154
ТЕМА 14. ФУНКЦИЯ ОТ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Вариант N1.
Найти вероятность P(2X<3Y), где Х и Y - независимые случайные величины, распределенные по закону постоянной плотности на интервале
(2;3).
Вариант N2.
Найти вероятность |
|
2Y |
|
, где |
|
P X < |
|
|
|||
3 |
|||||
|
|
|
|
Х и Y - независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами l=0.5 и m=0.3.
Вариант N3.
Найти функцию распределения величины Z=X-Y, где Х и Y - пара случайных величин, равномерно распределенных в квадрате ((а,
а);(a,a+b);(a+b,a);(a+b,a+b)); a,b - const.
Вариант N4.
Найти плотность распределения величины Z=3XY, где Х и Y - независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами l и m.
Вариант N5.
Найти плотность распределения величины Z=X-Y, где Х и Y случайные величин, имеющие
распределение f (x, y)= Ae−(x+y)2 , A − const .
Вариант N6.
Найти плотность распределения величины Z=0.5XY, где Х и Y- независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами l=1 и m=2. Х и
Y- |
случайные |
|
величины, |
|
распределенные |
с |
плотностью |
||
|
−x(y+1) |
, x > 0, y > |
0 |
|
xe |
|
|
||
f(x, y) = |
|
|
|
|
0,иначе
Вариант N7.
Найти плотность распределения величины Z=X-Y, где Х и Y случайные величин, имеющие распределение:
|
|
π |
|
π |
|||
0.5sin(x |
+ y), x 0; |
|
, y 0; |
|
|
||
2 |
2 |
||||||
f (x, y)= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,иначе |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант N8.
Найти плотность распределения величины Z=2XY, где Х и Y независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами l и m.
Вариант N9.
Найти функцию распределения величины Z=X+Y, где Х и Y - случайные величины, распределенные
плотностью f (x, y)= 0.5xe−x(y+0.5), x > 0, y > 0
0,иначе
Вариант N10.
Найти вероятность |
Y |
|
, где |
|
P |
X |
< 0.5 |
||
|
|
|
|
|
Х и Y - независимые случайные величины, распределенные по закону постоянной плотности на интервале
(2;π).
Вариант N11.
Найти плотность распределения величины Z=XY, где Х и Y случайные величины, имеющие распределение
|
|
π |
|
π |
|||
0.5sin(x |
+ y), x 0; |
|
, y 0; |
|
|
||
2 |
2 |
||||||
f (x, y)= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,иначе |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант N12.
Найти вероятность P(X>Y), где Х и Y случайные величины, распределенные с плотностью
f (x, y)= xe−x(y+1), x > 0, y > 0
0,иначе
Вариант N13.
Найти плотность распределения величины Z=XY, где Х и Y случайные величины, имеющие распределение
|
|
|
π |
|
|
|
π |
|
0.5sin(x |
+ y), x |
0; |
|
, y |
0; |
|
|
|
2 |
|
|||||||
f (x, y)= |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,иначе |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант N14. |
|
|
|
|||||
Найти |
функцию |
распределения |
||||||
величины Z=XY, где |
|
Х и |
Y - пара |
|||||
независимых случайных величин; Х - равномерно распределена на (0;1), Y имеет показательное распределение с l=1.
Вариант N15.
Х и Y- случайные величины, распределенные с плотностью
f (x, y)= xe−x(y+1), x > 0, y > 0
0,иначе
Найти вероятность P(X>2Y).
Вариант N16.
Найти плотность распределения величины Z=XY, где Х и Y случайные величины, имеющие распределение
( ) 0.5sin(x + y), x (0; π/ 2), y (0; π/ 2) f x, y = 0,иначе
155
Вариант N17.
Найти вероятность P(2X / Y < 0.5), где Х и Y - случайные величины, распределенные с плотностью
|
|
π |
|
π |
|||
2cos(x)cos(y), x 0; |
|
, y 0; |
|
|
|||
4 |
4 |
||||||
f (x, y)= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0.иначе |
|
|
|
|
|
|
|
Вариант N18.
Найти функцию распределения величины Z = 3Y /(2X) , где X и Y- паpa случайных величин, равномерно распределенных на (1,2).
Вариант N19.
Найти плотность распределения величины Z=XY, где Х и Y случайные величины, имеющие распределение
( )= 2xe−(2+y)x , x > 0, y > 0 f x, y
0,иначе
Вариант N20.
Найти вероятность P(5X<Y), где Х и Y - случайные величины, распределенные с плотностью
|
−x(y+1) |
, x > 0, y > 0 |
f (x, y)= xe |
|
|
|
|
|
0,иначе |
|
|
|
Вариант N21. |
|
Найти |
функцию распределения |
|
величины Z = 2X /(3Y) , где X и Y- паpa
случайных величин, равномерно распределенных на (1;2).
Вариант N22.
Найти функцию распределения величины Z=X+5Y, где Х и Y случайные величин, имеющие распределение
|
|
π |
|
π |
|||
cos(x)cos(y), x 0; |
|
, y 0; |
|
|
|||
2 |
2 |
||||||
f (x, y)= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,иначе |
|
|
|
|
|
|
|
156
Вариант N23.
Найти плотность распределения величины Z=X-Y, где Х и Y случайные величин, имеющие распределение
( ) 0.5sin(x + y), x (0; π/ 2), y (0; π/ 2) f x, y = 0,иначе
Вариант N24.
Найти плотность распределения величины Z=X-Y, где Х и Y случайные величин, имеющие
распределение f (x, y)= Ae−(x+y)2 , A − const.
Вариант N25.
Найти функцию распределения величины Z=X-Y, где Х и Y - пара случайных величин, равномерно распределенных в квадрате
((а;а);(a;a+b);(a+b;a),;(a+b;a+b)), a, b - const.
Вариант N26.
Найти вероятность P(X/2Y<0.1), где Х и Y - независимые случайные величины, распределенные по закону постоянной плотности на интервалах (0;1) и (3;4) соответственно.
Вариант N27.
Найти вероятность P(5X<Y), где Х и Y - случайные величины, распределенные с плотностью
f (x, y)= |
|
−x(y+1) |
, x > 0, y > 0 |
|
xe |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0,иначе |
|
|
|
|
Вариант N28. |
|
||
Найти |
вероятность P(X < 2Y / 3), |
|||
где Х и Y - независимые случайные |
||||
величины, |
|
распределенные |
по |
|
показательному закону с параметрами l=0.5 и m=0.3.
Вариант N29.
Найти плотность распределения величины Z = 3Y /(2X) , где Х и Y - пара случайных величин, равномерно распределённых в квадрате ((0;0); (0;10);(10,0);(10,10)).
Вариант N30.
Найти плотность распределения величины Z=2XY, где Х и Y независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметрами l и m.
157
ТЕМА 15. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
ЗАДАНИЕ. Решить задачу, используя закон больших чисел (одно из неравенств или теорему Чебышева, Бернулли, Маркова, Пуассона).
Вариант N1
1.Число пасмурных дней для данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием, равным 75 дней. Оценить снизу вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 150 пасмурных дней.
