Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методичка по ТВ.pdf

Скачиваний:

143

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

2.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Вариант N 19

1.Пусть A1, A2, A3 - некоторые события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из этих событий: a)ни одно событие не произошло; б) произошло только событие A3; в) произошло только одно событие; г) произошло не менее двух событий.

2.Три детали проверяются на качество. Событие A1 - все три детали качественные, А2 – хотя бы одна из деталей бракованная. В чем состоят события A1+A2, А1А2?

3.Производится наблюдение за четырьмя однородными объектами. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен. Рассматриваются события: А - обнаружен хотя бы один объект; В - обнаружено не менее двух объектов; С - обнаружено ровно три объекта; D - обнаружены все четыре объекта. Совпадают ли события AD и BD? Указать, в чем состоят события: A+B, AB, AD.

Вариант N 20

1.Пусть А, В, С и D - четыре произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из данных четырех событий: а) произошло только А; б) произошло только одно событие; в) произошли два и только два события.

2.По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Аi - попадание при i-м выстреле (i=1,2,3). Выразить через Аi события: А – все три промаха; В – хотя бы одно попадание; С – не более одного попадания.

3.Пусть A1, A2, А3 - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А1, А2, А3: а) произошли только А2 и А3; б) произошло одно и только одно событие; в) произошло по крайней мере одно из событий.

Вариант N 21

1.Два шахматиста играют одну партию. Опишите структуру пространства элементарных исходов (событий) этого опыта. Каким событием является сумма названных Вами событий?

2.Рабочий изготовил 3 детали. Пусть событие Ai (i=1,2,3) заключается в том, что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) хотя бы одна деталь имеет дефект; б) только одна деталь имеет дефект; в) все детали дефектные.

3.Участковый врач обслуживает на дому троих больных. Событие А - в течение суток врач потребуется первому больному, B - второму, С – третьему. Написать выражение через А, В, и С событий, состоящих в том, что: а) все больные вызовут врача; б) только один больной вызовет врача; в) хотя бы один не вызовет врача.

Вариант N 22

1.Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Ai (i=1,2,3,4,5) заключается в том, что i-я изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающееся в том, что: а) ни одна из деталей не имеет дефектов; б) не более одной детали имеет дефект.

2.По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события: Ai - попадание при i-ом выстреле (i=1,2,3). Выразить через Ai следующие события: А - все три попадания; В -хотя бы один промах; С - не меньше двух попаданий.

3.Судно имеет рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А означает

исправность рулевого устройства, Вk (k=1,2,3,4) исправность k-го котла, Сj (j=1,2) - исправность j-й турбины. Событие D означает - судно управляемое, что будет в том случае, когда исправлено рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить событие D через А, Вk и Cj.

Вариант N 23

1.Пусть А , В , С-три произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А , В , С : а) произошло только событие А; б) ни одно событие не произошло; в) произошло не более двух событий.

2.Пусть А1, А2, А3 - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А1, А2, А3: а) произошло только событие А2; б) произошли все три события; в) произошло по крайней мере одно событие.

3.Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только событие С; б) произошли только А и В; в) произошли по крайней мере два события.

Вариант N 24

1.Производится наблюдение за группой, состоящей из четырех однородных объектов. Каждый из них за время наблюдения может быть обнаружен или не обнаружен» Рассматриваются события: А - обнаружен только один из четырех объектов; B - обнаружен хотя бы один объект; С - обнаружено не менее двух объектов; D - обнаружено ровно два объекта; Е - обнаружено ровно три объекта; F - обнаружены все 4 объекта. Указать, в чем состоят события А+В, АВ, D+Е+F. Совпадают ли собтия ВС и D?

2.В соревнованиях участвуют три спортсмена одного спортивного общества, каждый из которых может выиграть или проиграть в поединках со спортсменами конкурентных обществ. Рассматриваются события: А – победит хотя бы один из 3-х спортсменов; В – победителями будут не менее двух спортсменов; С – все спортсмены выиграют; D – хотя бы один проиграет. Совпадают ли события AD и BD? Указать, в чем состоят события: A+B, AB,

AD.

3.Пусть А, В, С и D - четыре произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из данных 4-х событий: а) произошли все, кроме

D; б) произошло одно и только одно событие; в) произошло не более трех событий.

Вариант N 25

1.Пусть A1, A2, A3 - некоторые события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из этих событий: a)ни одно событие не произошло; б)

произошло только событие A3; в) произошло только одно событие; г) произошло не менее двух событий.

2.Токарь изготовил три детали. Пусть событие Ai (i=1,2,3) заключается в том, что i-я деталь, изготовленная им, бракованная. Записать событие, заключающееся в том, что: а) по крайней мере две детали качественные; б) точно две детали качественные; в) две детали бракованные.

3.Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А -выбранное число делится на 5; событие В - данное число оканчивается нулем. Что означают А+В , АВ. Справедливы ли для этих событий соотношения А+В=В и А+В=А?

Вариант N 26

1.Пусть A1, A2, A3 - некоторые события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из сэтих событий: a)ни одно событие не произошло; б)

произошло только событие A3; в) произошло только одно событие; г) произошло не менее двух событий.

2.Токарь изготовил три детали. Пусть событие Ai (i =1,2,3) заключается в том, что 4-я деталь, изготовленная им, бракованная. Записать событие, заключающееся в том, что: а) по крайней мере две детали качественные; б) точно две детали качественные; в) две детали бракованные.

3.Судно имеет рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А - означает

исправность рулевого устройства, Вk (k=1,2,3,4) - исправность k-го котла, Сj (j=1,2) - исправность j-й турбины. Событие D означает - судно управляемое, что будет в том случае, когда исправлено рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить событие D через А, Вk и Cj.

Вариант N 27

1.Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только событие С ; б) произошли только А и В; в) произошли по крайней мере два события.

2.Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А

означает исправность рулевого устройства, Bk (k=1,2,3,4) - исправность k-го котла, a Cj (j=1,2) - исправность j-й турбины. Событие D – судно управляемое, что будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить событие D через А, B и С.

3.В соревнованиях участвуют три спортсмена одного спортивного общества,

каждый из которых может выиграть или проиграть в поединках со спортсменами конкурентных обществ. Рассматриваются события: А – победит хотя бы один из 3-х спортсменов; В – победителями будут не менее двух спортсменов; С – все спортсмены выиграют; D – хотя бы один проиграет. Совпадают ли события AD и BD? Указать, в чем состоят события: A+B, AB,

Вариант N 28

3.Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только событие С ; б) произошли только А и В; в) произошли по крайней мере два события.

