без сбоев.

5.Шахматист играет с 3 противниками. Вероятность выигрыша с 1-м -0.8, со 2-м

-0.5, с 3-м - 0.4. Найти вероятность хотя бы 1 выигрыша.

Вариант N4.

1.Вероятность наличия хотя бы 1 ошибки в 1 операторе - 0.1. Найти вероятность хотя бы 1 ошибки в программе из 10 операторов.

2.60% населения некоторой местности - светлоглазые. Какова вероятность того, что из 5 человек не будет ни одного светлоглазого;

3.будет ровно 3 светлоглазых ?

4.Известно, что приживаемость рассады некоторой культуры - 0.85. Посажено 5 экземпляров. Какова вероятность того, что останется не менее 2 растений ?

5.Известно, что вероятность близнецам быть одного пола - 0.64. Рассмотрели 5 пар близнецов. Найти вероятность того, что все они разнополые.

6.Известно, что 10% инженеров используют в своей работе ЭВМ. Найти вероятность того, что ни один из 10 тестируемых инженеров не использует ЭВМ; ровно 5 используют.

Вариант N5.

1.60% жителей некоторого города живут в государственных квартирах, 10% - в кооперативных, 20% - в частном секторе, 10% -в общежитиях. Взяли группу из 5 человек. Найти вероятность того, что 3 из них живут в государственных квартирах, 2 - в частном секторе.

2.Известно, что самая распространенная буква в русском алфавите-"О", вероятность ее появления р=0.095. Найти вероятность того, что в слове из 10 букв встретится "О".

3.Что вероятнее: 2 выпадения герба при трех бросаниях монеты или хотя бы 1 "6" при двух бросаниях кубика ?

4.Известно, что в некотором городе 5% жителей не пользуются городским транспортом, 1.0% - только автобусами, 50% - автобусами и троллейбусами, а остальные - только троллейбусами. Отобрана группа из 5 человек. Найти вероятность того, что все они не пользуются троллейбусами.

5.Три лампочки соединены последовательно. Вероятность выхода из строя за

время Т одной лампочки - 0.1, второй - 0.2 и третьей -0.15. Найти вероятность того, что за время Т цепь не будет разорвана.

Вариант N6.

1.Вероятность получения среднего и крупного выигрыша в некоторой лотерее - p=0.01. Какова вероятность хотя бы 1 выигрыша на 10 билетов ?

2.Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в одновременном подбрасывании 3 монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном испытании появится 3 "герба".

3.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков: не будет искажено; содержит ровно 3 искажения; содержит более 3 искажений.

4.Испытание заключается в бросании 3 игральных кубиков. Найти вероятность того, что в пяти независимых испытаниях выпадет ровно 2 раза по 3 единицы.

5.Отрезок [0,10] точками 1,2,3,4,7 разделен на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка

длины 3. Пусть А1,..,А10 - независимые случайные точки на отрезке [0,10]. Какова вероятность того, что из этих точек две попадут в отрезки единичной длины, а остальные - в отрезки длины 3.

Вариант N7.

1.При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с

вероятностью Р1, полностью ломается с вероятностью Р2, получает серьезное повреждение с вероятностью РЗ (Р1+Р2+РЗ=1). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении N порогов байдарка не будет полностью сломана.

2.Игральную кость бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при 3-х бросаниях будет не больше 2 очей (в каждом) и при 3-х бросаниях будет не меньше 5 очей (в каждом)?

3.Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход не учитывается) три партии из четырех или пять из восьми?

4.Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий: нет ни одного испорченного; будут два испорченных.

5.Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее 2 окрашенных?

Вариант N8.

1.Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/ 3. Найти вероятность 6 удачных исходов и наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее количество равно 7.

2.Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна

0.2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0.8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 5?

4.Всхожесть семян данного сорта оценивается вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее 4?

5.Вероятность рождения мальчика равна 0,515 а девочки 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше 2 девочек.

Вариант N9.

1.Некий курящий математик носит с собой 2 коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из двух коробок. Найти вероятность того, что он постоянно брал одну и ту же коробку, если он курил

11 раз.

2.Прядильщица обслуживает 10 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течении одной минуты равна 0,04. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет не менее, чем на 5 веретенах.

3.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,1. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5.

4.В группе 15 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/ 365 .

5.Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 13 испытаниях успех наступит ровно 5 раз; ровно 8 раз?

Вариант N10.

1.Какова вероятность того, что в столбике из 10 наугад отобранных монет, расположенных "гербом" вверх, будет от 4 до 5?

2.Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 15 изделий выбраковано будет не больше 1?

3.Всхожесть семян данного растения равна 0.9. Найти вероятность того, что из 9 посаженных семян число проросших будет заключено между 6 и 8.

4.Игральную кость бросают 8 раз. Найти вероятность того, что число выпадений шестерки будет заключено в пределах 3-5.

5.Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет менее двух раз; не менее двух раз.

Вариант N11.

1. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.

2.Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время Т, если : а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0.1 и устройство отказывает, если работает менее 3 элементов.

3.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее 2 и не более 3 мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

4.На отрезок АВ длины а наудачу брошено 5 точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а три - на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

5.Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:3. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две - правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Вариант N12.

1.Отрезок разделен на 4 равные части. На отрезок брошено 8 точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

2.В партии хлопка около 20% коротких волокон. Какова вероятность не обнаружить ни одного короткого волокна при случайном отборе Н волокон?

3.В 1693г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму - не менее 2 "6" при 12 бросаниях, а третьему - не менее 3 "6" при 18 бросаниях. Найти эту вероятность.

4.Предположим, что кость имеет s граней (s ≥ 2), выпадение каждой из которых

одинаково вероятно. Через g(t,n) обозначим вероятность того, что при t бросаниях кости заданная грань выпадет меньше, чем n раз. Найти g(t,n).

5. Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии 3 цветных? Не более 3 цветных?

Вариант N13.

1. Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью Р оказаться дефектным. Какова вероятность того, что из 10 проверенных изделий только одно оказалось дефектным?

2.Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,3; вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0.2. Для поражения достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при 2 выстрелах? При 10 выстрелах?

3.Спортивные общества А и В состязаются тремя командами. Вероятности выиграша матчей команд общества А против соответствующих команд В можно принять соответственно равными 0.7 для 1-ой (против 1-ой В), 0.6 для 2- ой (против 2-ой В), 0.2 для 3-тей(против 3-тей В). Для победы необходимо выиграть не менее 2-х матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?

4.Два равных по силам шахматиста А и В согласились сыграть матч на следующих условиях: выигрывает тот, кто одержал не менее 5 побед, но не более 2 проигрышей. Найти вероятность того, что кто-нибудь победит.

5.Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени длительности Т равна 1/ 3 . Чему равна вероятность того, что за время Т а) 4 станка потребуют к себе внимание рабочего;б)число требований к рабочему со стороны станков за время Т будет между 3 и 6.

Вариант N14.

1.В семье 4 человека. Считая вероятность рождения в течение каждого из месяцев для каждого лица равной 1/12 , найти вероятность того, что 3 лица родились в январе, а 4-тое в октябре.

2.Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 10 штук. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл; число бракованных сверл - не более 3?

3.Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Сверла укладываются в коробки. Сколько нужно класть в коробку сверл, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.99, в ней было не менее 10 исправных?

4.Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 10 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 7 дней 3 дня окажутся дождливыми?

5.Известно, что в некотором городе 70% - местные жители, 10% - командировочные из других городов и 5% - транзитные пассажиры. Какова вероятность того, что из 5 человек не менее 4 - местные жители ?

Вариант N15.

2.Машинистка напечатала текст на 5 страницах. Вероятность (для данной машинистки) напечатать 1 страницу без ошибок - 0.3, с 1 ошибкой - 0.4, более 1

ошибки - 0.3. Найти вероятность того, что не будет страниц без ошибок.

3.Известно, что в некотором городе 80% - местные жители, 1% - командировочные из других городов и 5% - транзитные пассажиры. Какова вероятность того, что из 5 человек не менее 4 - местные жители ?

4.Известно, что вероятность близнецам быть одного пола - 0.64. Рассмотрели 5 пар близнецов. Найти вероятность того, что все они разнополые.

5.Три лампочки соединены последовательно. Вероятность выхода из строя за время Т одной лампочки - 0.1, второй - 0.2 и третьей -0.15. Найти вероятность того, что за время Т цепь не будет разорвана.

Вариант N16.

3.Известно, что приживаемость рассады некоторой культуры - 0.85. Посажено 5 экземпляров. Какова вероятность того, что останется не менее 2 растений ?

5.Отрезок [0,10] точками 1,2,3,4,7 разделен на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка

Вариант N17.

1.Известно, что загрузка автобусов некоторого маршрута может быть менее 50%

с р1=0.1, 50 - 80% с р2=0.2 и более 80% с р3=0.7. За сутки проходит 5 рейсов. Найти вероятность того, что не менее 3 рейсов будут с загрузкой более 80%.