2.Математическое ожидание начальной скорости полета данного типа снаряда равно 500 м/сек. Оценить сверху вероятность того, что при испытании очередного снаряда его начальная скорость окажется не менее, чем 800 м/сек.
3.Средняя температура в студенческом общежитии в период отопительного сезона 20 градусов, а среднее квадратичное отклонение равно 2 град. Оценить снизу вероятность того, что температура в общежитии отклонится от средней по абсолютной величине менее, чем на 4 градуса.
4.Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 50см, а среднее квадратическое отклонение равно 0.2 см. Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобранной детали колеблется в пределах от 49.5
до 50.5 см.
5.Вероятность получить с конвейера пару обуви высшего качества равна 0.6. Оценить снизу вероятность того, что среди 600 пар обуви, полученных с конвейера, содержится от 340 до 380 изделий высшего качества.
Вариант N2.
1.Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оценить снизу вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0.1.
2.Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 1/3. Найти наименьшее число выстрелов N, чтобы с вероятностью не меньшей 0.99 частота попаданий отклонялась по абсолютной величине от вероятности попадания в мишень не более, чем на 0.01.
3.Вероятность рождения девочки равна 0.485. Оценить снизу вероятность того, что число девочек среди 3000 новорожденных будет отличаться от математического ожидания этого число по абсолютной величине менее, чем на 50.
4.Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0.05. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется меньше двух; не меньше двух.
5.В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что
158
за время Т лампа будет включена, равна 0.8. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом включенных ламп за время Т окажется меньше трех; не меньше трех.
Вариант N3.
1.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.5. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 100 независимых испытаниях будет заключено между 40 и 60.
2.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.25. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 800 независимых испытаниях будет заключено между 150 и 200.
3.Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0.1 0.4 0.6 Pi 0.2 0.3 0.5
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на sqrt(0.4).
4. Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ..Хn задана законом распределения:
Xni |
−nA |
0 |
|
nA |
|||||
P |
1 |
|
|
1 − |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
2n |
2 |
|
|
n2 |
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
5. Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni −A |
|
A |
|
Pi |
n +1 |
|
n |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
Вариант N4.
1. Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni − 3 |
0 |
3 |
||
Pi |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
3 |
3 |
||
|
||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
2.За смену цех производит 10000 шариков для подшипников. Вероятность появления дефектного шарика равна 0.05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль качества сразу после изготовления, причем дефектные шарики ссыпаются в специальный бункер. Определить на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0.99 он не оказался переполненным после смены.
3.При составлении статистического отчета необходимо сложить 300 чисел, каждое из которых округлено до 0.00001. Предполагается, что ошибки округления чисел взаимно независимые и равномерно распределены на отрезке (-0.00005; +0.00005). Найти пределы, в которых с вероятностью
159
большей, чем 0.997 будет лежать суммарная ошибка.
4.Поезд состоит из 98 вагонов. Вес каждого вагона - случайная величина с математическим ожиданием, равным 65 т, и средним квадратическим отклонением, равным 9т. Локомотив может везти поезд, если его масса не превышает 6600т. В противном случае подцепляют второй локомотив. Какова вероятность, что этого делать не придется.
5.Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события (Х>80км/час), если путем многолетних измерений установлено, что М(Х)=16км/час.
Вариант N5.
1.Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события (Х>80км/час), если путем многолетних измерений установлено, что М(Х)=16км/час, а среднее квадратическое отклонение 4км/час.
2.Число солнечных дней в году для данной местности является случайной
величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий (Х≥ 150); (Х≥ 200).
3. Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn, задана законом распределения:
Xni |
− ln(n) |
0 |
ln(n) |
P |
1 |
1 − 2 |
1 |
i |
n |
n |
n |
|
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4. Последовательность независимых случайных величин XI, Х2,...Хn задана законом распределения:
Xni − ln(n) |
ln(n) |
||
Pi |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
||
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
5. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если информация о дисперсии отсутствует.
Вариант N6.
1. С |
|
помощью |
неравенства |
Чебышева |
оценить |
вероятность |
||||
Pk = P( |
|
X − M(X) |
|
≤ kS(X)) k = |
|
, где М(Х) и S(Х)-математическое |
ожидание и |
|||
|
|
1,3 |
||||||||
среднеквадратичное отклонение случайной величины X, подчиненной нормальному закону N(M(X),S(X)). Сравнить с точными значениями этих вероятностей.
160
2. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется: а) меньше трех; б) не меньше трех
3. Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni |
−a |
0 |
|
a |
|
Pi |
n |
1 |
|
n |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в партии из 10000 подшипников отклонение частоты бракованных подшипников от вероятности 0,01 подшипнику быть бракованным превысит 0,003.
5.Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Хn имеет равномерное распределение на (0,n). Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
Вариант N7.
1. Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Хn имеет равномерное распределение на (0;
n ). Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева?
2.При контрольной проверке изготовляемых приборов была установлено, что
всреднем 20 штук из 100 изготовленных оказываются с теми или иными дефектами. Оценить вероятность того, что доля приборов с дефектами среди 300 изготовленных будет по абсолютной величине отличаться от математического ожидания не более, чем на 0,15.
3.Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин равна 2. Оценить снизу вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0.1.
4.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.3. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 100 независимых испытаниях будет больше 40.
5.Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0 1 2 3 Pi 0.1 0.2 0.3 0.4
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего больше, чем на 0.1.
Вариант N8.
1. Средняя температура в студенческом общежитии в период отопительного сезона 20 градусов, а среднее квадратическое отклонение равно 2 град. Оценить снизу вероятность того, что температура в общежитии отклонится от средней по абсолютной величине менее, чем на 4 градуса.
161
2. Последовательность независимых случайных величин X1, Х2,...Хn, задана законом распределения:
Xni − n |
0 |
|
n |
1 |
1 − |
2 |
1 |
n |
|
n |
n |
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3.При составлении статистического отчета необходимо сложить 300 чисел, каждое из которых округлено до 0.00001. Предполагается, что ошибки округления чисел взаимно независимые и равномерно распределены на отрезке (-0.00005; +0.00005). Найти пределы, в которых с вероятностью большей, чем 0.997 будет лежать суммарная ошибка.
4.Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 1/3. Найти наименьшее число выстрелов N, чтобы с вероятностью не меньшей 0.99 частота попаданий отклонялась по абсолютной величине от вероятности попадания в мишень не более, чем на 0.01.
5.Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события (X>80км/час), если путем многолетних измерений установлено, что М(Х)=16км/час.
Вариант N9.
1.За смену цех производит 10000 шариков для подшипников. Вероятность появления дефектного шарика равна 0.05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль качества сразу после изготовления, причем дефектные шарики ссыпаются в специальный бункер. Определить на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0.99 он не оказался переполненным после смены.
2.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni −A |
|
A |
|
Pi |
n +1 |
|
n |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ? 3. Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0.1 0.4 0.6 Pi 0.2 0.3 0.5
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на sqrt(0.4).
4.Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 50см, а среднее квадратичное отклонение равно 0.2 см. Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобранной детали колеблется в пределах от 49.5
до 50.5 см.
5.Вероятность некоторого события А в каждом из 12100 независимых испытаний равна 1/3. Найти границу абсолютной величины отклонения частоты события А от его вероятности, которую можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,99.
162
Вариант N10.