Вариант N 29

3.Бросаются две игральные кости. Пусть A - событие, состоящее в том, что сумма очков нечетная; В - событие, заключающееся в том, что хотя бы на одной из костей выпала единица. Описать событие AB, A+B, А-B.

Вариант N 30

1. Машинно-котельная установка состоит из двух котлов и одной машины. Событие А - исправна машина, событие Вk (k=1,2) - исправен k-й котел, событие С - работоспособность машинно-котельной установки, что будет в том случае, если исправны машина и хотя бы один котел. Выразить событие С

через А и В1, В2.

2. Пусть А , В , С - три произвольные события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А , В , С : а) произошло только событие А; б) ни одно событие не произошло; в) произошло не более двух событий.

3. Судно имеет одно рулевое устройство, 4 котла и 2 турбины. Событие А означает исправность рулевого устройства, Bk (k=1,2,3,4) - исправность k-го котла, a Cj (j=1,2) - исправность j-й турбины. Событие D – судно управляемое, что будет в том случае, когда исправны рулевое устройство, хотя бы один котел и хотя бы одна турбина. Выразить событие D через А, B и С.

ТЕМА 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

Вариант N 1

1. В урне а белых и b черных шаров (a ≥ 2,b ≥ 3). Из урны вынимают сразу 5 шаров. Найти вероятность того, что 2 из них будут белыми, а 3 черными.

2.В партии, состоящей из k изделий, имеется l дефектных. Найти вероятность того, что из них ровно s изделий будут дефектными.

3.Игральная кость бросается 1 раз. Найти вероятность следующих событий: А - появление четного числа очков; В - появление не менее 5 очков; С - появление не более 5 очков.

4.Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

5.Бросаются одновременно 2 игральные кости. Найти вероятность следующих событий: А - сумма выпавших очков равна 8; В - произведение выпавших очков равно 8; С - сумма выпавших очков больше, чем их произведение.

Вариант N 2.

1.Бросаются 2 монеты. Какое из событий является более вероятным: А - монеты лягут одинаковыми сторонами; В - монеты лягут разными сторонами?

2.В урне а белых и b черных шаров (a ≥ 2, b ≥ 2). Из урны вынимают

одновременно 2 шара. Какое событие более вероятно: А - шары одного цвета; В

- шары разных цветов?

3.Tрое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и 2 карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 не бубновой. Он сбросил 2 карты из этих 4-х и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что он прикупит 2 бубновые карты.

4.Из урны, содержащей n перенумерованных шаров, наугад вынимают один за Другим все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров будут идти по порядку: 1,2,…,n.

5.Та же урна, что и в предыдущей задаче, но каждый шар возвращается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается. Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1,2,…,n.

Вариант N 3.

1.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность следующего события: в каждой из пачек окажется по 2 туза.

2.В условии предыдущей задачи найти вероятность следующего события: в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой - все четыре.

3.На пяти карточках написаны цифры: 1,2,3,4,5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Первая карточка после вынимания кладется обратно и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

4.В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятность следующего события: все команды экстракласса попадут в одну и ту же группу.

5.В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников имеется 5 команд экстракласса. Найти вероятность следующего события: две команды экстракласса попадут в одну из групп, а три - в другую.

Вариант N 4.

1.На девяти карточках написаны цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число: например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т.п. Найти вероятность того, что число будет четным.

2.На пяти карточках написаны цифры: 1,2,3,4,5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой.

3.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятность следующего события: в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.

4.В урне а белых, b черных и с красных шаров. Из нее вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый цвет появится раньше черного.

5.Имеются 2 урны: в первой а белых и b черных шаров; во второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимают по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Вариант N 5.

1.Имеются 2 урны: в первой а белых и b черных шаров; во второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимают по шару. Найти вероятность того, что вынутые шары будут разных цветов.

2.В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны, а 2 оставлены

пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно их гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, то выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что повторив такой же опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим.

3.В тех же условиях (см. предыдущую задачу) найти вероятность того, что оба раза выстрел произойдет.

4.В урне имеется k шаров, помеченных номерами l,2,…,k. Из урны l раз вынимается по одному шару (l меньше или равно k), номер шара записывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность того, что все записанные номера будут различны.

5.Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "книга". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в производном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово "книга".

Вариант N 6.

1.Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти?

2.Из шести букв разрезной азбуки составлено слово "ананас". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в производном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово "ананас".

3.N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом ( N > 2 ). Найти вероятность того, что 2 фиксированных лица А и В окажутся рядом.

4.N человек случайным образом рассаживаются за прямоугольным столом (N>2) вдоль одной из его сторон. Найти вероятность р того, что 2 фиксированных лица А и В окажутся рядом.

5.На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются 2. Найти вероятность события: на обоих бочонках написаны числа, больше k (2<k<N).

Вариант N 7.

1.На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются 2. Найти вероятность следующего события: на одном из бочонков написано число, больше k, а на другом - меньше k.

2.Батарея из М орудий ведет огонь по группе, состоящей из N целей (М<N). Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с нумерацией 1,2,…,М.

3.Батарея, состоящая из k орудий, ведет огонь по группе, состоящей из l самолетов ( k ≤ l ). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все k орудий будут стрелять по одной и

той же цели.

4.Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадает в ту или иную лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других (препятствий к попаданию в лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой - один, а в двух остальных лунках шариков не будет.

5.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

Вариант N 8.

1.Имеются М шариков, которые случайным образом разбрасываются по N

лункам. Найти вероятность того, что в первую лунку попадет ровно k1 шариков, во вторую " k2 шариков и т.д., в N-ю - kN шариков, kl+k2+.....+kN=M

2.В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что в одной из лунок

(все равно в какой) будет k1 шариков, в другой - k2 и т.д., в N-й - kN шариков (числа k1, k2,...., kN предполагаются различными).

3.В лифт 9-этажного дома на 1-м этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А -все пассажиры выйдут на девятом этаже; В - все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже).

4.В лифт 9-этажного дома на 1-м этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой . вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятность события: все пасcажиры выйдут на разных этажах.