2.60% населения некоторой местности - светлоглазые. Какова вероятность того, что из 5 человек не будет ни одного светлоглазого; будет ровно 3 светлоглазых

3.Что вероятнее: 2 выпадения герба при трех бросаниях монеты или хотя бы 1 "6" при двух бросаниях кубика?

Вариант N18.

2.Известно, что самая распространенная буква в русском алфавите-"О", вероятность ее появления р = 0.095. Найти вероятность того, что в слове из 10 букв встретится "О".

Вариант N19.

Вариант N20.

1.Вероятность получения среднего и крупного выигрыша в некоторой лотерее - р=0.01. Какова вероятность хотя бы 1 выигрыша на 10 билетов ?

3.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0.8.

Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 5?

4. В группе 15 человек. Найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в

фиксированный день равна 1/365.

5. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет менее двух раз; не менее двух раз.

Вариант N21.

1.При прохождении одного порога байдарка не получает повреждений с

вероятностью Р1, полностью ломается с вероятностью Р2, получает серьезное повреждение с вероятностью Р3 (Р1+Р2+Р3=1). Два серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти вероятность того, что при прохождении N порогов байдарка не будет полностью сломана.

2.Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0.2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.

Вариант N22.

1.Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 5/ 6 . Найти вероятность 6 удачных исходов и наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее количество равно 7.

5.Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии 3 цветных? Не более 3 цветных?

Вариант N23.

1. Некий курящий математик носит с собой 2 коробки спичек. Каждый раз, когда он хочет достать спичку, он выбирает наугад одну из двух коробок. Найти вероятность того, что он постоянно брал одну и ту же коробку, если он курил

11 раз.

3.В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; с) не менее 2 и не более 3 мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.

4.Предположим, что кость имеет s граней (s ≥ 2), выпадение каждой из которых

5. Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени длительности Т равна 1:3. Чему равна вероятность того, что за время Т а) 5 станка потребуют к себе внимание рабочего; б)число требований к рабочему со стороны станков за время Т будет между 4 и 6.

Вариант N24.

Вариант N25.

1.Три лампочки соединены последовательно. Вероятность выхода из строя за время Т одной лампочки - 0.1, второй - 0.2 и третьей -0.15. Найти вероятность того, что за время Т цепь не будет разорвана.

2.Отрезок [0,10] точками 1,2,3,4,7 разделен на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка длины 3. Пусть А1,..,А10 - независимые случайные точки на отрезке [0,10].

Какова вероятность того, что из этих точек две попадут в отрезки единичной длины, а остальные - в отрезки длины 3.

3.Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее 2 окрашенных?

4.Вероятность рождения мальчика равна 0,515 а девочки 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди них не больше 2 девочек.

Вариант N26.

1.Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный исход не учитывается) три партии из четырех или пять из восьми?

2.При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 1/10 . Каковы вероятности того, что сообщение из 10 знаков: не будет искажено; содержит ровно 3 искажения; содержит более 3 искажений.

3.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0.8.

Сколько нужно произвести выстрелов,	чтобы наивероятнейшее число
попаданий было равно 5?

4.Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,1. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5.

5.Всхожесть семян данного растения равна 0.9. Найти вероятность того, что из 9 посаженных семян число проросших будет заключено между 6 и 8.

Вариант N27.

1.В семье 4 человека. Считая вероятность рождения в течение каждого из месяцев для каждого лица равной 1/12, найти вероятность того, что 3 лица родились в январе, а 4-тое в октябре.

5.Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность

отказа каждого элемента за время Т равна 0,2. Найти вероятность безотказной работы устройства за время Т, если : а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0.2 и устройство отказывает, если работает менее 3 элементов.

Вариант N28.

1.Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью Р оказаться дефектным. Какова вероятность того, что из 15 проверенных изделий только одно оказалось дефектным?

2.Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 15 изделий выбраковано будет не больше I?

3.Прядильщица обслуживает 10 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течении одной минуты равна 0,04. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет не менее, чем на 5 веретенах.

4.Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0.2. Найти наивероятнейшее число попаданий и его вероятность.

5.Игральную кость бросают 10 раз. Какова вероятность того, что при 3-х бросаниях будет не больше 2 очков (в каждом) и при 3-х бросаниях будет не меньше 5 очков (в каждом)?

Вариант N29.

1.Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 10 штук. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл;

2.Спортивные общества А и В состязаются тремя командами. Вероятности выиграша матчей команд общества А против соответствующих команд В можно принять соответственно равными 0.7 для 1-ой (против 1-ой В), 0.6 для 2- ой (против 2-ой В), 0.2 для 3-тей(против 3-тей В). Для победы необходимо выиграть не менее 2-х матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?

3.Отрезок разделен на 4 равные части. На отрезок брошено 8 точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

4.Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время Т, если : а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента.

Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0.1 и устройство отказывает, если работает менее 3 элементов.

5. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:3. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две - правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Вариант N30.

1.Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,3; вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0.2. Для поражения достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при 2 выстрелах? При 10 выстрелах?

2.Спортивные общества А и В состязаются тремя командами. Вероятности выигрыша матчей команд общества А против соответствующих команд В можно принять соответственно равными 0.7 для 1-ой (против 1-ой В), 0.6 для 2- ой (против 2-ой В), 0.2 для 3-тей (против 3-тей В). Для победы необходимо выиграть не менее 2-х матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?

4.В партии хлопка около 20% коротких волокон. Какова вероятность не обнаружить ни одного короткого волокна при случайном отборе N волокон?

5.В 1693г. Джоном Смитом был поставлен следующий вопрос: одинаковы ли шансы у трех человек, если первому надо получить хотя бы одну шестерку при бросании игральной кости 6 раз, второму - не менее 2 "6" при 12 бросаниях, а третьему - не менее 3 "6" при 18 бросаниях. Найти эту вероятность.

ТЕМА 7 ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ (при большом числе испытаний)

ЗАДАНИЕ: Peшить задачу, используя одну из предельных теорем. Ответить на вопрос задачи, а также найти наиболее вероятное значение количества происхождения события при данном повторении опытов.

Вариант N1

1.Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0.01. Найти вероятности событий: в принятом тексте из 1100 цифр будет меньше 20 ошибок; будет ровно 7 ошибок.

2.Вероятность рождения мальчика 0.512. Найти вероятности событий: из 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик; разница между количеством мальчиков и девочек из 100 новорожденных не превысит 10.

3.Отдел технического контроля проверяет качество наудачу отобранных 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0.9. Найти наименьший интервал, симметричный относительно 810 деталей, в котором с вероятностью, не меньшей 0.9544, будет заключено число стандартных деталей.

4.В страховой компании застраховано 5000 автомобилей. Вероятность поломки любого автомобиля в результате аварии равна 0.009. Каждый владелец застрахованного автомобиля платит в год 30 $ страховых и в случае поломки автомобиля в результате аварии получает от компании 500$. Найти вероятность того, что по истечении года компания потерпит убыток.

5.В условии предыдущей задачи найти вероятность того, что по истечении года компания получит прибыль не менее m$, где m=20000;80000.

Вариант N2

1.Сколько раз нужно подбросить монету (N), чтобы с вероятностью, не меньшей 0.975, утверждать, что число выпадения герба попадет в интервал (0.4N; 0.6N)?

2.Вероятность того, что интересующая селекционеров ценная культура не прорастает в данных условиях, равна 0.2. Какое количество семян этой культуры (N) следует посадить, чтобы с вероятностью 0.8664 ожидать, что отклонение числа непроросших культур от 0.2N по абсолютной величине не превзошло 0.05N.

3.Сколько раз (N) нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью 0.6 ожидать, что отклонение числа выпадения герба от 0.5N оказалось по абсолютной величине менее 0.01N.

4.Вероятность глагола в тексте 0.09. С вероятностью 0.91 оценить интервал, симметричный относительно наиболее вероятного значения, в котором находится количество появления глаголов в тексте из 900 слов.

5.Вероятность того, что наудачу выбранная деталь содержит дефект, равна 0.02.

Какова вероятность того, что при случайном осмотре 600 деталей этой партии число появления нестандартных деталей отличается по абсолютной величине от наиболее вероятного значения не более чем на 30?

Вариант N3.

1.Известно, что для некоторой профессии вероятность проф. заболевания 0.06. Проведено медицинское обследование 625 сотрудников предприятия. Найти вероятность того, что число выявленных заболеваний будет не менее 40; не более 60; от 40 до 60.

2.Вероятность неисправного кинескопа марки "Электрон" - 0.15. Найти интервал, симметричный относительно наиболее вероятного значения, в котором с Р=0.95 находится число неисправных, если объем партии 10000 штук.

3.Вероятность попадания по мишени при 1 выстреле 0.12. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах число попаданий будет не менее 15; не менее 20;

от 15 до 20.

4.Вероятность брака радиолампы- 0.02. Для контроля отобрано 1000 ламп. Найти интервал, симметричный относительно наиболее вероятного значения, в котором с вероятностью Р=0.95 ожидается число бракованных.

5.Вероятность попадания в баскетбольную корзину для данного спортсмена равна 0.4. Определить вероятность того, что при 100 его бросках по корзине число попаданий будет отклоняться от 40 не более чем на 1.