1.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.25. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 800 независимых испытаниях будет заключено между 150 и 200.
2.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ..Хn задана законом распределения:
Xni |
−nA |
0 |
|
nA |
||||
P |
1 |
|
1 − |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
2n2 |
|
n2 |
|
2n2 |
||
|
|
|
|
|||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ? |
||||||||
3. |
Средняя температура в студенческом общежитии в период отопительного |
||||||||||
|
сезона 20 градусов, а среднее квадратическое отклонение равно 2 град. |
||||||||||
|
Оценить снизу вероятность того, что температура в общежитии отклонится |
||||||||||
|
от средней по абсолютной величине менее, чем на 4 градуса. |
|
|||||||||
4. |
С |
помощью |
|
неравенства |
Чебышева |
оценить |
вероятность |
||||
|
Pk = P( |
|
X − M(X) |
|
≤ kS(x)) k = |
|
, |
где М(Х) |
и S(Х)-математическое |
||
|
|
|
1,3 |
||||||||
ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины X, подчиненой нормальному закону N(M(X),S(X)). Сравнить с точными значениями этих вероятностей.
5. Поезд состоит из 98 вагонов. Вес каждого вагона - случайная величина с математическим ожиданием, равным 65 т, и средним квадратическим отклонением, равным 9т. Локомотив может везти поезд, если его масса не превышает 6600т. В противном случае подцепляют второй локомотив. Какова вероятность, что этого делать не придется.
Вариант N11.
1. Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий (Х≥ 150);
(Х≥ 200).
2. С |
помощью |
|
неравенства |
Чебышева |
оценить |
вероятность |
||||
Pk = P( |
|
X − M(X) |
|
≤ kS(x)) k = |
|
, |
где М(Х) |
и S(Х)-математическое |
||
|
|
1,3 |
||||||||
ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины X, подчиненой нормальному закону N(M(X),S(X)). Сравнить с точными значениями этих вероятностей.
3. Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ..Хn задана законом распределения:
Xni |
−nA |
0 |
|
nA |
|||||
P |
1 |
|
|
1 − |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
2n |
2 |
|
|
n2 |
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.Число пасмурных дней для данной местности является случайной величиной
сматематическим ожиданием, равным 75 дней. Оценить снизу вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 150
163
пасмурных дней.
5. Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0 1 2 3 Pi 0.1 0.2 0.3 0.4
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего больше, чем на 0.1.
Вариант N12.
1. Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn, задана законом распределения:
Xni |
− n |
0 |
n |
P |
1 |
1 − 2 |
1 |
i |
n |
n |
n |
|
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
2.Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если информация о дисперсии отсутствует.
3.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.5. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 100 независимых испытаниях будет заключено между 40 и 60.
4.Шестигранная кость бросается 10 000 раз. Оценить вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероятности появления шести очков меньше, чем на 0,01
5.Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0.05. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется меньше двух; не меньше двух.
Вариант N13.
1.Дисперсия каждой из 5000 независимых случайных величин не превосходит 20. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,2.
2.Последовательность независимых случайных величин XI, Х2,...Хn задана законом распределения:
Xni − ln(n) |
ln(n) |
||
Pi |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
||
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3. Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 1/3. Найти наименьшее число выстрелов N, чтобы с вероятностью не меньшей 0.99 частота попаданий отклонялась по абсолютной величине от вероятности попадания в мишень не более, чем на 0.01.
164
4.Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 50см, а среднее квадратическое отклонение равно 0.2 см. Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобранной детали колеблется в пределах от 49.5
до 50.5 см.
5.Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0 1 2 3 Pi 0.1 0.2 0.3 0.4
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего больше, чем на 0.1
Вариант N14.
1.Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является
случайной величиной, математическое ожидание которой равно 20 000 кВт/час, а дисперсия составляет 2 000 (кВт/час)2. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в ближайший день расход электроэнергии в этом населенном пункте от 19 600 до 20 400 кВт/час.
2.Число солнечных дней в году для данной местности является случайной
величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий (Х≥ 150);
(Х≥ 200).
3.Математическое ожидание начальной скорости полета данного типа снаряда равно 500 м/сек. Оценить сверху вероятность того, что при испытании очередного снаряда его начальная скорость окажется не менее, чем 800 м/сек.
4.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni − 3 |
0 |
3 |
||
Pi |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
3 |
3 |
||
|
||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ? 5. Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0.1 0.4 0.6 Pi 0.2 0.3 0.5
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на 
0.4 .
Вариант N15.
1.Средняя температура в студенческом общежитии в период отопительного сезона 20 градусов, а среднее квадратическое отклонение равно 2 град. Оценить снизу вероятность того, что температура в общежитии отклонится от средней по абсолютной величине менее, чем на 4 градуса.
2.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
165
Xni −A |
|
A |
|
Pi |
n +1 |
|
n |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3.Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события (Х>80км/час), если путем многолетних измерений установлено, что М(Х)=16км/час.
4.Вероятность наступления некоторого события в каждом из 1000 испытаний равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что отклонение числа наступлений этого события от математического ожидания будет по абсолютной величине не больше 30.
5.При составлении статистического отчета необходимо сложить 300 чисел, каждое из которых округлено до 0.00001. Предполагается, что ошибки округления чисел взаимно независимые и равномерно распределены на отрезке (-0.00005; +0.00005). Найти пределы, в которых с вероятностью большей, чем 0.997 будет лежать суммарная ошибка.
Вариант N16.
1.Вероятность рождения девочки равна 0.485. Оценить снизу вероятность того, что число девочек среди 3000 новорожденных будет отличаться от математического ожидания этого число по абсолютной величине менее, чем на 50.
2.Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч, а среднее квадратичное отклонение - 4,5 км/ч. Какие скорости ветра можно ожидать с вероятностью, не меньшей 0,9?
3.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni |
−a |
0 |
|
a |
|
Pi |
n |
1 |
|
n |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.Вероятность получить с конвейера пару обуви высшего качества равна 0.6. Оценить снизу вероятность того, что среди 600 пар обуви, полученных с конвейера, содержится от 340 до 380 изделий высшего качества.
5.Поезд состоит из 98 вагонов. Вес каждого вагона - случайная величина с математическим ожиданием, равным 65 т, и средним квадратическим отклонением, равным 9т. Локомотив может везти поезд, если его масса не превышает 6600т. В противном случае подцепляют второй локомотив. Какова вероятность, что этого делать не придется.
Вариант N17.
1. С |
помощью |
|
неравенства |
Чебышева |
оценить |
вероятность |
||||
Pk = P( |
|
X −M(X) |
|
≤ kS(x)) k = |
|
, |
где М(Х) |
и S(Х)-математическое |
||
|
|
1,3 |
||||||||
ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины X,
166
подчиненной нормальному закону N(M(X),S(X)). Сравнить с точными значениями этих вероятностей.
2.Принимая для упрощения расчетов вероятность рождения мальчика равной 0,5, оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1200 новорожденных мальчиков будет от 550 до 650 включительно.
3.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni |
−a |
0 |
|
a |
|
Pi |
n |
1 |
|
n |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.Изготовлена партия деталей. Среднее значение длины детали равно 50см, а среднее квадратическое отклонение равно 0.2 см. Оценить снизу вероятность того, что длина случайно отобранной детали колеблется в пределах от 49.5
до 50.5 см.