5.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

Вариант N 9.

1.Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что случайно названное двузначное число окажется равным заданному.

2.В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

3.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

4.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна восьми, а разность - четырем.

5.Батарея, состоящая из k орудий, ведет огонь по группе, состоящей из l самолетов (k ≤ l ). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, что все k орудий будут стрелять по разным целям.

Вариант N 10.

1.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение - четырем.

2.Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

3.В коробке содержится 6 одинаковых занумерованных кубиков. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

4.Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадет различное число очков (не равное шести).

5.В пачке содержится 20 перфокарт, помеченных номерами 101,102,..., 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

Вариант N 11.

1.В ящике содержится 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1,2,…,10. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажутся: а) деталь №1, б) детали №1 и №2.

2.В коробке имеется 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных двух изделий окажется хотя бы одно окрашенное изделие.

3.В конверте среди 100 фотокарточек находится разыскиваемая фотокарточка. Из конверта наудачу извлечены 10 фотокарточек. Найти вероятность того, что среди них окажется разыскиваемая карточка.

4.В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4

детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных: а) нет бракованных, б) нет годных.

5. Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включается случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Вариант N 12.

1.Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2.В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно k стандартных.

3.В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

4.На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским

заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пяти кинескопов окажутся 3 кинескопа Львовского завода.

5. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников.

Вариант N 13.

1.В коробке имеется 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашены. Наудачу извлечены 2 изделия. Найти вероятность того, что среди извлеченных двух изделий окажутся: а) одно окрашенное изделие; б) два окрашенных изделия.

2."Секретный" замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделен на 5 секторов с различными написанными на них цифрами. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры дисков образуют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открыть.

3.Отдел технического контроля обнаружил 5 бракованных книг из 50 просмотренных в партии из 100 книг. Найти вероятность обнаружить оставшиеся бракованные при просмотре еще 10 книг, если всего в партии 7 бракованных.

4.Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что случайно названное двузначное число, цифры которого различны, окажется равным заданному числу.

5.В партии из 10 приборов 1 негодный. Взяли 2 прибора. Найти вероятность того, что неисправный не попался.

Вариант N 14.

1.Сколькими способами могут быть поставлены на шахматной доске две ладьи различного цвета так, чтобы каждая могла взять другую?

2.Буквы азбуки Морзе образуются как последовательности точек и тире. Сколько букв можно составить не более чем из 10 символов?

3.Кости для игры в домино метятся двумя числами. Кости симметричны, и поэтому порядок чисел не существен. Сколько различных костей можно образовать, используя числа 1,2,…,n?

4.Числа 1,2,…,n расставлены случайным образом. Найти вероятность следующих событий: А – числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания; B – числа 1, 2 и 3расположены рядом и притом в порядке возрастания.

5.Найти вероятность того, что среди трех выбранных наугад цифр встретятся 2, 1, 0 повторений. Решить ту же задачу для четырех выбранных наугад цифр.

Вариант N 15.

1.Группа из 12 мужчин и 12 женщин делится случайно на две равные части. Найти вероятность того, что а) в каждой части мужчин и женщин поровну; б) в

одной группе мужчин в два раза больше, чем женщин.

2.Найти вероятность того, что в k выбранных наугад цифр а) не входит 0; б) не входит 1; в) не входит ни 0, ни 1; г) не входит или 0, или 19; д) пусть через А и В обозначены события, описанные в а) и б). Выразить через А и В остальные события.

3.Найти вероятность того, что при случайном размещении n шаров по n ящикам ровно один ящик останется пустым.

4.Двенадцать мест для стоянки автомобилей расположены в один ряд. Некто заметил, что на стоянке имеется восемь автомобилей, причем четыре пустых места следуют одно за другим (образуют серию). Следует ли считать такое расположение неожиданным (указывающим на отсутствие случайности).

5.У человека имеется n ключей, из которых только один подходит к его двери. Он последовательно испытывает их (выбор без возвращения). Этот процесс может кончиться при 1,2,…,n испытании. Доказать, что каждый из этих исходов имеет вероятность n−1 .

Вариант N 16.

1.Каждая из n палок разламывается на две части - длинную и короткую. Затем 2n полученных обломков объединяются в n пар, каждая из которых образует новую «палку». Найти вероятность а) того, что все обломки объединены в первоначальном порядке; б) того, что все длинные палки соединены с короткими.

2.Проверка статистической гипотезы. Один профессор Корнельского университета двенадцать раз штрафовался за незаконную ночную стоянку машины, причем все двенадцать раз это происходило или во вторники или в четверги. Найти вероятность этого события. (Была бы оправдана аренда гаража только во вторники и в четверги?)

3.Сколькими способами могут быть поставлены на шахматной доске две ладьи различного цвета так, чтобы каждая могла взять другую?

4.Ящик содержит 90 годных и 10 бракованных деталей. Найти вероятность того, что среди 10 вынутых из ящика деталей нет бракованных.

5.Из совокупности пяти символов а, b, с, d, e производится выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того, что в этой выборке будет содержаться по пяти символов каждого вида (ср. результаты с таблицей случайных чисел, отождествив цифры 0,1 с а, цифры 2,3 с b и т. д.).

Вариант N 17.

1. n человек, в том числе А и В, располагаются в ряд в случайном порядке. Найти вероятность того, что между А и В будет стоять ровно r человек. Показать, что если n человек располагаются не в ряд, а в круг, то эта вероятность не зависит от r и, следовательно, равна (n −1)−1 .

2.Найти вероятность того, что два бросания трех игральных костей дадут один и тот же результат, если кости а) отличимы друг от друга; б) не отличимы.

3.Показать, что более вероятно при одновременном бросании четырех костей получить хотя бы одну единицу, чем при 24 бросаниях двух костей получить хотя бы один раз две единицы. (Ответ известен как парадокс де Мере. Игрок Шевалье де Мере считал эти вероятности равными и обвинял математиков в своих проигрышах.)

4.Производится выборка объема r из генеральной совокупности, состоящей из n элементов. Найти вероятность того, что ни один из данных N элементов не будет входить в выборку, если выборка производится а) без возвращения; б) с возвращением. Сравнить численные результаты для разных способов выбора,

если а) n=100, N=r=3; б) n=100, N=r=10.