Вариант N4.

1.Вероятность получить удачный результат при проведении сложного химического опыта равна 0.4. Найти вероятность того, что при проведении 1500 независимых опытов будет не менее 1000 неудачных.

2.Сколько учащихся необходимо обследовать, чтобы с вероятностью 0.99 утверждать, что количество "хорошистов" не превзойдет 1000, если без "3" обучается 70% учащихся.

3.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.25.

4.Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0.6 (не более 1000 раз).

5.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз; не менее 75 раз.

Вариант N5.

1.Вероятность рождения мальчика 0.51. Найти вероятности событий: а) из 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков; б) не менее 55 мальчиков; в) не

менее 50 девочек.

2.Вероятность того, что абонент правильно наберет телефонный номер, принимается для всех абонентов равной 0,999. Определить вероятность того, что среди 500 произведенных независимо один от другого вызовов окажется менее двух ошибочных.

3.Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что герб выпадет на 2n раз больше, чем цифра.

4.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна 0.8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз; не менее 75 раз; не более 70 раз.

5.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний постоянна и равна 0.7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз и не более 1500 раз; не менее 1470 раз; не более 1469 раз.

Вариант N6.

1. Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что число выпадений герба будет между (N − 0.5 2N ) и (N + 0.5 2N ).

2.Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0.9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз.

3.Вероятность появления положительного результата в каждом из N опытов равна 0.9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0.98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

4.В поселке 2500 жителей. Каждый из них них приблизительно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни для поездок по случайным мотивам независимо от других. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).

5.Х-число выпадений "5" и "6" при N бросаниях кубика. Найти вероятность того,

что Х>620 при N=1800.

Вариант N7.

1.Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие "герб-герб" появится меньше 1140 раз.

2.Вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.1. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах будет не больше 10 попаданий.

3.На одной странице 2400 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти вероятность того, что в брошюре из 10 страниц не менее 5 опечаток.

4.Госприемка с первого предъявления приняла 92% продукции. Какова вероятность того, что в партии 8 из 80 деталей забраковано 6 или 7 деалей ?

5. В России в области технических наук работает 72 тысячи научных сотрудников, из них 2 тысячи докторов наук и 15 тысячи кандидатов наук. Какова вероятность того, что в некотором институте с числом научных сотрудников 200 человек 3 доктора наук ?

Вариант N8.

1.Какова вероятность того, что в этом институте менее 20 кандидатов наук ?

2.Известно, что из 1.5 млн. ученых, 145.4 тыс. ученых работают в области физико-математических наук. Какова вероятность того, что в городе, насчитывающем 1200 ученых, более 100 человек работают в области физикоматематических наук ?

3.Известно, что из 1.5 млн. ученых 4.6 тыс. учёных работают в области психологии. Какова вероятность того, что в городе, насчитывающем 1000 ученых, есть хотя бы один психолог ?

4.Известно, что во Франции 19% населения - это люди, старше 60 лет. Какова вероятность того, что в городе из 12 тысяч жителей более 10 тысяч не старше

60 лет ?

5.Из 1000 жителей около 10 человек - это новорожденные, родившиеся в текущем году. Какова вероятность того, что в городе из 25 тысяч человек более 2200 детей в возрасте до 1 года?

Вариант N9.

1.Известно, что причина смерти у 9% всех умерших в текущем году-несчастные случаи. Какова вероятность того, что из 500 умерших не менее 50 человек погибли от несчастных случаев ?

2.Известно, что на 1000 мальчиков в возрасте до 5 лет приходится 960 девочек этого же возраста. Какова вероятность того, что в группе из 150 детей до 5 лет будет не менее 80 мальчиков ?

3.Известно, что на 1000 мужчин в возрасте 45-50 лет приходится ИЗО женщин этого же возраста. Какова вероятность того, что в группе из 150 человек возраста 45-50 лет будет более 80 женщин?

4.Известно, что из людей в возрасте свыше 70 лет 75% - женщины. Какова вероятность того, что из 3180 человек этого возраста более 800 человек - мужчины ?

5.Известно, что на 1000 мужчин в возрасте 25-29 лет приходится 986 женщин этого возраста, а на 1000 мужчин в возрасте 30-34 лет приходится 1012 женщин этого же возраста. Какова вероятность того, что из 200 человек в возрасте 25-34 лет мужчин будет не больше чем женщин ?

Вариант N10.

1. Известно, что причиной смерти в 37 случаях из 100 являются сердечнососудистые заболевания. Найти вероятность того, что из 2159 умерших в

текущем месяце не более 1500 человек умерли по другим причинам.

2.Известно, что 23% выпускаемых в России автомобилей идут на экспорт. Найти вероятность того, что из 25 тысяч выпущенных автомобилей в стране останется не менее 20 тысяч автомобилей.

3.Известно, что 90% жителей Москвы русской национальности. Какова вероятность того, что из 980 тысяч жителей одного из районов не менее 80 тысяч людей других национальностей ?

4.Известно, что 2.6% жителей Москвы украинской национальности. Какова вероятность того, что из 980 тысяч жителей одного из районов украинцев 15-20 тысяч человек ?

5.Известно, что из всех многодетных матерей в Украине 20% имеют 7 и более детей. Найти вероятность того, что из 1953 многодетных матерей, проживающих в городе, более 400 матерей имеют 7 и более детей.

Вариант N11.

1.Известно, что 45% всех многодетных матерей в Украине имеют 3 или 4 детей. Найти вероятность того, что из 1953 многодетных матерей, проживающих в городе, 800-900 матерей имеют 3 или 4 детей.

2.40% населения Украины проживают в домах, являющихся личной собственностью. Какова вероятность того, что из группы в 1000 человек не менее 500 человек проживают в государственных квартирах ?

3.В системе агропрома России работают 42400 человек, из них 770 человек - работники, занимающиеся наукой и подготовкой кадров. Какова вероятность того, что из 100 человек агропрома будет хотя бы 1 такой работник ?

4.Для бабочек некоторого вида вероятность появления потомства из отложенной личинки - 0.005. Какова вероятность того, что из 1 тысячи отложенных личинок появится не менее 10 бабочек ?

5.Для цветущего плодового дерева некоторого вида из 20% цветов появляются плоды, а остальные опадают по различным причинам. На ветке 85 цветков. Какова вероятность того, что на ней будет 15-20плодов?

Вариант N12.

1.В некотором городе 24% населения -учащиеся и студенты. В вагоне едет 60 человек. Какова вероятность того, что в нем не более 10 учащихся или студентов ?

2.Известно, что вероятность появления буквы А в русском тексте -0.064 (с учетом знаков, пробелов). Какова вероятность того, что на странице, содержащей 42 строки (в 1 строке 35 символов), буква А встретится не менее

64 раз ?

3.В некотором городе 20% всех семей имеют музыкальные инструменты. Какова вероятность того, что в 55-квартирном доме не менее 10 семей имеют музыкальные инструменты ?

4.На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для k студентов данного факультета? k=0,1,2,3.

5.Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=0.0005. Найти вероятность следующих событий; А - за время Т откажет ровно 3 элемента; В - за время Т откажет хотя бы 1 элемент; С - за время Т откажет не более 3 элементов.

Вариант N13.

1.Вероятность приема сигнала за 1 такт сеанса связи 0.02, сеанс содержит 60 тактов. Найти вероятности следующих событий: А - за сеанс не поступит ни одного сигнала; В - за сеанс хотя бы 5 тактов будут без сигнала.

2.В условии предыдущей задачи найти вероятности следующих событий: С - за 1 сеанс будет ровно 2 такта с сигналами; D - за сеанс поступит не менее трех сигналов.

3.Электрон, вылетающий с нагретого катода электронной лампы, регистрируется прибором с вероятностью 0.003. При каком числе вылетевших электронов вероятность регистрации 10 электронов равна 0.995.

4.Корректура в 500 страниц содержит 1300 опечаток. Найти наиболее вероятное число ошибок на 1 странице текста и вероятность этого числа.

5.Радиостанция ведет автоматическую передачу цифрового текста в течение 60 мкс. Работа ее происходит при наличии хаотической импульсной помехи, вероятность импульса помехи в течение 1 мкс составляет 0.005. Для срыва передачи достаточно попадания двух импульсов помехи в период работы станции. Вычислить вероятность срыва передачи.

Вариант N14.

1.Вероятность того, что прибор зарегистрирует элементарную частицу в течении 1 такта работы очень мала и равна Р. Найти вероятность того, что за 500 тактов будет зарегистрировано М частиц; не менее М частиц.

2.При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна Р=0.01. Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью Р=0.95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз.

3.В условии предыдущей задачи ответить на вопрос, если требуется, чтобы указанный эффект наблюдался не менее двух раз.

4.Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг; не менее 5 бракованных книг.

5.Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность

выхода любого из них в течение времени Т равна 0.002. Найти вероятность того за время Т откажут ровно 3 элемента; не более 5 элементов.

Вариант N15.