5.Математическое ожидание начальной скорости полета данного типа снаряда равно 500 м/сек. Оценить сверху вероятность того, что при испытании очередного снаряда его начальная скорость окажется не менее, чем 800 м/сек.
Вариант N18.
1.Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события (X>80км/час), если путем многолетних измерений установлено, что М(Х)=16км/час.
2.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn, задана законом распределения:
Xni |
− n |
0 |
n |
P |
1 |
1 − 2 |
1 |
i |
n |
n |
n |
|
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3.Случайная величина X имеет математическое ожидание, равное 1, и среднее квадратическое отклонение, равное 0,2. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность неравенства 0,5 < X < 1,5.
4.Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi |
0.1 |
0.4 |
0.6 |
Pi |
0.2 |
0.3 |
0.5 |
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на 
0.4 .
5. Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оценить снизу вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0.1.
Вариант N19.
1. Дисперсия каждой из 3000 независимых случайных величин не превышает 6.
167
Оценить вероятность того, что отклонение средне-арифметической этих случайных величин от среднеарифметической их математических ожиданий не превышает 0, 3.
2.При составлении статистического отчета необходимо сложить 300 чисел, каждое из которых округлено до 0.00001. Предполагается, что ошибки округления чисел взаимно независимые и равномерно распределены на отрезке (-0.00005; +0.00005). Найти пределы, в которых с вероятностью большей, чем 0.997 будет лежать суммарная ошибка.
3.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.25. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 800 независимых испытаниях будет заключено между 150 и 200.
4.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ..Хn задана законом распределения:
Xni |
−nA |
0 |
|
nA |
|||||
P |
1 |
|
|
1 − |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
2n |
2 |
|
|
n2 |
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
5. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0.05. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т окажется меньше двух; не меньше двух.
Вариант N20.
1.Вероятность появления события А в одном опыте равна 0,5. Можно ли с вероятностью, большей 0,97, утверждать, что число появлений события А в 1000 независимых опытах будет в пределах от 400 до 600?
2.Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Хn имеет равномерное распределение на (0;n). Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3.Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni −A |
|
A |
|
Pi |
n +1 |
|
n |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0.8. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом включенных ламп за время Т окажется меньше трех; не меньше трех.
5.Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной, среднее квадратическое отклонение которой равно 10 000 л. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что расход воды в этом пункте в течение суток отклонится от математического ожидания более, чем на 25 000 л (по абсолютной величине).
168
Вариант N21.
1.Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Xn имеет равномерное распределение на (a;b). Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
2.Математическое ожидание начальной скорости полета данного типа снаряда равно 500 м/сек. Оценить сверху вероятность того, что при испытании очередного снаряда его начальная скорость окажется не менее, чем 800 м/сек.
3.Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин равна 2. Оценить снизу вероятность того, что отклонение средней арифметической этих величин от средней арифметической их математических ожиданий по абсолютной величине не превзойдет 0.1.
4.Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni − 3 |
0 |
3 |
||
Pi |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
3 |
3 |
||
|
||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ? 5. Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0.1 0.4 0.6 Pi 0.2 0.3 0.5
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на 
0.4 .
Вариант N22.
1.Число пасмурных дней для данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием, равным 75 дней. Оценить снизу вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 150 пасмурных дней.
2.Математическое ожидание начальной скорости полета данного типа снаряда равно 500 м/сек. Оценить сверху вероятность того, что при испытании очередного снаряда его начальная скорость окажется не менее, чем 800 м/сек.
3.Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni −A |
|
A |
|
Pi |
n +1 |
|
n |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.25. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 800 независимых испытаниях будет заключено между 150 и 200.
5.Вероятность рождения девочки равна 0.485. Оценить снизу вероятность того, что число девочек среди 3000 новорожденных будет отличаться от математического ожидания этого число по абсолютной величине менее, чем на 50.
169
Вариант N23.
1.Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным
отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий (Х≥ 150); (Х≥ 200).
2.Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превышает 5. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,4.
3.Вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что частота события отклонится от его вероятности не более, чем 0,01 (по абсолютной величине), если предполагается произвести 9000 испытаний.
4.Для некоторого автопарка среднее число автобусов, отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 автобусов, если информация о дисперсии отсутствует.
5.Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
Xi 0 1 2 3 Pi 0.1 0.2 0.3 0.4
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего больше, чем на 0.1.
Вариант N24.
1.Среднее квадратичное отклонение ошибки измерения курса самолета б = 2°. Считая математическое ожидание ошибки измерения равным нулю, оценить вероятность того, что ошибка при данном измерении курса будет более 5°
2.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni −nA |
0 |
nA |
||
Pi |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
2 |
4 |
||
|
||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3.Вероятность попадания в мишень для данного стрелка при одном выстреле равна 1/3. Найти наименьшее число выстрелов N, чтобы с вероятностью не меньшей 0.99 частота попаданий отклонялась по абсолютной величине от вероятности попадания в мишень не более, чем на 0.01.
4.Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Xn имеет равномерное распределение на (a;b). Применима ли к данной
последовательности теорема Чебышева ? |
|
|
||||||||
5. С |
помощью |
|
неравенства |
Чебышева |
оценить |
вероятность |
||||
Pk = P( |
|
X −M(X) |
|
≤ kS(X)) k = |
|
, |
где М(Х) |
и S(Х)-математическое |
||
|
|
1,3 |
||||||||
ожидание и среднеквадратичное отклонение случайной величины X,
170
подчиненной нормальному закону N(M(X),S(X)). Сравнить с точными значениями этих вероятностей.
Вариант N25.
1.Вероятность появления события А при одном опыте равна 0,3. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что частота этого события при 100 опытах будет лежать в пределах 0,2-0,4.
2.Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Хn имеет равномерное распределение на (0;n). Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
3.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn, задана законом распределения:
Xni |
− n |
0 |
n |
P |
1 |
1 − 2 |
1 |
i |
n |
n |
n |
|
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.Поезд состоит из 98 вагонов. Вес каждого вагона - случайная величина с математическим ожиданием, равным 65 т, и средним квадратическим отклонением, равным 9т. Локомотив может везти поезд, если его масса не превышает 6600т. В противном случае подцепляют второй локомотив. Какова вероятность, что этого делать не придется.
5.Число солнечных дней в году для данной местности является случайной величиной со средним значением 100 дней и среднеквадратичным
отклонением 20 дней. Оценить сверху вероятности событий (Х≥ 150); (Х≥ 200).
Вариант N26.
1. Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni − 3 |
0 |
3 |
||
Pi |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
3 |
3 |
||
|
||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
2.За смену цех производит 10000 шариков для подшипников. Вероятность появления дефектного шарика равна 0.05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль качества сразу после изготовления, причем дефектные шарики ссыпаются в специальный бункер. Определить на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0.99 он не оказался переполненным после смены.
3.Последовательность независимых случайных величин XI, Х2,...Хn задана законом распределения:
Xni − ln(n) |
ln(n) |
||
Pi |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
||
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ? 4. Дискретная случайная величина Х имеет распределение:
171
Xi 0.1 0.4 0.6 Pi 0.2 0.3 0.5
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на 
0.4 .