5.Распространение слухов. В городе с населением в (n+1) человек некто узнает новость. Он передает ее первому встречному, тот еще одному и т. д. На каждом шагу впервые узнавший новость может сообщить ее любому из n человек с одинаковыми вероятностями. Найти вероятность того, что в продолжение t единиц времени а) новость не возвратится к человеку, который узнал ее первым, б) новость не будет никем повторена. Решить ту же задачу в предположении, что на каждом шагу новость сообщается группе из N случайно выбранных людей. (Первая часть задачи является частным случаем этой более общей постановки при N=1.)

Вариант N 18.

1.Цепь писем. Рассматривается генеральная совокупность, состоящая из (n+1) человек. Человек, которого условимся называть «прародителем», пишет два письма случайно выбранным адресатам, которые образуют «первое поколение». Те в свою очередь делают то же самое, в результате чего образуется «второе поколение». Вообще каждый из людей, входящих в «r-е поколение», посылает два письма случайно выбранным адресатам. Найти вероятность того, что «прародитель» не входит ни в одно из «поколений» с номерами 1,2,...,r. Найти медиану распределения, предполагая n достаточно большим.

2.Семейная задача. В некотором-семействе четыре сестры по очереди моют посуду. Из четырех разбитых тарелок три разбито младшей, и поэтому ее называют неуклюжей. Какова вероятность этого события

3.Чему равна вероятность того, что а) все дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года (при условии, что вероятности попадания дня рождения на каждый из месяцев остаются равными для всех месяцев, б) дни рождения 6 человек придутся в точности на два месяца.

4.Найти вероятность того, что для данных 30 человек среди 12 месяцев года 6 месяцев содержат по два и 6 месяцев по три дня рождения.

5. В чулане находится n пар ботинок. Из них случайно выбирается 2r ботинок (2r<n). Найти вероятность того, что а) среди выбранных ботинок отсутствуют парные; б) имеется одна комплектная пара; в) имеется две комплектные пары.

Вариант N 19.

1.На автомобильной стоянке вновь прибывшая машина занимает место в ряду, состоящем из N автомобилей (не в том и не в другом конце этого ряда). Когда хозяин машины возвратился, он заметил, что r из N мест еще заняты. Какова вероятность того, что оба соседних места пусты?

2.Группа из N1 мальчиков и N2 девочек делится на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части число мальчиков и девочек одинаково. Вычислить эту вероятность, используя формулу Стирлинга.

3.Доказать, что вероятность игроку А получить ровно k тузов при сдаче колоды карт для игры в бридж равна вероятности того, что в 13 картах, случайно выбранных из колоды, будет k тузов (интуитивно это понятно, но заметим, что нахождение этих двух вероятностей приводит к различный опытам: во втором случае выбирается 13 карт, а в первом - распределяются все 52 карты).

4.В условиях предыдущей задачи доказать, что вероятность того, что игрок А получит ровно m, а игрок В ровно n пик, равна вероятности того, что в двух наборах, по 13 карт каждый, содержится соответственно m и n пик.

5.Чему равна вероятность того, что полученные А и В карты содержат вместе ровно k пик, где k=0,1,2,3,4?

Вариант N 20.

1.Пусть а, b, с, d - четыре неотрицательных целых числа, таких, что a+b+c+d=13. Найти вероятность р(а,b,с,d) того, что при игре в бридж первый, второй, третий

ичетвертый игроки получат а, b, с и d пик соответственно. Определить схему размещения красных и черных шаров по ящикам, которая содержит сформулированную задачу в качестве частного случая.

2.Используя результат предыдущей задачи, найти численное значение - вероятности того, что один игрок получит а, второй b, третий с и четвертый d

пик, если а) а=5, b= 4, с=3, d=1; б) а=b=с= 4, d=1; в) а=b=4, с=3, d=2.

3.Пусть a, b, с, d — целые числа, такие, что a+b+c+d=13. Найти вероятность q (а,b,с,d) того, что полученные при игре в бридж карты содержат а пик, b червей, с бубен и d треф, и показать, что задача не сводится ни к одному из случайных размещений 13 шаров по 4 ящикам.

4.Распределение тузов в наборе из r карт. Найти вероятности p0 (r),p1(r),...,p4 (r) того,

что среди r карт, случайно выбранных из колоды карт для игры в бридж, встретится 0,1,...,4 туза соответственно.

5.Из полной колоды последовательно выбираются карты. Найти вероятности p0 (r),p1(r),...,p4 (r) того, что первый,...,четвертый туз появятся при r-м испытании.

Вариант N 21.

1.Найти вероятность того, что каждый из двух наборов карт содержит k тузов, если объем каждого из наборов равен r и выбор производится а) из одной колоды; б) из двух колод карт для игры в бридж. Показать, что при r=13 вероятность в задаче а) совпадает с вероятностью того, что каждый из двух заданных игроков в бридж получит k тузов.

2.На каждой странице книги напечатано N символов, возможны опечатки. Книга содержит n=500 страниц и r=50 опечаток. Показать, что вероятность того, что

1,2,...,n-я страницы содержат соответственно r1,r2 ,...,rn опечаток, равна

N	N		N	nN	;

r	r	... r		: r
1	2		3

3.Найти число различимых способов расположения r1 , неразличимых предметов одного рода и r2 неразличимых предметов другого рода по n ящикам.

4.Чему равно число различимых результатов совместного бросания r1 , игральных костей и r2 монет?

5.Сколькими различимыми способами могут, быть расположены r1 белых, r2 черных и r3 красных шаров? В задачах через n обозначается число ячеек, через

r- число объектов; предполагается, что все объекты различимы и все nr распределений имеют равные вероятности.

Вариант N 22.

1.Найти вероятность того, что при случайном расположении 52 карт для игры в бридж никакие два туза не будут расположены рядом.

2.Лифт отправляется с семью пассажирами и останавливается на 10 этажах. Различные размещения пассажиров по этажам могут быть записаны символами, подобными символу (3,2,2), который означает, что 3 пассажира направляются на один этаж, 2 - на другой и 2 - на третий. Найти вероятности всех 15 возможных размещений пассажиров по этажам, начиная от (7) и кончая

(1,1,1,1,1,1,1).

3.Дни рождения. Найти вероятности различных возможных распределений дней рождения 22 человек.