1.Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0.01. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят ровно 3 абонента; менее 3 абонентов; более 3 абонентов;хотя бы 1 абонент.

2.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдет ровно 2 обрыва нити; менее 2 обрывов; хотя бы 1 обрыв.

3.Устройство состоит из большого числа элементов, работающих независимо; вероятность выхода из строя любого из них в течение времени Т одинакова и очень мала. Найти среднее число элементов, отказавших за время Т, если вероятность отказа хотя бы одного за это время 0.98.

4.Вероятность брака для 1 изделия очень мала. Найти среднее число бракованных изделий в большой партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0.95.

5.Вероятность появления события А в одном опыте очень мала и равна Р. Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события А при бесчисленном количестве независимых испытаниях равна 1.

Вариант N16.

1.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.01. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах будет не больше 3 попаданий.

2.На одной странице 2000 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти вероятность того, что на странице не менее 2 опечаток.

ВариантN17.

1. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех

каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0.01. Найти вероятности событий: в принятом тексте из 1100 цифр будет меньше 20 ошибок; будет ровно 7 ошибок.

от 15 до 20.

Вариант N18.

3.Из урны с 1 белым и 4 черными шарами по схеме случайного выбора с возвращением проводят 2500 извлечений шаров. Найти вероятность того, что число появлений белого шара заключено между 480 и 540.

4.Госприемка с первого предъявления приняла 92% продукции. Какова вероятность того, что в партии из 80 деталей забраковано 6 или 7 деталей ?

Вариант N19.

3.Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что герб выпадет

на 2n раз больше, чем цифра.

5.В России в области технических наук работает 72 тысячи научных сотрудников, из них 2 тысячи докторов наук и 15 тысячи кандидатов наук. Какова вероятность того, что в некотором институте с числом научных сотрудников 200 человек 3 доктора наук ?

Вариант N20.

1.Вероятность рождения мальчика 0.51. Найти вероятности событий: из 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков; не менее 55 мальчиков; не менее 50 девочек.

60 лет ?

5Известно, что на 1000 мужчин в возрасте 25-29 лет приходится 986 женщин этого возраста, а на 1000 мужчин в возрасте 30-34 лет приходится 1012 женщин этого же возраста. Какова вероятность того, что из 200 человек в возрасте 25-34 лет мужчин будет не больше чем женщин ?

Вариант N21.

1.Какова вероятность того, что в этом институте менее 20 кандидатов наук ?

5.Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых независимо от остальных выходит из строя за время Т с вероятностью р=0.0005. Найти

вероятность следующих событий; А - за время Т откажет ровно 3 элемента; В - за время Т откажет хотя бы 1 элемент; С - за время Т откажет не более 3 элементов.

Вариант N22.

2.Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что число выпадений герба будет между (N − 0.5 2N ) и (N + 2N ).

3.Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть семян оценивается вероятностью 0, 75.

4.Сколько учащихся необходимо обследовать, чтобы с вероятностью 0.99 утверждать, что количество "хорошистов" не превзойдет 1000, если без "3" обучается 70% учащихся.

5.Пусть вероятность того, что выпущенный экземпляр часов имеет точность кода

впределах стандарта, равна 0.97, Найти вероятность того, что среди имеющихся 1000 часов доля часов с точностью хода в пределах нормы отклонится (по абсолютной величине) от вероятности 0.97 не более, чем на

0.02.

Вариант N23.

1.Вероятность рождения мальчика 0.51. Найти вероятности событий:

3.Вероятность попадания по мишени при 1 выстреле 0.25. Найти вероятность того, что при 150 выстрелах число попаданий будет не менее 15; не более 40; от

15 до 50.

5.По данным ОТК в среднем 2% изготавливаемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 300 изготовленных часов 290 штук не будут нуждаться в дополнительной регулировке?

Вариант N24.

2.Известно, что 23% выпускаемых в России автомобилей идут на экспорт. Найти вероятность того, что из 25 тысяч выпущенных автомобилей в стране останется

не менее 20 тысяч автомобилей.

3.Известно, что на 1000 мужчин в возрасте 45-50 лет приходится 1130 женщин этого же возраста. Какова вероятность того, что в группе из 150 человек возраста 45-50 лет будет более 80 женщин?

Вариант N25.

2.Сколько раз нужно подбросить монету (N), чтобы с вероятностью, не меньшей 0.975, утверждать, что число выпадения герба попадет в интервал (0.4N; 0.6N)?

3.Известно, что для некоторой профессии вероятность проф. заболевания 0.06.

Проведено медицинское обследование 625 сотрудников предприятия. Найти вероятность того, что число выявленных заболеваний будет не менее 40; не более 60; от 40 до 60.

4.Вероятность рождения мальчика 0.51. Найти вероятности событий: из 100 новорожденных будет ровно 50 мальчиков; не менее 55 мальчиков; не менее 50 девочек.

5.Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что число

выпадений герба будет между (N −0.5 2N )и (N + 0.5 2N ).

Вариант N26.

2.Известно, что причиной смерти в 37 случаях из 100 являются сердечнососудистые заболевания. Найти вероятность того, что из 2159 умерших в текущем месяце не более 1500 человек умерли по другим причинам.

3.Известно, что 45% всех многодетных матерей в Украине имеют 3 или 4 детей. Найти вероятность того, что из 1953 многодетных матерей, проживающих в

городе, 800-900 матерей имеют 3 или 4 детей.

4. Вероятность получить удачный результат при проведении сложного

100

химического опыта равна 0.4. Найти вероятность того, что при проведении 1500 независимых опытов будет не менее 1000 неудачных.

5. Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие "герб-герб" появится меньше 1140 раз.

Вариант N27.

1.Вероятность того, что наудачу выбранная деталь содержит дефект, равна 0.02. Какова вероятность того, что при случайном осмотре 600 деталей этой партии число появления нестандартных деталей отличается по абсолютной величине от наиболее вероятного значения не более чем на 30? дней (поезд ходит раз в сутки).

2.Х-число выпадений "5" и "6" при N бросаниях кубика. Найти вероятность того,

что Х>620 при N=1800.

3.Школа принимает в первые классы 215 детей. Найти вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность рождения мальчика 0,515.

4.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний постоянна и равна 0.7. Найти вероятность того, что событие появится не менее 1470 раз и не более 1500 раз; не менее 1470 раз; не более 1469 раз.

5.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз; не менее 75 раз

Вариант N28.

1.Известно, что вероятность появления буквы А в русском тексте -0.064. Какова вероятность того, что на странице, содержащей 42 строки (в 1 строке 35 символов), буква А встретится не менее 64 раз ?

2.Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.003. Найти вероятность того, что в течение минуты произойдет ровно 2 обрыва; менее 2 обрывов; хотя бы 1 обрыв.

3.Вероятность изготовления консервной банки с недостаточной герметизацией равна 0,002. Среди скольких банок, отобранных случайным образом, можно с вероятностью 0,9 ожидать отсутствие бракованных?

4.Известно, что на 1000 мальчиков в возрасте до 5 лет приходится 960 девочек этого же возраста. Какова вероятность того, что в группе из 150 детей до 5 лет будет не менее 80 мальчиков ?

5.На одной странице 2000 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти вероятность того, что на странице не менее 2 опечаток.

Вариант N29.

1. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с

101

вероятностью 0.01. Найти вероятности событий: в принятом тексте из 1100 цифр будет меньше 20 ошибок; будет ровно 7 ошибок.

3.Известно, что для некоторой профессии вероятность проф. заболевания 0.06. Проведено медицинское обследование 625 сотрудников предприятия. Найти вероятность того, что число выявленных заболеваний будет не менее 40; не более 60; от 40 до 60.

4.Вероятность получить удачный результат при проведении сложного химического опыта равна 0.4. Найти вероятность того, что при проведении 1500 независимых опытов будет не менее 1000 неудачных.

5.Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти приближенное значение вероятности того, что событие "герб-герб" появится меньше 1140 раз.

ВариантN30.

3.Монета брошена 2N раз (N велико). Найти вероятность того, что герб выпадет на 2n раз больше, чем цифра.

5.В России в области технических наук работает 72 тысячи научных сотрудников, из них 2 тысячи докторов наук и 15 тысячи кандидатов наук. Какова вероятность того, что в некотором институте с числом научных сотрудников 200 человек 3 доктора наук ?

102

ТЕМА 8. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ЗАДАНИЕ: Для заданной дискретной случайной величины Х:

1)построить ряд распределения;

2)построить многоугольник распределения;

3)записать и построить функцию распределения F(x);

4)найти характеристики: математическое ожидание (m); дисперсию (D), среднее квадратичное отклонение (S), моду, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс;

5)найти p(X − m < S) и p(X − m < 3S).

6)На график многоугольника нанести m и интервалы, указанные в п.5

Вариант N1.

1.Брак в продукции завода вследствие дефекта составляет 6%. Взяли 3 детали, Х - число бракованных среди отобранных детлей.

2.Имеется 10 перфокарт. 3 из них содержат ошибки. Берут перфокарты одну за другой, пока встретится перфокарта с ошибкой. Х - число взятых перфокарт.