5.Дисперсия каждой из 4500 независимых случайных величин не больше 5. Оценить вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин отклонится от среднего арифметического их математических ожиданий не более, чем на 0,04.
Вариант N27.
1. С |
|
помощью |
неравенства |
Чебышева |
оценить |
вероятность |
||||
Pk = P( |
|
X − M(X) |
|
≤ kS(X)) k = |
|
, где М(Х) и S(Х)-математическое |
ожидание и |
|||
|
|
1,3 |
||||||||
среднеквадратичное отклонение случайной величины X, подчиненной нормальному закону N(M(X),S(X)). Сравнить с точными значениями этих вероятностей.
2.В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0.8. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом включенных ламп за время Т окажется меньше трех; не меньше трех.
3.Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ..Хn задана
Xn |
−nA |
0 |
|
nA |
|||||
законом распределения: P i |
1 |
|
|
1 − 1 |
1 |
|
|||
i |
|
2n |
2 |
|
|
n2 |
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
4.При составлении статистического отчета необходимо сложить 300 чисел, каждое из которых округлено до 0.00001. Предполагается, что ошибки округления чисел взаимно независимые и равномерно распределены на отрезке (-0.00005; +0.00005). Найти пределы, в которых с вероятностью большей, чем 0.997 будет лежать суммарная ошибка.
5.Вероятность получить с конвейера пару обуви высшего качества равна 0.6. Оценить снизу вероятность того, что среди 600 пар обуви, полученных с конвейера, содержится от 340 до 380 изделий высшего качества.
Вариант N28.
1. Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn задана законом распределения:
Xni −A |
|
A |
|
Pi |
n +1 |
|
n |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
2.Вероятность наступления события в каждом испытании равна 0,3. Применяя неравенство Чебышева, найти число испытаний, необходимых для того, чтобы вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше, чем на 0,01, была бы не меньше 0,99.
3.За смену цех производит 10000 шариков для подшипников. Вероятность
172
появления дефектного шарика равна 0.05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль качества сразу после изготовления, причем дефектные шарики ссыпаются в специальный бункер. Определить на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0.99 он не оказался переполненным после смены.
4.Последовательность независимых случайных величин XI, Х2, ...Хn, задана законом распределения:
Xni |
− n |
0 |
n |
P |
1 |
1 − 2 |
1 |
i |
n |
n |
n |
|
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
5.Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х - проекция вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность события (X>80км/час), если путем многолетних измерений установлено, что М(Х)=16км/час.
Вариант N29.
1. Последовательность независимых случайных величин X1, Х2, ...Хn задана
Xn |
−a |
0 |
|
a |
|
законом распределения: P i |
n |
1 |
|
n |
|
i |
2n +1 |
|
2n +1 |
|
2n +1 |
|
|
|
|||
Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
2.Вероятность получить с конвейера пару обуви высшего качества равна 0.6. Оценить снизу вероятность того, что среди 600 пар обуви, полученных с конвейера, содержится от 340 до 380 изделий высшего качества.
3.При составлении статистического отчета необходимо сложить 300 чисел, каждое из которых округлено до 0.00001. Предполагается, что ошибки округления чисел взаимно независимые и равномерно распределены на отрезке (-0.00005; +0.00005). Найти пределы, в которых с вероятностью большей, чем 0.997 будет лежать суммарная ошибка.
4.Длина изготавливаемых изделий представляет случайную величину, среднее значение которой равно 30 см. Дисперсия этой величины равна 0,0225. Оценить вероятность того, что отклонение длины изготавливаемого изделия, от ее среднего значения по абсолютной величине не превзойдет 0,5 см.
5.Каждая из последовательности независимых случайных величин X1, Х2,...Xn имеет равномерное распределение на (a;b). Применима ли к данной последовательности теорема Чебышева ?
Вариант N30
1. Вероятность появления события А в каждом испытании равна 0.25. Оценить вероятность того, что число появлений события А в 800 независимых испытаниях будет заключено между 150 и 200.
2. Дискретная случайная величина Х |
имеет распределение: |
X |
0.1 |
0.4 |
0.6 |
Pi |
0.2 |
0.3 |
0.5 . |
||
|
|
i |
|
|
|
Оценить вероятность того, что X отклонится по (модулю) от своего среднего меньше, чем на 
0.4 .
173
3.За смену цех производит 10000 шариков для подшипников. Вероятность появления дефектного шарика равна 0.05. Причины дефектов для отдельных шариков независимы. Продукция проходит контроль качества сразу после изготовления, причем дефектные шарики ссыпаются в специальный бункер. Определить на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0.99 он не оказался переполненным после смены.
4.Число пасмурных дней для данной местности является случайной величиной
сматематическим ожиданием, равным 75 дней. Оценить снизу вероятность того, что в следующем году в данной местности будет меньше 150 пасмурных дней.
5.Вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками 0,75. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 3000 стеблей доля с тремя початками будет по абсолютной величине отличаться от вероятности вызревания стебля не более, чем на 0,02.
174
ТЕМА 16. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Вариант N1
1. Случайная величина Х равна сумме очков, выпавших при N независимых бросаниях симметричной игральной кости. Выбрать N так, чтобы
|
|
X |
|
|
|
≤ 0.1 . |
|
|
|||||
|
|
− 3.5 |
|
|
||
P |
|
N |
|
≥ 0.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.99, будет лежать суммарная ошибка.
3.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 90 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 1$, 4-х -10000$, 5 - 1000000$. Найти границы практически возможных выплат по лотерее, если в ней участвует 1000000 человек.
4.В условии предыдущей задачи определить нижнюю границу цены билета, при которой лотерея не принесет убытка организаторам.
5.В условии задачи 3 определить минимальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка организаторам, если стоимость одного билета
0.5$.
Вариант N2.
1.В условии задачи №3 варианта 1 определить вероятность того, что прибыль составит не менее, чем 1000$, если стоимость 1 билета 0.5$.
2.500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.05;1/6+0.05)?
3.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
4.В предыдущей задаче найти при каком числе выстрелов вероятность набрать не менее 200 очков превышает 0.9.
5.В условии задачи №3 2 варианта определить какой необходимо установить выигрыш вместо 100 очков, чтобы вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находилась в пределах (0.9; 0.95).
Вариант N3.
1.В условии задачи №3 2 варианта определить при какой вероятности получения 100 очков (вместо 0.1), вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находится в пределах (0.8; 0.9).
2.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы
0.0001. Найти вероятность убытка для страховой компании, если стоимость страховки 10$.
3. В условии предыдущей задачи определить при каком количестве
175
застрахованных вероятность убытка для страховой компании не превысит
0.1.
4.В условии задачи №2 3 варианта определить при каком количестве застрахованных вероятность получить для страховой компании прибыль менее 500$ будет не менее 0.9.
5.В условии задачи №2 3 варианта найти вероятность того, что прибыль страховой компании составит не менее 500$.
Вариант N4.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Найти вероятность того, что прибыль страховой компании не превысит 1000$, если стоимость страховки 10$.
2.В условии предыдущей задачи 1 определить, при каком количестве застрахованных вероятность того, что прибыль страховой компании превысит 1000$, будет не более 0.1.