4.Найти вероятность того, что в покере получатся следующие наборы карт: а)десятка, валет, дама, король, туз одной и той же масти; б) четыре карты одинакового значения; в) одна пара и одна тройка карт с одинаковыми значениями; г) пять последовательных карт независимо от масти; д) три карты одинакового значения плюс две дополнительные карты; е) две пары карт одинакового значения плюс одна другая карта; ж) две карты одинакового значения плюс три различные карты.

5. Имеется nр красных и nq черных шаров (p+q=1). Из генеральной совокупности всех шаров производится выборка с возвращением. Показать, что вероятность

того, что в выборку входит k красных шаров, равна r pkqr−k .

Вариант N 23.

1. Из генеральной совокупности, состоящей из n элементов, выбирается группа в r элементов (без возвращения). Доказать, что вероятность ur , того, что каждый

n − N		n
из N данных элементов содержится в выборке, равна ur =		:

r − N		r

(1,1,1,1,1,1,1).

3.Найти число различимых способов расположения r1 , неразличимых предметов

одного рода и r2 неразличимых предметов другого рода по n ящикам.

4. Распределение тузов в наборе из r карт. Найти вероятности pi (r), i = 0,4 того,

что среди r карт, случайно выбранных из колоды карт для игры в бридж, встретится 0,1,...,4 туза соответственно. Проверить, что p 0 (r) = p 4 (52 − r) .

5. Чему равна вероятность того, что полученные А и В карты содержат вместе ровно k пик, где k=0,1,2,3,4?

Вариант N 24.

2.На каждой странице книги напечатано N символов, возможны опечатки. Книга содержит n=500 страниц и r=50 опечаток. Показать, что

а) вероятность того, что 1,2,...,n-я страницы содержат соответственно r1 , r2 ,..., rn

опечаток, равна	N N			N		nN	;
опечаток, равна	r	r	... r			: r	;

	1	2			3

б) при больших N эта вероятность приблизительно совпадает с вероятностью (5.5). Заключить отсюда, что распределение r опечаток по n страницам приблизительно соответствует случайному размещению r шаров по n ящикам.

3. Пусть a, b, с, d — целые числа, такие, что a+b+c+d=13. Найти вероятность q(а,b,с,d) того, что полученные при игре в бридж карты содержат а пик, b червей, с бубен и d треф, и показать, что задача не сводится ни к одному из случайных размещений 13 шаров по 4 ящикам.

5.В чулане находится n пар ботинок. Из них случайно выбирается 2r ботинок (2r<n). Найти вероятность того, что а) среди выбранных ботинок отсутствуют парные; б) имеется одна комплектная пара; в) имеется две комплектные пары.

Вариант N 25.

1. В урне а белых и b черных шаров (a ≥ 2, b ≥ 3). Из урны вынимают сразу 5 шаров. Найти вероятность того, что 2 из них будут белыми, а 3 черными.

2. В урне а белых и b черных шаров (a ≥ 2, b ≥ 2). Из урны вынимают одновременно 2 шара. Какое событие более вероятно: А - шары одного цвета; В

- шары разных цветов?

3.Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятносследующего события: в одной из пачек будет один туз, а в другой - три.

5.Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово "центр". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в производном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово "центр".

Вариант N 26.

1.Бросаются 2 монеты. Какое из событий является более вероятным:А - монеты лягут одинаковыми сторонами; В - монеты лягут разными сторонами?

4.В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных: а) нет бракованных, б) нет годных.

5.В пачке содержится 20 перфокарт, помеченных номерами 101,102,..., 120 и произвольно расположенных. Перфораторщица наудачу извлекает две карты. Найти вероятность того, что будут извлечены перфокарты с номерами 101 и 120.

Вариант N 27.

2.В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что в одной из лунок (все равно в какой) будет k1шариков, в другой - k2 и т.д., в N-й - kN шариков

3.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

5.Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При включении устройства включается случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

Вариант N 28.

1.Задумано двузначное число, цифры которого различны. Найти вероятность того, что случайно названное двузначное число окажется равным заданному числу.

2.Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

4.На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых пяти кинескопов окажутся 3 кинескопа Львовского завода.

5.Найти вероятность того, что среди трех выбранных наугад цифр встретятся 2, 1, 0 повторений. Решить эту же задачу для четырех выбранных наугад цифр.

Вариант N 29.

4.Двенадцать мест для стоянки автомобилей расположены в один ряд. Некто заметил, что на стоянке имеется восемь автомобилей, причем четыре пустых

места следуют одно за другим (образуют серию). Следует ли считать такое расположение неожиданным (указывающим на отсутствие случайности).

5. Из совокупности пяти символов а,b,с,d,e производится выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того, что в этой выборке будет содержаться по пяти символов каждого вида (ср. результаты с таблицей случайных чисел, отождествив цифры 0,1 с а, цифры 2,3 с b и т. д.).

Вариант N 30.

1.Рассматривается генеральная совокупность, состоящая из (n+1) человек. Человек, которого условимся называть «прародителем», пишет два письма случайно выбранным адресатам, которые образуют «первое поколение». Те в свою очередь делают то же самое, в результате чего образуется «второе поколение». Вообще каждый из людей, входящих в «r-е поколение», посылает два письма случайно выбранным адресатам. Найти вероятность того, что «прародитель» не входит ни в одно из «поколений» с номерами 1,2,...,r. Найти медиану распределения, предполагая n достаточно большим.

(1,1,1,1,1,1,1).

3.Найти вероятность того, что при случайном размещении n шаров по n ящикам ровно один ящик останется пустым.

4.Чему равно число различимых результатов совместного бросания r1 игральных

костей и r2 монет?

5. В городе с населением в (n+1) человек некто узнает новость. Он передает ее первому встречному, тот еще одному и т. д. На каждом шагу впервые узнавший новость может сообщить ее любому из n человек с одинаковыми вероятностями. Найти вероятность того, что в продолжение t единиц времени а) новость не возвратится к человеку, который узнал ее первым, б) новость не будет никем повторена.

Решить ту же задачу в предположении, что на каждом шагу новость сообщается группе из N случайно выбранных людей. (Первая часть задачи является частным случаем этой более общей постановки при N=1.)