3.В группе из 24 человек 5 отличников, 15 хорошистов. Группу разделили пополам. Х - число студентов без "3" в первой подгруппе.

4.В дисплейном классе 15 персональных ЭВМ, 2 из них неисправны. Группа из 10 человек занимает 10 ЭВМ. Х - количество человек, которым не придется пересаживаться.

5.Имеется 4 параллельно работающих процессора. Известно, что через 30 с каждый из них закончит выполнение такта с вероятностью р=0.8. Х - число свободных процессоров через 30 секунд.

Вариант N2.

1.В программе 5 условных операторов, 2 из них с вероятностью р=0.5 прорабатывают по ветви "да" (каждый), а для каждого из остальных трех вероятность работы по ветви "да"=0.6, Х - число операторов, которые прорабатывают по ветви "нет".

2.Имеется 20 перфокарт, 5 из них содержат ошибки. Взяли 5 перфокарт Х - число перфокарт с ошибками.

3.Шесть раз бросается монета. Х - число появлений герба.

4.Работают 4 станка с ЧПУ, которые обслуживаются одним роботом. В данную минуту вероятность поступления запроса на обслуживание от 1-го станка=1/20, от 2-го=1/15, от 3-го=1/10, от 4-го=1/5 (запросы от станков поступают независимо). Х - число поступивших роботу запросов.

5.Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Р, что студент ответит на любой вопрос=0.9. Преподаватель прекращает экзамен, как только студент обнаруживает незнание вопроса, но не более 5 вопросов. Х - число дополнительных вопросов.

Вариант N3.

1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле=0.8.

103

Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется, но не более 5 патронов. Х - число взятых патронов.

2.Из двух орудий поочередно ведется стрельба по цели до первого попадания одним из орудий, но не более 4 выстрелов каждым. Вероятность попадания первого орудия=0.3, второго - 0.7. Начинает стрелять первый. Х - число израсходованных снарядов первым орудием.

3.Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого в одном опыте=0.1. Х - число отказавших элементов в одном опыте.

4.Два бомбардировщика поочередно сбрасывают бомбы на цель до первого попадания. Вероятность попадания первого=0.7, второго -0.8. Начинает первый. Имеется по 2 снаряда у каждого. Х - число сброшенных бомб обоими.

5.В партии из 10 деталей три нестандартных. Наудачу отобрали три детали. Х

-число нестандартных среди отобранных.

Вариант N4.

1.Устройство состоит из 100 элементов, работающих независимо. В течение времени Т вероятность отказа=0.002. Х - число отказавших элементов через время Т.

2.Станок-автомат штампует детали. Вероятность того что, изготовленная деталь бракованная=0.01. Х - число качественных деталей из 60 отобранных.

3.Х - число появления события А в 5 независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном независимом опыте 0.2.

4.X - число отказов элемента в 5 независимых опытах, если в каждом опыте вероятность отказа=0.9.

5.В партии 10% нестандартных деталей. Отобраны 4. Х - число нестандартных деталей среди отобранных.

Вариант N5.

1.В программе возможно обращение к 4 процедурам. Обращения происходят в зависимости от хода вычислений в основной программе. Известно, что вероятность обращения к первой подпрограмме=0.4, а ко второй=0.3, к третей=0.6, к четвертой=0.8 (обращения происходят независимо). Х - число вызванных процедур.

2.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Х - число стандартных деталей.

3.Бросают два кубика. Х - сумма выпавших очков на двух кубиках.

4.Монеты бросают до первого выпадения герба, но не более 6 бросаний. Х - число бросаний монеты.

5.Программа имеет оверлейную структуру, причем в один момент времени в оперативной памяти может находится три модуля (такая ситуация повторяется 4 раза по 20с), пять модулей (3 раза по 50с) или 6 модулей (2 раза по 20с), причем очередность ситуаций произвольна. Х - число модулей в оперативной памяти на 60-й секунде счета.

104

Вариант N6.

1.Производится 4 независимых выстрела в одинаковых условиях по некоторой цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна р=0.25. Х " число попаданий в цель.

2.Из 25 изделий, среди которых 5 отмечены государственным "Знаком качества", наугад извлекают три изделия. Х - число изделий отмеченных "Знаком качества" и оказавшихся в выборке.

3.Имеется 5 ключей, из которых один подходит к замку. Х - число проб при открывании замка, если использованный ключ в последующих испытаниях не используется.

4.Проверяемая рукопись содержит 100 страниц, а вероятность того, что на странице могут быть опечатки, равна 0.02. Х - случайное число страниц с опечатками.

5.Вероятность попадания в мишень=0.5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов,

ведет огонь по цели до первого попадания или до израсходования всех патронов. Х - случайное число израсходованных патронов.

Вариант N7.

1.Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места в первом ряду. Наудачу выбираются три билета. Х - число билетов первого ряда, оказавшихся в выборке.

2.В ячейке ЭВМ записано n - разрядное двоичное число; каждый знак этого числа, независимо от остальных, принимает с равной вероятностью два значения: "О" и "I". Х - случайная величина числа знаков "1" в записидвоичного числа.

3.Автоматическая телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течение 5 мин. на АТС поступит вызов из телефонной точки=0.005.

4.По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры: "О" и "I". Априорные вероятности передачи этих цифр равны р(Е=1)=р(Е=0)=1/2. Однако из-за наличия помех возможны искажения. Вероятность перехода "1" в "1" равна р=0.8, а "О" в "О" равна q=0.9. Х - однозначное число, которое будет получено в пункте приема.

5.Производятся последовательные испытания n образцов на прочность. Каждый следующий образец испытывается только в том случае, если предыдущий выдержал испытание. Х - число испытанных образцов, если вероятность выдержать испытание для каждого образца равна р=0.6.

Вариант N8.

1.Вероятность обнаружить малоразмерный объект в заданном районе при каждом вылете равна р=0.1. Х - число произведенных независимых вылетов, если они выполняются до первого обнаружения объекта.

2.Выпущено 1000 билетов денежной лотереи, причем разыгрываются: один выигрыш в 50 рублей, 5 выигрышей по 25 рублей, 10 выигрышей по 10 рублей, 25 выигрышей по 5 рублей. Е - стоимость выигрыша для владельца

105

одного лотерейного билета.

3.На пути движения автомашины 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0.5 либо разрешает, либо запрещает автомашине дальнейшее движение. Е - число светофоров, пройденных машиной до первой остановки.

4.Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Е -случайное число испытанных приборов, если вероятность, выдержать испытание для каждого прибора равна 0.9.

5.При автоматическом изготовлении некоторых деталей в среднем на каждые 10 деталей 3 оказываются с отклонением от стандарта. Е -число стандартных деталей из взятых на удачу 6 деталей.

Вариант N9.

1.Производится ряд выстрелов с вероятностью попадания 0.8 при каждом выстреле. Стрельба ведется до первого попадания, но делается не более 4-х выстрелов. Е - число произведенных выстрелов.

2.Среди 20 измерительных приборов имеется 6 недостаточно точных. Наудачу берется 5 приборов. Е - число точных приборов из отобранных пяти.

3.Вероятность изготовления нестандартной детали при некотором технологическом процессе равна 0.06. В отделе технического контроля из каждой партии берется деталь одна за другой, но не более 5 деталей. При обнаружении среди них первой нестандартной вся партия задерживается. Е - число проверяемых деталей.

4.Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0.8. Е - число телевизоров, которые потребуют гарантийного ремонта из числа проданных шести телевизоров.

5.Вероятность того, что покупатель, зашедший в обувной магазин, приобретет обувь 41-го размера, принимается равной 0.2. Е - число покупателей, которым необходима обувь 41-го размера из первых зашедших в магазин 5 покупателей.

Вариант N10.

1.Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.3. Куплено 4 билета. Е - число билетов, на которые выпал выигрыш.

2.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наугад извлекают три шара. Е - число белых среди вынутых шаров.

3.Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятности попадания для первого и второго стрелков соответственно равны 0.5 и 0.6. Е - общее число попаданий.

4.Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Е - число израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0.4.

5.Партия содержит 50 деталей, из них 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 4 изделия. Е - число бракованных в выборке.

106

Вариант N11.

1.Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течении часа станок не потребует внимания рабочего равна для первого станка 0.7, для второго - 0.75, для третьего - 0.8, для четвертого 0.9. Е -число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение часа.

2.Монету подбрасывают 3 раза. Е - отношение числа появления герба к числу появления цифры.

3.Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Е -число попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих открываниях не участвует.

4.Батарея состоит из 3-х орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого, второго и третьего орудия батареи равна соответственно: 0.5, 0.6 и 0.8. каждое из орудий стреляет по некоторой цели один раз. Е - число попаданий в мишень.

5.Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания (либо до полного израсходования колец). Число колец равно пяти. Е - число брошенных колец, если вероятность попадания 0.9.

Вариант N12.

1.Имеется n-лампочек; каждая из них с вероятностью р имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Е - случайная величина числа лампочек, которое будет испробовано.