3.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее
0.9.
4.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность убытка для страховой компании будет не более 0.05.
5.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 2000$ будет не более
0.2.
Вариант N5.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001, стоимость страховки 10$. Определить, как необходимо изменить выплату по смерти, чтобы вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ была не менее 0.9.
2.В условии задачи 1 определить, как необходимо изменить выплату по травмам, чтобы вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 800$ была не менее 0.95.
3.В условии задачи 1 определить, как необходимо изменить выплату по смерти, чтобы вероятность убытка для страховой компании была не более
0.1.
4.В условии задачи 1 определить, как необходимо изменить выплату по травме, чтобы вероятность убытка для страховой компании была не более
0.01.
5.В условии задачи 1 определить, на сколько увеличится вероятность убытка для страховой компании, если сумму взноса уменьшить в 2 раза.
176
Вариант N6.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001, стоимость страховки 10$. Определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если суммы всех выплат уменьшить в 2 раза.
2.В условии предыдущей задачи определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
3.В условии задачи 1 определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
4.В условии задачи 1 определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если на 10% увеличится стоимость страховки.
5.В условии задачи 1 определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если на 20% увеличится стоимость страховки.
Вариант N7.
1.Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), определить, с какой точностью необходимо округлять слагаемые, чтобы точность суммы была не менее 0.001 с вероятностью не менее 0.95.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком числе слагаемых точность суммы будет не менее 0.001 с вероятностью не менее 0.95.
3. |
Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
1 |
2 |
3 |
|||
P 0.1 |
0.2 |
0.7 . |
|||||
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин Xi превзойдет |
||||||
|
700. |
|
|
|
|
|
|
4. |
Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, |
||||||
|
что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале |
||||||
|
(-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95, |
||||||
|
будет лежать суммарная ошибка. |
|
|
|
|||
5. |
Случайные |
величины Xi независимы и каждая |
задана |
рядом |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
P 0.1 |
0.2 |
0.6 |
0.1 . Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин |
|||
|
j |
|
|
|
|
|
|
Xi не превзойдет 600.
Вариант N8.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, на сколько уменьшится
177
вероятность убытка для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
2.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Определить при какой вероятности получения 100 очков (вместо 0.1), вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находится в пределах (0.8; 0.9).
3.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 90 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 1$, 4-х -10000$, 5 - 1000000$. Найти границы практически возможных выплат по лотерее, если в ней участвует 1000000 человек.
4.Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.99, будет лежать суммарная ошибка.
5. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
i |
1 |
2 |
3 |
P |
0.1 |
0.2 |
0.7 . |
|
|
i |
|
|
|
Найти вероятность, что сумма 200 случайных величин Xi превзойдет 700.
Вариант N9.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Найти вероятность того, что прибыль страховой компании не превысит 1000$.
2.В условии предыдущей задачи определить, на сколько увеличится вероятность убытка для страховой компании, если сумму взноса уменьшить
в2 раза.
3.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
4.В условии задачи 1 определить, при каком числе застрахованных прибыль составит не менее 1500$.
5.Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), определить, при каком числе слагаемых точность суммы будет не менее 0.001 с вероятностью не менее 0.95.
Вариант N10.
1.500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.05;1/6+0.05)?
2.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
3.Случайная величина Х равна сумме очков, выпавших при N независимых
178
бросаниях симметричной игральной кости. Выбрать N так, чтобы
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
P |
|
|
|
−3.5 |
|
≥ 0.1 |
≤ 0.1. |
|
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
5.В условии предыдущей задачи определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее 0.9.
Вариант N11.
1.Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95, будет лежать суммарная ошибка.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком числе слагаемых точность суммы будет не менее 0.001 с вероятностью не менее 0.9.
3.Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом
1 |
2 |
3 |
4 |
. Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин |
P 0.1 |
0.2 |
0.6 |
0.1 |
|
j |
|
|
|
|
Xi не превзойдет 600.
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
5.В условии предыдущей задачи определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если на 20% увеличится стоимость страховки.
Вариант N12.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить при каком количестве застрахованных вероятность того, что прибыль страховой компании превысит 1000$, будет не более 0.1.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее 0.95.
179
3.500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.05;1/6+0.05)?
4.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
5.Случайная величина Х равна сумме очков, выпавших при N независимых
бросаниях симметричной игральной кости. Выбрать N так, чтобы
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
P |
|
|
|
−3.5 |
|
≥ 0.1 |
≤ 0.1. |
|
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант N13.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если на 10% увеличится стоимость страховки.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком количестве застрахованных вероятность того, что прибыль страховой компании превысит 1000$, будет не более 0.1.
3.В условии задачи 1 определить. при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее
0.9.
4.Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.99, будет лежать суммарная ошибка.
5. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
1 |
2 |
3 |
P 0.1 |
0.2 |
0.7 . |
|
|
j |
|
|
Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин Xi превзойдет
700.
Вариант N14.
1.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 90 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 1$, 4-х -10000$, 5 - 1000000$. Найти границы практически возможных выплат по лотерее, если в ней участвует 1000000 человек.
2.В условии предыдущей задачи определить нижнюю границу цены билета, при которой лотерея не принесет убытка организаторам.
3.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Найти вероятность убытка для страховой компании, если стоимость страховки 10$.
180
4.В условии предыдущей задачи определить, при каком количестве застрахованных вероятность убытка для страховой компании не превысит
0.1.
5.По каналу связи передается текст, состоящий из 0 и 1. За один сеанс передается 50 символов, причем их соотношение определяется как 2:3. Каждое из переданных значений независимо друг от друга может быть искажено с вероятностями соответственно 0.1 и 0.05. Какова вероятность, что сумма переданных значений Sum будет удовлетворять неравенству
15<Sum<35.
Вариант N15.
1. Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), определить при каком числе слагаемых точность суммы будет не менее 0.000 с вероятностью не менее 0.99
2. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
1 |
2 |
3 |
P 0.1 |
0.2 |
0.7 . |
|
|
j |
|
|
Найти вероятность, что сумма 200 случайных величин Xi превзойдет 700.
3.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если суммы всех выплат уменьшить в 2 раза.
4.В условии предыдущей задачи определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
5.500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.05;1/6+0.05)?
Вариант N16.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее 0.9.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком страховом взносе вероятность убытка для страховой компании будет не более 0.05.
3.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность прибыли для страховой компании не менее 2000$ будет не более 0.2.
4.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
5.В предыдущей задаче найти при каком числе выстрелов вероятность набрать
181
не менее 200 очков превышает 0.9.
Вариант N17.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Найти вероятность убытка для страховой компании, если стоимость страховки 10$.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее 0.9.
3.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность убытка для страховой компании будет не более 0.05.
4.По каналу связи передается текст, состоящий из 0 и 1. За один сеанс передается 100 символов, причем их соотношение определяется как 1:4. Каждое из переданных значений независимо друг от друга может быть искажено с вероятностями соответственно 0.01 и 0.05. Какова вероятность, что сумма переданных значений Sum будет удовлетворять неравенству
75<Sum<85.
5.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Определить при какой вероятности получения 100 очков (вместо 0.1), вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находится в пределах (0.8; 0.9).
Вариант N18.