ТЕМА 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Вариант N 1

1.На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА будет иметь длину, большую, чем 1/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

2.В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса г. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в маленький круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

3.Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга

на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a2 . Найти

вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

4. На плоскость, с нанесенной сеткой квадратов со стороной а, наудачу брошена монета радиусом r < a2 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни

одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

5. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Вариант N 2

1.На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное начерченными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

2.Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

3.Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен

выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

4.На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси

5.Два корабля должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого от 12 до 14 часов. Разгрузка длится 30 мин. Найти Р того, что один из кораблей застанет причал занятым.

Вариант N 3.

1. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у), причем у>х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется

меньше, чем L2 . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок

пропорциональна длине и не зависит от его расположения на числовой оси.

2. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L2 .

Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

3.Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

4.Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше 1,

а частное yx не больше 2.

5.Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение xу не меньше 0.09.

Вариант N 4

1.Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса R, расстояние между осями а и b. Определить вероятность попадания шарика диаметром d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета перпендикулярна плоскости решетки.

2.Два корабля должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого от 12 до 14 часов. Разгрузка длится 30 мин. Найти Р того, что один из кораблей

застанет причал занятым.

3.После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел разрыв провода. Какова Р того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии ?

4.Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 14 и 15 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 10 мин., после чего уходит. Чему равна Р встречи этих лиц, если приход каждого из них в течении указанного часа может произойти в любое время ?

5. Шар X2	+ Y 2	+ Z 2	= 9 помещен внутри эллипсоида	X2	+	Y2	+	Z2	= 1	. Найти
				25		16		9

Р того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

Вариант N 5.

1.Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется по перпендикуляру к нити. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса R, толщины l и шага Н ?

2.На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы ширины L, бросается наугад игла длины l (l<L). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь линию.

3.Стержень длины l сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти Р того, что из получившихся 3-х частей можно составить треугольник.

4.В квадрат с вершинами (0;0)(0;1)(1;0)(1;1) наудачу брошена точка М. Пусть

(c;d) - ее координаты. Найти Р того, что корни уравнения x2 + cx + d = 0 - действительные.

5. Какой должна быть монета, чтобы Р падения на ребро была бы 1/3?

Вариант N 6.

1.Слой воздуха толщины Н содержит пылинки радиуса r в количестве n штук в одной кубической единице. Найти Р того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечет ни одной пылинки.

2.На плоской горизонтально расположенной фольге находится точечный источник радиоактивного излучения, посылающий лучи равномерно по всем направлениям пространства. Если параллельно фольге на расстоянии r=1 поставить экран, то на нем можно наблюдать точечные вспышки, вызываемые радиоактивным излучением. Найти вероятность того, что очередная вспышка произойдет в части экрана, расположенной внутри круга радиуса R с центром, находящимся над источником радиоактивного излучения.

3.Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60 градусом северной и 60 градусом южной широты. Считая падение спутника в любую

точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30 градусов северной широты.

4.В сигнализатор поступают сигналы от 2 устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t<T). Найти вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

5.На окружности единичного радиуса с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Вероятность выбора точки на любой дуге окружности зависит только от длины этой дуги и пропорциональна ей. Найти вероятность того, что проекция точки на диаметр (ось абсцисс) находится от центра на расстоянии, не превышающем r (r<1).

Вариант N 7

1.К автобусной остановке через каждые 4 минуты подходит автобус линии А и через каждые 6 минут - автобус линии В. Определить вероятность того, что первый подошедший автобус окажется автобусом линии А.

2.Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.

3.Какова вероятность того, что случайно выбранная на глобусе точка лежит за полярным кругом (66 градусов 33 минуты северной широты)?

4.Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна а, а расстояние между их осями равно L (L>a).

5.На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0.5 минуты - красный, затем снова 1 минуту - зеленый и 0.5 минуты - красный,... . Какова вероятность для случайно подъехавшего автомобиля проехать перекресток без остановки?

Вариант N 8

1.Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена в угловом секторе А радиан, если появление цели по любому направлению равновозможно?)

2.Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрезков , длина каждого из которых не превосходит L, будет больше L?

3.На шарик нанесена сетка географических координат. Шарик брошен на плоскость. Какова вероятность того, что шарик прикоснется к плоскости точкой, которая находится в области между 0 и 90-м градусами восточной долготы?

4. Какова вероятность того, что шарик прикоснется к плоскости точкой, которая находится в области между 45 и 90-м градусами северной широты? (см. условие предыдущей задачи).

5. В случайный момент времени x [0; T] появляется радиосигнал длительностью Т1. В случайный момент времени y [0; T] включается приемник на время

Т2<Т1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если время настройки приемника равно Т3 (Т3<Т2<Т1).

Вариант N 9.

1.На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков OВ и ВА будет иметь длину, большую, чем 1/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

2.Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг:

а) квадрата;

б) правильного треугольника.

Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

3. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

4. . Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 14 и 16 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 10 мин., после чего уходит. Чему равна Р встречи этих лиц, если приход каждого из них в течении указанного часа может произойти в любое время ?

5. Какой должна быть монета, чтобы Р падения на ребро была бы 1/3?

Вариант N 10.

1.В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса г. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в маленький круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

2.Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

3. Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение xу не меньше 0.09.

4.	Шар X2 + Y 2 + Z 2 = 9	помещен внутри эллипсоида	X2	+	Y2	+	Z2	= 1	. Найти
			25		16		9

Р того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

Т2<Т1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если время настройки приемника равно Т3 (Т3<Т2<Т1).

Вариант 11.

1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a2 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

2.На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС будет меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

3.Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение xу не меньше 0.09.

4.Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса R, расстояние между осями а и b. Определить вероятность попадания шарика диаметром d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета перпендикулярна плоскости решетки.

5.На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы ширины L, бросается наугад игла длины l (l<L). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь линию.

Вариант N 12.

1. На плоскость, с нанесенной сеткой квадратов со стороной а, наудачу брошена монета радиусом r < a2 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни

2. Два корабля должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого от 12 до 14 часов. Разгрузка длится 30 мин. Найти Р того, что один из кораблей

застанет причал занятым.

3. На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у), причем у>х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется

меньше, чем L2 . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине и не зависит от его расположения на числовой оси.

4.Два корабля должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого от 12 до 14 часов. Разгрузка длится 30 мин. Найти Р того, что один из кораблей застанет причал занятым.

5.Стержень длины l сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти Р того, что из получившихся 3-х частей можно составить треугольник.