2.Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Е - случайное число бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания первого равна 0.4, а второго

0.6.

3.Мишень состоит из круга 1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг 1 дает 10 очков, в кольцо 2 дает 5 очков, а в кольцо 3 - 1 очко. Вероятности попадания в круг 1 и в кольца 2 и 3 соответственно равны 0.5, 0.3, 0.2. Е - случайная сумма выбитых очков в результате трех выстрелов.

4.Производятся испытания n изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытание для каждого изделия равна р. Е -случайное число изделий, выдержавших испытание.

5.Имеется n заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна р. Е -случайное число используемых заготовок.

Вариант N13.

1.В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Е - число нестандартных деталей среди 2 отобранных.

2.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.9. В каждой партии содержится 5 изделий. Е - число партий, в каждой из которых окажется

107

ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

3.Мишень состоит из круга 1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг 1 дает 10 очков, в кольцо 2 дает 5 очков, а в кольцо 3 - 1 очко. Вероятности попадания в круг 1 и в кольца 2 и 3 соответственно равны 0.5, 0.3, 0.2. Е - сумма выбитых очков в результате трех выстрелов.

5.В дисплейном классе 16 персональных ЭВМ, 3 из них неисправны. Группа из 10 человек занимает 10 ЭВМ. Х - количество человек, которым придется пересесть.

Вариант N14.

1.Имеется 20 перфокарт, 5 из них содержат ошибки. Взяли 5 перфокарт Х - число перфокарт с ошибками.

2.В программе возможно обращение к 4 процедурам. Обращения происходят в зависимости от хода вычислений в основной программе. Известно, что вероятность обращения к первой подпрограмме равна 0.4, а ко второй - 0.3, к третьей - 0.6, к четвертой - 0.8 (обращения происходят независимо). Х - число вызванных процедур.

4.X - число отказов элемента в 5 независимых опытах, если в каждом опыте вероятность отказа=0.9.

5.Вероятность попадания в мишень=0.5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведет огонь по цели до первого попадания или до израсходования всех патронов. Х - случайное число израсходованных патронов.

Вариант N15.

1.Проверяемая рукопись содержит 100 страниц, вероятность, что на странице могут быть опечатки - 0.02. Х - случайное число страниц с опечатками.

3.Программа имеет оверлейную структуру, причем в один момент времени в оперативной памяти может находится три модуля (такая ситуация повторяется 4 раза по 20с), пять модулей (3 раза по 50с) или 6 модулей (2 раза по 20с), причем очередность ситуаций произвольна. Х - число модулей .

5.В партии 10% нестандартных деталей. Отобраны 4. Х - число нестандартных деталей среди отобранных.

108

Вариант N16.

4.Партия содержит 50 деталей, из них 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 4 изделия. Е - число бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Вариант N17.

1. Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле=0.8. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется, но не более 5 патронов. Х - число взятых патронов.

2. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того что, изготовленная деталь бракованная=0.01. Х - число качественных деталей из

60 отобранных.

3.Бросают два кубика. Х - сумма выпавших очков на двух кубиках.

Вариант N18.

1.Устройство состоит из 100 элементов, работающих независимо. В течение времени Т вероятность отказа равна 0.002. Х - число отказавших элементов через время Т.

2.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Х - число стандартных деталей.

4.По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры: "О" и "I".

109

Априорные вероятности передачи этих цифр равны р(Е=1)=р(Е=0)=1/2. Однако из-за наличия помех возможны искажения. Вероятность перехода "1" в "1" равна р=0.8, а "О" в "О" равна q=0.9. Х - однозначное число, которое будет получено в пункте приема.

5. При автоматическом изготовлении некоторых деталей в среднем на каждые 10 деталей 3 оказываются с отклонением от стандарта. Е - число стандартных деталей из взятых на удачу 6 деталей.

Вариант N19.

1.В партии из 6 деталей 4 стандартные. Взяли 3 детали. Х - число нестандартных деталей.

3.Автоматическая телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность того, что в течение 5 мин. на АТС поступит вызов из телефонной точки=0.005. Х - число вызовов, поступивших на АТС в течение 5 мин.

4.Производятся последовательные независимые испытания трех приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Е -случайное число испытанных приборов, если вероятность, выдержать испытание для прибора равна 0.9.

Вариант N20.

2.В ячейке ЭВМ записано n - разрядное двоичное число; каждый знак этого числа, независимо от остальных, принимает с равной вероятностью два значения: "0" и "1". Х - случайная величина числа знаков "1" в записи числа.

5.Вероятность того, что баскетболист попадет мячем в корзину при одном броске 0.4. Е - число попаданий при 3 бросках.

Вариант N21.

1. Имеются 6 билетов в театр, 4 из которых на места в первом ряду. Наудачу

110

выбираются три билета. Х - число билетов первого ряда в выборке.

4.Стрелок сделал 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0.2. Е -число попаданий.

5.Партия содержит 50 деталей, из них 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 4 изделия. Е - число бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Вариант N22.

2.Производится 100 независимых повторных испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события равна 0.6. Е -число появления события в этих испытаниях.

3.Вероятность выиграть по 1 лотерейному билету равна 0.04. Приобретено 30 билетов. Е - число билетов, на которые выпадут выигрыши.

4.Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по два выстрела. Вероятности попадания для первого и второго стрелков соответственно равны 0.5 и 0.6. Е - общее число попаданий.

5.Батарея состоит из 3-х орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого, второго и третьего орудия батареи равна соответственно: 0.5, 0.6 и 0.8. каждое из орудий стреляет по некоторой цели один раз. Е - число попаданий в мишень.

Вариант N23.

1.Необходимо исследовать 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0.2. Е - число проб с промышленным содержанием металла.

2.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наугад извлекают три шара. Е - число белых среди вынутых шаров.

111

5. Партия содержит 50 деталей, из них 6 бракованных. Из всей партии случайным образом выбрано 4 изделия. Е - число бракованных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Вариант N24.

1.Проверяемая рукопись содержит 250 страниц, а вероятность того, что на странице могут быть опечатки, равна 0.01. Х - случайное число страниц с опечатками.

5.В партии 10% нестандартных деталей. Отобраны 4. Х - число нестандартных деталей среди отобранных.

Вариант N25.

Вариант N26.

1.Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0.3. Куплено 4 билета.

Е- число билетов, на которые выпал выигрыш.

2.Из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, наугад извлекают три шара. Е - число белых среди вынутых шаров.

3.Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо друг от друга по

112

два выстрела. Вероятности попадания для первого и второго стрелков соответственно равны 0.5 и 0.6. Е - общее число попаданий.

Вариант N27.

1.Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле=0.8. Стрелку выдают патроны до тех пор, пока он не промахнется, но не более 5 патронов. Х - число взятых патронов.

3.Бросают два кубика. Х - сумма выпавших очков на двух кубиках.

4.Монеты бросают до первого выпадения герба, но не более 6 бросаний. Х - число бросаний монеты.

5.Пять раз бросается монета. Х - число появлений герба.

Вариант N28.

4.X - число отказов элемента в 5 независимых опытах, если в каждом опыте вероятность отказа=0.9.

5.Вероятность попадания в мишень=0.5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов,

Вариант N29.

1.В партии из 6 деталей 4 стандартные. Взяли 3 детали. Х - число нестандартных деталей.

2.В партии из 10 деталей 8 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Х - число стандартных деталей.

113

5.Вероятность попадания в мишень равна 0.5. Стрелок, имея в запасе 6 патронов, ведет огонь по цели до первого попадания или до израсходования всех патронов. Х - случайное число израсходованных патронов.

Вариант N30.

1.Необходимо исследовать 1000 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна 0.2. Е -число проб с промышленным содержанием металла.

4.Стрелок сделал 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле 0.2. Е -число попаданий.

114

ТЕМА 9. НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

ЗАДАНИЕ: Для заданной непрерывной случайной величины Х :

1)записать и построить функцию плотности f(x);

2)записать и построить функцию распределения F(x);

3)проверить выполнение свойств f(x) и F(x);

4)найти характеристики: математическое ожидание (m), дисперсию (D), среднее квадратичное отклонение (S), моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии, эксцесс;

5)найти p(X −m < S) и p(X −m < 3 S). На график f(x) нанести m и интервалы,

указанные в 5).

Вариант N1.


0, x ≤ 1
				1
F(x)=	3	x + c,−1 < x ≤
				3
4			1

1, x >			3

c −?

Вариант N2.

		a
F(x)= 1	−		, x ≥ 1
F(x)= 1	−	x2	, x ≥ 1

0, x < 1

a −?

Вариант N3.

0, x ≤ 2
	1		1			x

F(x)=		+			arcsin			,−2	< x ≤ 2
	2			π			2

			> 2
1, x

Вариант N4.

F(x)= 1 − A e t , x ≥ 00, x < 0

t > 0, A −?

Вариант N5.

0, x ≤ 2

F(x)= 1 x −b,2 < x ≤ 4

1, x > 4

b −?

Вариант N6.

0, x ≤ 0

F(x)= A x2 ,0 < x ≤ 1

1, x > 1

A −?