1.500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.05;1/6+0.05)?
2.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
3.В предыдущей задаче найти при каком числе выстрелов вероятность набрать не менее 200 очков превышает 0.9.
4. Случайные |
величины |
Xi независимы |
и |
каждая |
задана рядом |
|||
1 |
2 |
3 |
4 |
. Найти |
вероятность того, |
что |
сумма |
2100 случайных |
P 0.1 |
0.2 |
0.6 |
0.1 |
|||||
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
величин Xi не превзойдет 6000.
5.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001, стоимость страховки 10$. Определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
182
Вариант N19.
1. В условии задачи №2 1 варианта определить при каком числе слагаемых точность суммы будет не менее 0.001 с вероятностью не менее 0.95.
2. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
1 |
2 |
3 |
P 0.1 |
0.2 |
0.7 . |
|
|
j |
|
|
Найти вероятность, что сумма 200 случайных величин Xi превзойдет 700.
3.Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95, будет лежать суммарная ошибка.
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. На сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если на 10% увеличится стоимость страховки.
5.В условии предыдущей задачи определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если выплаты по смерти уменьшатся в 2 раза.
Вариант N20.
1. Случайная величина Х равна сумме очков, выпавших при N независимых бросаниях симметричной игральной кости. Выбрать N так, чтобы
|
|
|
X |
|
|
|
|
≤ 0.1 . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
− |
3.5 |
|
|
||
|
P |
|
N |
≥ 0.1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, |
|||||||
|
что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале |
|||||||
|
(-0.0005,0.0005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.99, |
|||||||
|
будет лежать суммарная ошибка. |
|||||||
3. |
Случайные |
величины Xi независимы и каждая задана рядом |
||||||
|
P |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
0.1 |
0.2 |
0.6 |
0.1 . Найти вероятность того, что сумма 300 случайных величин |
||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
Xi не превзойдет 750.
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если в 3 раза увеличится число застрахованных.
5.В условии предыдущей задачи определить, на сколько увеличится вероятность прибыли, превышающей 1000$ для страховой компании, если на 5% увеличится стоимость страховки.
|
|
|
183 |
|
Вариант N21. |
1 |
2 |
3 |
|
1. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
||||
P 0.1 |
0.2 |
0.7 . |
||
|
j |
|
|
Найти вероятность того, что сумма 50 случайных величин Xi превзойдет 100.
2.Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95, будет лежать суммарная ошибка.
3.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, как необходимо изменить выплату по травмам, чтобы вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 800$ была не менее 0.95.
4.В условии предыдущей задачи определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если на 25% увеличится число застрахованных.
5.500 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.01;1/6+0.01)?
Вариант N22.
1.По каналу связи передается текст, состоящий из 0 и 1. За один сеанс передается 200 символов, причем их соотношение определяется как 1:1. Каждое из переданных значений независимо друг от друга может быть искажено с вероятностями соответственно 0.1 и 0.075. Какова вероятность, что сумма переданных значений Sum будет удовлетворять неравенству
90<Sum<110.
2.В условии предыдущей задачи определить границы интервала, в котором будет находиться значение Sum с вероятностью, не менее 0.99.
3.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
4.В условии предыдущей задачи определить, при какой вероятности получения 10 очков (вместо 0.4), вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находится в пределах (0.8; 0.9).
5.В условии задачи 3 определить, какой необходимо установить выигрыш вместо 100 очков, чтобы вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находилась в пределах (0.9; 0.95).
Вариант N23.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$
вслучае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, как необходимо изменить выплату по травме, чтобы вероятность убытка для страховой компании была
184
не более 0.01.
2. В условии предыдущей задачи определить, на сколько увеличится вероятность убытка для страховой компании, если сумму взноса уменьшить в 2 раза.
3. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
1 |
2 |
3 |
P 0.1 |
0.2 |
0.7 . |
|
|
j |
|
|
Найти вероятность, что сумма 500 случайных величин Xi превзойдет 1200.
4.Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95, будет лежать суммарная ошибка.
5.Случайная величина Х равна сумме очков, выпавших при N независимых
бросаниях симметричной игральной кости. Выбрать N так, чтобы
|
|
X |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
P |
|
|
|
− 3.5 |
|
≥ 0.3 |
≤ 0.15 . |
|
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант N24.
1.Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.99, будет лежать суммарная ошибка.
2.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 90 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 1$, 4-х -10000$, 5 - 1000000$. Найти границы практически возможных выплат по лотерее, если в ней участвует 1000000 человек.
3.В условии предыдущей задачи определить нижнюю границу цены билета, при которой лотерея не принесет убытка организаторам.
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, при каком количестве застрахованных вероятность получить для страховой компании прибыль менее 500$ будет не менее 0.9.
5.В условии предыдущей задачи найти вероятность того, что прибыль страховой компании составит не менее 500$.
Вариант N25.
1. Складывается 10000 чисел, округленных с точностью до 0.001. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.0005,0.0005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.99, будет лежать суммарная ошибка.
2. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом |
1 |
2 |
3 |
P 0.1 |
0.5 |
0.4 . |
|
|
j |
|
|
Найти вероятность, что сумма 100 случайных величин Xi превзойдет 250.
185
3.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
4.В предыдущей задаче найти при каком числе выстрелов вероятность набрать не менее 200 очков превышает 0.9.
5.В условии задачи 3 определить, какой необходимо установить выигрыш вместо 100 очков, чтобы вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находилась в пределах (0.9; 0.95).
Вариант N26.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Найти вероятность того, что прибыль страховой компании не превысит 1000$.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком количестве застрахованных вероятность того, что прибыль страховой компании превысит 1000$, будет не более 0.1.
3.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее
0.9.
4.Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 90 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 1$, 4-х -10000$, 5 - 1000000$. Определить количество участников, необходимое для того, чтобы прибыль компании составила не менее, чем 10000$, если стоимость 1 билета 0.5$.
5.1000 раз подбрасывается игральная кость. Какова вероятность того, что частота выпадения шестерки окажется в интервале (1/6-0.025;1/6+0.025)?
Вариант N27.
1.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
2.В предыдущей задаче найти при каком числе выстрелов вероятность набрать не менее 200 очков превышает 0.9.
3.В условии задачи 1 определить, какой необходимо установить выигрыш вместо 100 очков, чтобы вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах находилась в пределах (0.9; 0.95).
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, как необходимо изменить выплату по травмам, чтобы вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 800$ была не менее 0.95.
5.В условии предыдущей задачи определить, какую сумму прибыли дополнительно получит компания с вероятностью 0.99, если стоимость
186
страховки вырастет на 3$.
Вариант N28.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если суммы всех выплат уменьшить в 2 раза.
2.В условии предыдущей задачи определить, на сколько уменьшится вероятность убытка для страховой компании, если в 2 раза увеличится число застрахованных.
3.В условии задачи 1 определить, при каком количестве застрахованных вероятность получить для страховой компании прибыль менее 1000$ будет не менее 0.9.
4.Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95,
будет лежать суммарная ошибка.
5. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом
1 |
2 |
3 |
4 |
. Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин |
P 0.1 |
0.2 |
0.6 |
0.1 |
|
j |
|
|
|
|
Xi не превзойдет 600.