Вариант N 13.

1.На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу

вбольшой круг, попадет в кольцо, образованное начерченными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.

2.На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и

С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L2 .

Вариант N 14.

1.Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника.

2.Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения

относительно круга.

3.Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

4.Задача о встрече. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 14 и 15 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 10 мин., после чего уходит. Чему равна Р встречи этих лиц, если приход каждого из них

втечении указанного часа может произойти в любое время ?

5.Какой должна быть монета, чтобы Р падения на ребро была бы 1/3?

Вариант N 15.

4.Какова вероятность того, что шарик прикоснется к плоскости точкой, которая находится в области между 45 и 90-м градусами северной широты? (см. условие предыдущей задачи).

5.На шарик нанесена сетка географических координат. Шарик брошен на плоскость. Какова вероятность того, что шарик прикоснется к плоскости точкой, которая находится в области между 0 и 90-м градусами восточной долготы?

Вариант N 16.

3. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60 градусом северной и 60 градусом южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30 градусов северной широты.

4. Какова вероятность, не целясь, попасть бесконечно малой пулей в прутья квадратной решетки, если толщина прутьев равна а, а расстояние между их осями равно L (L>a).

Т2<Т1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если время настройки приемника равно Т3 (Т3<Т2<Т1).

Вариант N 17.

1.Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что сумма х+у будет не больше 1, а произведение xy не меньше 0.09.

2.Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса R, расстояние между осями а и b. Определить вероятность попадания шарика диаметром d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета перпендикулярна плоскости решетки.

3.Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60 градусом северной и 60 градусом южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30 градусов северной широты.

4.Луч локатора перемещается в горизонтальной плоскости с постоянной угловой скоростью. Какова вероятность того, что цель будет обнаружена в угловом секторе А радиан, если появление цели по любому направлению равновозможно?)

Вариант N 18.

1.Стержень длины l сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти Р того, что из получившихся 3-х частей можно составить треугольник.

2.На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у), причем у>х. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем L / 2 . Предполагается, что вероятность попадания точки на

отрезок пропорциональна длине и не зависит от его расположения на числовой оси.

3. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a / 2 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

5.На перекрестке установлен автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0.5 минуты - красный, затем снова 1 минуту - зеленый и 0.5 минуты – красный. Какова вероятность для случайно подъехавшего автомобиля проехать перекресток без остановки?

Вариант N 19.

1. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

2. Два корабля должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого от 12 до 14 часов. Разгрузка длится 30 мин. Найти Р того, что один из кораблей застанет причал занятым.

3. На шарик нанесена сетка географических координат. Шарик брошен на плоскость. Какова вероятность того, что шарик прикоснется к плоскости точкой, которая находится в области между 0 и 90-м градусами восточной долготы?

4. На плоскость, с нанесенной сеткой квадратов со стороной а, наудачу брошена монета радиусом r < a / 2 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади фигуры и не зависит от ее расположения.

Т2<Т1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если время настройки приемника равно Т3 (Т3<Т2<Т1).

Вариант N 20.

1. В квадрат с вершинами (0;0)(0;1)(1;0)(1;1) наудачу брошена точка М. Пусть

(c;d) - ее координаты. Найти Р того, что корни уравнения x2 + cx + d = 0 - действительные.

2.После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел разрыв провода. Какова Р того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии ?

3.К автобусной остановке через каждые 4 минуты подходит автобус линии А и через каждые 6 минут - автобус линии В. Определить вероятность того, что первый подошедший автобус окажется автобусом линии А.

4.Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрезков , длина каждого из которых не превосходит L, будет больше L?

Вариант N 21.

1.Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 60 градусом северной и 60 градусом южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадет выше 30 градусов северной широты.

2.Стержень длины l сломали на три части, выбирая наудачу места разлома. Найти Р того, что из получившихся 3-х частей можно составить треугольник.

4.Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше 1, а частное y / x не больше 2.

5.Слой воздуха толщины Н содержит пылинки радиуса r в количестве n штук в одной кубической единице. Найти Р того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечет ни одной пылинки.

Вариант N 22.

1.На плоской горизонтально расположенной фольге находится точечный источник радиоактивного излучения, посылающий лучи равномерно по всем направлениям пространства. Если параллельно фольге на расстоянии r=1 поставить экран, то на нем можно наблюдать точечные вспышки, вызываемые радиоактивным излучением. Найти вероятность того, что очередная вспышка произойдет в части экрана, расположенной внутри круга радиуса R с центром, находящимся над источником радиоактивного излучения.

2.Какова вероятность того, что случайно выбранная на глобусе точка лежит за полярным кругом (66 градусов 33 минуты северной широты)?

3.Какова вероятность того, что сумма двух наудачу взятых отрезков, длина

каждого из которых не превосходит L, будет больше L?

4.Какой должна быть монета, чтобы Р падения на ребро была бы 1/3?

5.В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в маленький круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

Вариант N 23.

1.На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 6 см, наудачу брошен круг радиуса 1 см. Найти вероятность того, что круг не пересечет ни одной из прямых. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

2.Два корабля должны подойти к одному причалу. Время прихода каждого от 12 до 14 часов. Разгрузка длится 30 мин. Найти Р того, что один из кораблей застанет причал занятым.

3.	Шар X2 + Y 2 + Z 2 = 9	помещен внутри эллипсоида	X2	+	Y2	+	Z2	= 1	. Найти
			25		16		9

Р того, что поставленная наудачу внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

4.Какой должна быть монета, чтобы Р падения на ребро была бы 1/3?

Вариант N 24.

1.В круг радиуса R помещен меньший круг радиуса r. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг, попадет в маленький круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

3.На отрезке ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем

L / 2 . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок

пропорциональна длине и не зависит от его расположения на числовой оси.

4.На пол, разграфленный параллельными прямыми на полосы ширины L, бросается наугад игла длины l (l<L). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь линию.

5.На плоской горизонтально расположенной фольге находится точечный источник радиоактивного излучения, посылающий лучи равномерно по всем направлениям пространства. Если параллельно фольге на расстоянии r=1 поставить экран, то на нем можно наблюдать точечные вспышки, вызываемые радиоактивным излучением. Найти вероятность того, что очередная вспышка произойдет в части экрана, расположенной внутри круга радиуса R с центром, находящимся над источником радиоактивного излучения.