Вариант N7.

0, x ≤ 0

F(x)= A sin(x),0 < x ≤ 11, x > 1

A −?

Вариант N8.

0, x ≤ 1
F(x)= a (x2 − x),1 < x ≤ 2

1, x > 2

a −?
Вариант N9.
	−a	x
	−a	x
F(x)= 1 − b e			, x	> 0

0, x ≤ 0

a > 0,b −?

Вариант N10.

0, x ≤ 0

F(x)= A x3 ,0 < x ≤ 2

1, x > 2

A −?

Вариант N11.

, x (−1;1)

f (x)= π

− x2

0,иначе

a −?

Вариант N12.

a sin(3 x), x 0;

f (x)=

0,иначе

a −?

Вариант N13.

−2 x

, x (0;

π)

f (x)= a e

0,иначе

a −?

Вариант N14.

0, x < 0

f (x)= b cos(x),0 ≤ x ≤

0, x >

b −?

Вариант N15.

a cos(2

x), x −

;

f (x)=

0,иначе

a −?

Вариант N16.



0, x ≤ 0		π
f (x)= c sin(x),0 < x ≤		π
f (x)= c sin(x),0 < x ≤		2
	π	2
	π
0, x >
0, x >	2
	2

c −?

Вариант N17.

x − b,1 < x ≤ 2 f (x) =

0,иначе

b −?

Вариант N18.

0, x ≤ π6

f (x)= b sin(3 x), π < x < π6 3

0, x ≤ π3

b −?

Вариант N 19.

		π
c sin(2	x), x 0;
c sin(2	x), x 0;	2
f (x)=		2

0,иначе

c −?

Вариант N20.

( ) c arctg(x), x (0;1) f x =

0,иначе

c −?

Вариант N21.
f (x)= a x, x (0;2)
	0,иначе
a −?
Вариант N22.
	C	, x (−C;C)
f (x)=	π C2	− x2

0,иначе
C −?

Вариант N23.

f (x)= c (x2 + 2 x), x (0;1)

0,иначе

c −?

Вариант N24.
f (x)= a sin(x), x (0;2)
0,иначе
a −?
Вариант N25.
	2	+ 4,5x − 6, x	(2;4)
f (x)= − A x		+ 4,5x − 6, x	(2;4)

0,иначе

A −?

115

Вариант N26.

( ) x + a, x (0;1) f x =

0,иначе

a −?

Вариант N27.

f (x)= a x2 ,0 ≤ x ≤ 1

0,иначе

a −?

Вариант N28.

f (x)

= a cos(x),0

< x <

0,иначе

a −?

Вариант N29.

sin(x)

, x

f (x)= a

0,иначе

a −?

Вариант N30.

cos(2

x), x

;

−

f (x)=

0,иначе

a −?

116

ТЕМА 10. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Вариант N 1

1.Известно, что в некоторой местности средний рост взрослых мужчин М= 170 см, со среднеквадратичным отклонением S = 10 см. Какова вероятность того, что рост наудачу выбранного мужчины этой местности попадет в промежуток между 165 см и 180 см?

2.В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16.2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

3.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 1.06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков % коробок, масса которых превышает 940 г., если вес коробок - случайная величина, распределенная по нормальному закону?

Вариант N2

1.Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами: М[Х] =16 км, σ[X] =100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами не менее 15,65 км и не более 16,3 км.

2.Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плотности 1.84 г/см.кв. Практически 99.9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1.82; 1.86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0.0l г/см.кв. Предполагается, что плотность кислоты имеет нормальное распределение.

3.Браковка шариков для подшипников производится следующим образом:

если шарик проходит через отверстие диаметра D2, но не проходит через отверстие диаметра Dl (D2>D1), то шарик считается годным. Если какоето из этих условий нарушается, то шарик бракуется. Считая, что диаметр шарика Х - случайная величина, распределенная по нормальному закону N((Dl-rD2)/2, a*(D2-Dl)), где а-параметр, определяющий точность изготовления, определить вероятность того, что шарик будет забракован.

Вариант N3.

1.Установлено, что диаметр изготовляемых поршней является случайной

величиной, распределенной по нормальному закону со средним значением, равным 4 дюймам, и дисперсией, равной 9*10-6 .Поршни с диаметром более 4.006 и менее 3.994 дюйма являются браком. Каков при этих условиях процент брака в изготовляемых партиях?

2.Случайная величина Х подчинена нормальному закону N(10,5). Найти симметричный относительно М интервал, в который с вероятностью Р попадет измеренное значение. Р 0.9974; 0.9544;0.5000.

3.Случайная величина имеет нормальное распределение N(M,S) с математическим ожиданием М и среднеквадратичным отклонением S.

117

Заменить приближенно законом постоянной плотности на интервале (А,В), подобрав А и В так, чтобы основные характеристики (математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение) не изменились.

Вариант N4.

1.Производится стрельба по наземной пели снарядами, снабженными радиовзрывателями. Номинальная высота, на котирую рассчитан взрыватель, равна А, но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со среднеквадратичным отклонением А/2. Если взрыватель не срабатывает над землёй то взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятность того, что при стрельбе одним снарядом точка разрыва снаряда окажется на высоте, превышающей 1,2*А; что разрыв произойдет на высоте ниже номинала.

2.В условии предыдущей задачи найти вероятность того, что при стрельбе тремя снарядами все три разорвутся и ни один из них не разорвется на высоте превышающей 1,3*А.

3.Процент содержания золы в угле является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием, равным 16% и средним квадратичным отклонением, равным - 4%. Определить вероятность того, что в наудачу взятой пробе угля будет от 12 до 24% золы.

Вариант N5.

1. Предполагается, что предел прочности выпускаемой партии стальной проволоки диаметром 1,4 мм является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием М = 160 кг/мм2 и средним квадратичным отклонением σ = 8 кг/мм2. Определить, какое предельное отклонение в ту или другую сторону предела прочности испытываемого образца проволоки от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,9901.

2.Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков D-бмм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр - случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением D и средним квадратическим отклонением S=0.05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0.1 мм. Определить, какой % шариков в среднем будет отбраковываться.

3.В условии предыдущей задачи определить % шариков с отклонением, превышающим 0.8 мм, но не попадающих в брак.

Вариант N6.

1. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 9л. но фактически расход топлива -нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 9л, Какое среднеквадратичное отклонение имеет данная величина, если известно, что в среднем для 1% двигателей данной модели расход топлива превышает 9.5 л.?

118

2.Станок-автомат штампует болты с номинальным значением контролируемого размера D, но вследствие неточности изготовления размер - случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием D и среднеквадратичным отклонением S. Болт бракуется, если отклонение его размера от номинала превышает величину А=1.5*S. На сколько уменьшится % брака, если S уменьшится в 2 раза, а А не изменится?

3.Гарантийный срок службы прибора 15 лет. Фактически, срок службы нормально распределенная величина с математическим ожиданием 15 лет и средним квадратичным отклонением 3 года. Найти вероятность того, что прибор проработает не более 10 лет; не менее 20 лет. Какой % приборов, которые проработают от 12 до 18 лет?

Вариант N7.

1.Диаметр детали - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 5 см и средним квадратичным отклонением 0.1 см. Найти вероятность того, что диаметр случайно отобранной детали находится в пределах от 4.5 до 5.5 см; что диаметр отличается от среднего более, чем на 1 см; в каком диапазоне находится диаметр с вероятностью

0.95 ?

2.Коробки с мармеладом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 900г. Известно, что 1% коробок имеют массу, большую 1кг. Каков % коробок, масса которых не превышает 850 г., если вес коробок - случайная величина, распределенная по нормальному закону?

3.Случайная величина - ошибка показаний вольтметра имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и средним квадратичным отклонением 20мВ. Произведено 3 измерения. Какова вероятность того, что хотя бы 1 раз ошибка превысила 10мВ?

Вариант N8.

1.Автомат штампует детали с номинальным диаметром 50 мм., но, фактически, диаметр - случайная нормально распределенная величина, значения которой находятся в диапазоне от 40 до 60 мм. Найти вероятность того, что диаметр случайно отобранной детали будет меньше 42 мм; больше

55 мм.

2.Взвешивание готовой продукции производится без систематической ошибки. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 0 и средним квадратичным отклонением 20 г. Найти вероятность того, что ошибка взвешивания не превзойдет 10 г.; в каком интервале находится ошибка с вероятностью 0.95?

3.Изделие считается высшего качества, если отклонение его от номинала не превосходит 3.45 мм. Случайные отклонения размера от номинала подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 0 и средним квадратичным отклонением 3 мм. Предполагая отсутствие систематических ошибок, определить вероятность того, что из 4 случайно отобранных

119

изделий будет хотя бы 1 не высшего качества.

Вариант N9.

1.Случайная величина имеет нормальное распределение. Максимум функции плотности 1/(4*П) достигается при х=2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение, не превосходящее 3.

2.Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина) 50 мм. Фактически, длина изготовленных деталей не менее 32мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина случайно отобранной детали будет меньше 40 мм; больше 55 мм.

3.Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением S=10мм. Найти вероятность, что при 2- х измерениях ошибка ни в не превзойдет 15 мм.

Вариант N10.

1.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=25. Вероятность попадания Х в интервал (10,15) равна 0.2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35,40)?

2.Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 0 и средним квадратичным отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что при 3-х независимых измерениях ошибка хотя бы одного не превзойдет 10 мм?

3.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=10. Вероятность попадания Х в интервал (0,20) равна 0.9973. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0,5)?

Вариант N11.

1.Случайная величина X, распределенная по нормальному закону, представляет собой ошибку измерения некоторого расстояния. При измерении допускается систематическая ошибка на 1,2 м (в сторону завышения). Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения равно 0,8м. Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения от истинного не превзойдет по абсолютной величине 1,6м.

2.Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(0,1). Что больше: вероятность /Х/>0.7 или /Х/<0.3?

3.Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(1,1). Что больше: вероятность попадания Х в интервал (-1,0) или в интервал (0,0.5)?

Вариант N12.

1. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой ОХ. Средняя дальность полета снаряда равна m. Предполагая, что дальность полета X распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ =80м, найти, какой % выпускаемых снарядов дает перелет от 120 до 160 м?

120

2.Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным 25. Вероятность попадания X в промежуток [10,15] равна 0,2.Чему равна вероятность попадания в промежуток [35,40] ?

3.Среднее квадратичное отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см. Найти, в каких границах следует ожидать значение случайной величины, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна 0,95, если математическое ожидание равно 20 см.

Вариант N13.

1. Химический завод изготовляет серную кислоту номинальной плотности 1.84 г/см.кв. Практически 99.9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1.82; 1.86). Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не отклонялась от номинала более, чем на 0.0l г/см.кв. Предполагается, что плотность кислоты имеет нормальное распределение.

2. Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки X измерения подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ[Х] = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

3. Случайная величина имеет нормальное распределение N(M,S) с математическим ожиданием М и среднеквадратичным отклонением S. Заменить приближенно законом постоянной плотности на интервале (А,В), подобрав А и В так, чтобы основные характеристики (математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение) не изменились.

Вариант N14.

1.Случайная величина X распределена по нормальному закону со средним квадратичным отклонением S=0, 8. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0, 3.

3.Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением 1,6 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Сколько процентов стандартной продукции изготовляет автомат?

Вариант N15.

1.Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются

121

закону нормального распределения с параметрами: М[Х] = 0, σ[X] = 5 мк?

2.Изделие считается высшего качества, еcли отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 4,45мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратичным отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего качества, если изготавливаются четыре изделия.

3.Стрельба ведется из точки 0 вдоль прямой 0Х. Средняя дальность полета снаряда равна 100 м. Предполагая, что дальность полета X распределена по

нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ =80 м, найти, какой % выпускаемых снарядов дает перелет от 150 и до 160 м?

Вариант N16.

1.Производится стрельба по наземной пели снарядами, снабженными радиовзрывателями. Номинальная высота, на котирую рассчитан взрыватель, равна А, но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со среднеквадратичным отклонением А/2. Если взрыватель не срабатывает над землёй то взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятность того, что при стрельбе одним снарядом а)точка разрыва снаряда окажется на высоте, превышающей 1,2*А; б)что разрыв произойдет на высоте ниже номинала.

2.Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков D - 6мм. Вследствие неточности изготовления, диаметр распределен по нормальному закону со средним значением D и средним квадратичным отклонением S=0.05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0.1 мм. Определить, какой % шариков в среднем будет отбраковываться.

Вариант N17.

1.Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 10, и средним квадратичным отклонением σ[X]=5. Найти промежуток, в который с вероятностью 0,9973 попадет X в результате испытания.

2.Станок-автомат штампует болты с номинальным значением контролируемого размера D, но вследствие неточности изготовления размер - случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием D и среднеквадратичным отклонением S. Болт бракуется, если отклонение его размера от номинала превышает величину А=1.5* S. На сколько уменьшится % брака, если S уменьшится в 2 раза, а А

122

не изменится?

3. Случайная величина - ошибка показаний вольтметра имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и средним квадратичным отклонением 20мВ. Произведено 3 измерения. Какова вероятность того, что хотя бы 1 раз ошибка превысила 10мВ?

Вариант N18.

1.По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 9л. но фактически расход топлива - нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 9л, Какое среднеквадратичное отклонение имеет данная величина, если известно, что в среднем для 1% двигателей данной модели расход топлива превышает 9.5 л.?

Вариант N19.

0.95?

3.Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением 8=10мм. Найти вероятность того, что при двух измерениях ошибка не превзойдет 15 мм.

Вариант N20.

1. Автомат штампует детали с номинальным диаметром 50 мм., но, фактически, диаметр - случайная нормально распределенная величина, значения которой находятся в диапазоне от 40 до 60 мм. Найти вероятность того, что диаметр случайно отобранной детали будет меньше 42 мм; больше

55 мм.

123

Вариант N21.

Вариант N22.

2.Производится измерение диаметра вала без систематических ошибок. Случайные ошибки X измерения подчинены нормальному закону со

средним квадратичным отклонением σ[Х] = 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(1,1). Что больше: вероятность попадания Х в интервал (-1,0) или в интервал (0,0.5)?

Вариант N23.

1.Производится стрельба по наземной пели снарядами, снабженными радиовзрывателями. Номинальная высота, на котирую рассчитан взрыватель, равна А, но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со среднеквадратичным отклонением А/2. Если взрыватель не срабатывает над землёй то взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятность того, что при стрельбе одним снарядом точка разрыва снаряда окажется р.,высоте, превышающей 1,2*А; что разрыв произойдет на высоте ниже номинала.

3.Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их средняя масса

124

равна 1.06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу, меньшую 1 кг. Каков % коробок, масса которых превышает 940 г., если вес коробок - случайная величина, распределенная по нормальному закону?

Вариант N24.

1.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=0. Вероятность попадания Х в интервал (0,2) равна 0.9. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0,1)?

2.Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются закону нормального распределения с параметрами:М[Х] = 0, σ[X] = 5 мк?

Вариант N25.

1.Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(0,1). Что больше: вероятность попадания Х в интервал (-0.5,-0.1) или в интервал (1,2)?

2.В нормально распределенной совокупности 25% значений Х меньше 0 и 40% значений Х больше 2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Вариант N26.

Вариант N27.

1. По паспортным данным автомобильного двигателя расход топлива на 100 км пробега составляет 9л. но фактически расход топлива -нормально

125

распределенная случайная величина с математическим ожиданием 9л, Какое среднеквадратичное отклонение имеет данная величина, если известно, что в среднем для 1% двигателей данной модели расход топлива превышает 9.5 л.?

2.Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков D-бмм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр - случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением D и средним квадратичным отклонением S=0.05 мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на 0.1 мм. Определить, какой % шариков в среднем будет отбраковываться.

3.Случайная величина имеет нормальное распределение N(M,S) с математическим ожиданием М и среднеквадратичным отклонением S. Заменить приближенно законом постоянной плотности на интервале (А,В), подобрав А и В так, чтобы основные характеристики (математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение) не изменились.

Вариант N28.

0.95 ?

Вариант N29.

1.Изделие считается высшего качества, еcли отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 4,45мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратичным отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего качества, если изготавливаются три изделия.

2.В нормально распределенной совокупности 25% значений Х меньше 0 и

126

40% значений Х больше 2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=10. Вероятность попадания Х в интервал (0,20) равна 0.9973. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0,5)?

Вариант N30.

1.Коробки с мармеладом упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 900г. Известно, что 1% коробок имеют массу, большую 1кг. Каков % коробок, масса которых не превышает 850 г., если вес коробок - случайная величина, распределенная по нормальному закону?

3.Станок-автомат штампует болты с номинальным значением контролируемого размера D, но вследствие неточности изготовления размер - случайная величина, имеющая нормальное распределение с математическим ожиданием D и среднеквадратичным отклонением S. Болт бракуется, если отклонение его размера от номинала превышает величину А=1.5*S. На сколько уменьшится % брака, если S уменьшится в 2 раза, а А не изменится?

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018182.27 Кб3методичка Оцінка ефективності керування.doc
#
03.03.2016251.39 Кб5Методичка по бакалаврским ТКС регистр.doc
#
03.03.2016392.7 Кб18Методичка по Горным машинам - Гуляев В.Г. - синяя.doc
#
03.03.2016383.49 Кб25Методичка по Енерготехнології ( укр.).doc
#
01.05.202587.64 Кб0Методичка по оформлению ВКР и КР.docx
#
03.03.20162.55 Mб143Методичка по ТВ.pdf
#
03.03.2016825.04 Кб19Методичка ПРДР.pdf
#
03.03.2016515.58 Кб65методичка теплотехника 2.doc
#
03.03.201629.79 Mб15Методичка(new).doc
#
03.03.2016852.27 Кб8Методичка_1.pdf
#
03.03.20162.07 Mб80Методичка_Excel.doc