Вариант N 25

3.Электрон вылетает из случайной точки нити накала и движется по перпендикуляру к нити. С какой вероятностью он свободно пройдет через сетку, окружающую нить и имеющую вид винтовой линии радиуса толщины l и шага Н?

4.Слой воздуха толщины Н содержит пылинки радиуса r в количестве n штук в одной кубической единице. Найти Р того, что луч света, перпендикулярный слою, не пересечет ни одной пылинки.

5.К автобусной остановке через каждые 4 минуты подходит автобус линии А и через каждые 6 минут - автобус линии В. Определить вероятность того, что первый подошедший автобус окажется автобусом линии А.

Вариант N 26.

1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a / 2 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

2. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

4.После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел разрыв провода. Какова Р того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии ?

Вариант N 27

1.Наудачу взяты два положительных числа х и у, каждое из которых не превышает 2. Найти вероятность того, что произведение ху будет не больше 1,

ачастное y / x не больше 2.

2.Задача о встрече. Два лица А и В условились встретиться в определенном месте между 14 и 15 часами. Пришедший первым ждет другого в течении 10 мин., после чего уходит. Чему равна Р встречи этих лиц, если приход каждого из них в течении указанного часа может произойти в любое время ?

3.В квадрат с вершинами (0;0)(0;1)(1;0)(1;1) наудачу брошена точка М. Пусть

(c;d) - ее координаты. Найти Р того, что корни уравнения x2 + cx + d = 0 - действительные.

5.Какова вероятность того, что шарик прикоснется к плоскости точкой, которая находится в области между 45 и 90-м градусами северной широты? (см. условие предыдущей задачи).

Вариант N 28

каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от 12 до 13 часов).

Шар X2

+ Y 2

+ Z 2

= 9 помещен внутри эллипсоида

= 1

. Найти

Р того, что поставленная внутри эллипсоида точка окажется внутри шара.

Вариант N 29.

1. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, находящимися друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < a / 4 . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из прямых.

Вариант N 30.

1. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б) правильного треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части.

2. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течении 1/4 часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится.

3. Какова вероятность того, что случайно выбранная на глобусе точка лежит за полярным кругом (66 градусов 33 минуты северной широты)?

4. Какой должна быть монета, чтобы Р падения на ребро была бы 1/3?

Т2<Т1. Найти вероятность обнаружения сигнала, если время настройки приемника равно Т3 (Т3<Т2<Т1).

ТЕМА 4. ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

ЗАДАНИЕ: решить задачу, используя теоремы сложения, умножения; проверить по классической формуле, если это возможно.

Вариант N 1

1.Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

2.Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет менее 2 раз.

3.Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7; а вторым - 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.

4.Стрелок стреляет по мишени, разделенной на три зоны. Вероятность попадания в первую зону ровна 0,43; во вторую -0,30; в третью - 0,15. Найти вероятность попадания в мишень.

5.В партии из 100 изделий имеется 8 штук бракованных. Какова вероятность того, что среди шести выбранных наугад для проверки изделий 2 окажутся бракованными?

Вариант N 2

1.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет в цель равна 0,9. Стрелок произвел три выстрела. Найти вероятность того, что три выстрела дали попадание.

2.Три спортсмена участвуют в отборочных соревнованиях. Вероятности зачисления, в сборную команду первого, второго и третьего спортсмена соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один из этих спортсменов попадет в сборную.

3.Вероятность того, что стрелок при одном выстреле выбьет 10 очков, равна 0,1; 9 очков – 0,3 и меньше - 0,6. Найти вероятность того, что при одном выстреле стрелок выбьет не менее девяти очков.

4.Два стрелка стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым - 0,8. Оба стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Найти вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба промахнутся; в) хотя бы один попадет в мишень; г) произойдет одно попадание в мишень.

5.Библиотека состоит из 15 различных книг, причем 5 книг стоят по 4 рубля, 3 книги - по 1 рублю, 2 - по 3 рубля и 5 - по 2 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу две книги стоят 5 рублей.

Вариант N 3

1.В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

2.Вероятность того, что в течении одной смены возникает неполадка станка, равна 0.05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

3.Бросается монета до первого появления герба. Найти вероятность того, что потребуется четное число бросков.

4.Предположим, что для одной торпеды вероятность потопить корабль равна 1/2. Какова вероятность того, что 3 торпеды потопят корабль, если для потопления корабля достаточно одного попадания торпеды в цель?

5.В ящике 10 красных и 6 синих шаров. Вынимаются на удачу два шара. Какова вероятность того, что шары будут одноцветными?

Вариант N 4

1.Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.

2.Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

3.В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные на удачу внутри круга 2 точки окажутся внутри квадрата ?

4.Две одинаковые монеты радиуса r расположены внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из монет, если монеты не перекрываются.

5.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.5, хотя бы один раз выпала шестерка.

Вариант N 5

1.Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, хотя бы один раз выпала цифра не меньше пяти.

2.Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одному числу очков.

3.Два охотника одновременно стреляют в волка, причем каждый делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель 0.7, для второго 0.8. Какова вероятность попадания в волка?

4.Два охотника одновременно стреляют в волка, причем первый делает один выстрел, а второй - два. Для первого охотника вероятность попадания в цель при одном выстреле 0.7, для второго при одном выстреле - 0.6. Какова вероятность попадания в волка?

5.Два охотника одновременно стреляют в волка, причем каждый делает по

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.11.2018182.27 Кб3методичка Оцінка ефективності керування.doc
#
03.03.2016251.39 Кб5Методичка по бакалаврским ТКС регистр.doc
#
03.03.2016392.7 Кб15Методичка по Горным машинам - Гуляев В.Г. - синяя.doc
#
03.03.2016383.49 Кб20Методичка по Енерготехнології ( укр.).doc
#
01.05.202587.64 Кб0Методичка по оформлению ВКР и КР.docx
#
03.03.20162.55 Mб143Методичка по ТВ.pdf
#
03.03.2016825.04 Кб18Методичка ПРДР.pdf
#
03.03.2016515.58 Кб63методичка теплотехника 2.doc
#
03.03.201629.79 Mб13Методичка(new).doc
#
03.03.2016852.27 Кб7Методичка_1.pdf
#
03.03.20162.07 Mб79Методичка_Excel.doc