Вариант N29.
1.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Найти вероятность убытка для страховой компании, если стоимость страховки 10$.
2.В условии предыдущей задачи определить, при каком количестве застрахованных вероятность убытка для страховой компании не превысит
0.1.
3.В условии задачи 1 определить, при каком страховом взносе вероятность получить прибыль для страховой компании не менее 500$ будет не менее
0.9.
4.Складывается 5000 чисел, округленных с точностью до 0.01. Предполагая, что ошибки округления независимы и равномерно распределены в интервале (-0.005,0.005), найти пределы, в которых с вероятность, не меньшей 0.95,
будет лежать суммарная ошибка. |
|
|
||||
5. Случайные |
|
величины |
Xi независимы |
и каждая |
задана рядом |
|
2 |
4 |
6 |
8 |
вероятность того, |
что сумма |
200 случайных |
P 0.5 |
0.25 |
0.15 |
0.1 . Найти |
|||
j |
|
|
|
|
|
|
величин Xi не превзойдет 750.
187
Вариант N30.
1.При одном выстреле по мишени стрелок может получить 10 очков с вероятность 0.4 или 100 очков с вероятностью 0.1 в зависимости от точки попадания. Найти вероятность набрать более 200 очков при 50 выстрелах.
2.В предыдущей задаче найти, при каком числе выстрелов вероятность
набрать не менее 200 очков превышает 0.9.
3. Случайные величины Xi независимы и каждая задана рядом
1 |
2 |
3 |
4 |
. Найти вероятность того, что сумма 200 случайных величин |
P 0.1 |
0.2 |
0.6 |
0.1 |
|
j |
|
|
|
|
Xi не превзойдет 600.
4.По условиям страховки клиенту выплачивается 80$ в случае травмы и 1000$ в случае смерти. Застраховано 200 человек одного возраста, стоимость страховки 10$. Известно, что вероятность смерти для данного возраста 0.00001 и вероятность травмы 0.0001. Определить, при каком количестве застрахованных вероятность получить для страховой компании прибыль менее 1500$ будет не менее 0.9.
5.В условии предыдущей задачи определить, при каком страховом взносе вероятность убытка для страховой компании будет не более 0.05.
188
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 2001. – 576с.
2.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и Связь, 1983. – 416с.
3.Гихман И.И. Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. – К.: Вища шк., 1988. – 438с.
4.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая шк., 1979. – 477с.
5.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 400с.
6.Емельянов Г.В. Скитович В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. – Л.: ЛГУ, 1967. – 332с.
7.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1970.
–656с.
8.Коваленко И.Н., Гнеденко Б.В. Теория вероятностей: Учебник.-К.: Вища шк., 1990.-328 с. ил.
9.Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебник для вузов.-2-е изд., доп. - М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1989.-320 с.
10.Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. М.: Наука, 1968.- 119 с.
11.Никифоровский В.А. Вероятностный мир.-М. :Наука,1992, - 174с., ил.
12.Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражнения.-
М.:Наука, 1973.- 365 с.
13.Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей.-М.:Изд-во Моск.
ун-та, 1963.-149 с.
14.Чудесенко В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. -М.:Высш. шк., 1983.-112 с.
15.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х т., тт. 1
и 2. – М.: Мир, 1968. – 312 с.
16.Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М.: Наука, 1975. – 186 с.
17.Ламперти Дж. Вероятность. – М.: Мир, 1988. – 618 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ A
Функция распределения Ф(х) нормального закона N(0,1)
Ф(х) = 1 |
х |
−t 2 |
∫е |
2 dx |
|
2π |
−∞ |
|
Х |
0,00 |
0,01 |
0,02 |
0,03 |
0,04 |
0,05 |
0,06 |
0,07 |
0,08 |
0,09 |
0,0 |
0,5000 |
0,5040 |
0,5080 |
0,5120 |
0,5160 |
0,5199 |
0,5239 |
0,5279 |
0,5319 |
0,5359 |
0,1 |
0,5398 |
0,5438 |
0,5478 |
0,5517 |
0,5557 |
0,5596 |
0,5636 |
0,5675 |
0,5714 |
0,5753 |
0,2 |
0,5793 |
0,5832 |
0,5871 |
0,5910 |
0,5948 |
0,5987 |
0,6026 |
0,6064 |
0,6103 |
0,6164 |
0,3 |
0,6179 |
0,6217 |
0,6255 |
0,6293 |
0,6331 |
0,6368 |
0,6406 |
0,6443 |
0,6480 |
0,6517 |
0,4 |
0,6554 |
0,6591 |
0,6628 |
0,6664 |
0,6700 |
0,6736 |
0,6772 |
0,6808 |
0,6844 |
0,6879 |
0,5 |
0,6915 |
0,6950 |
0,6985 |
0,7019 |
0,7054 |
0,7088 |
0,7123 |
0,7157 |
0,7190 |
0,7224 |
0,6 |
0,7257 |
0,7291 |
0,7324 |
0,7357 |
0,7389 |
0,7422 |
0,7454 |
0,7486 |
0,7517 |
0,7549 |
0,7 |
0,7580 |
0,7611 |
0,7624 |
0,7673 |
0,7704 |
0,7734 |
0,7764 |
0,7794 |
0,7823 |
0,7852 |
0,8 |
0,7881 |
0,7910 |
0,7939 |
0,7967 |
0,7993 |
0,8023 |
0,8051 |
0,8078 |
0,8106 |
0,8133 |
0,9 |
0,8159 |
0,8186 |
0,8212 |
0,8238 |
0,8264 |
0,8289 |
0,8315 |
0,8340 |
0,8365 |
0,8389 |
1,0 |
0,8413 |
0,8438 |
0,8461 |
0,8485 |
0,8508 |
0,8531 |
0,8554 |
0,8577 |
0,8599 |
0,8621 |
1,1 |
0,8643 |
0,8665 |
0,8636 |
0,8708 |
0,8729 |
0,8749 |
0,8770 |
0,8790 |
0,8810 |
0,8830 |
1,2 |
0,8849 |
0,8869 |
0,8888 |
0,8907 |
0,8925 |
0,8944 |
0,8962 |
0,8980 |
0,8997 |
0,9015 |
1,3 |
0,9032 |
0,9049 |
0,9066 |
0,9082 |
0,9099 |
0,9115 |
0,9131 |
0,9147 |
0,9162 |
0,9177 |
1,4 |
0,9192 |
0,9207 |
0,9222 |
0,9236 |
0,9251 |
0,9265 |
0,9279 |
0,9292 |
0,9306 |
0,9319 |
1,5 |
0,9332 |
0,9345 |
0,9357 |
0,9370 |
0,9382 |
0,9394 |
0,9406 |
0,9418 |
0,9429 |
0,9441 |
1,6 |
0,9452 |
0,9463 |
0,9474 |
0,9484 |
0,9495 |
0,9505 |
0,9515 |
0,9525 |
0,9535 |
0,9543 |
1,7 |
0,9554 |
0,9564 |
0,9573 |
0,9582 |
0,9591 |
0,9599 |
0,9608 |
0,9616 |
0,9625 |
0,9633 |
1,8 |
0,9641 |
0,9649 |
0,9656 |
0,9664 |
0,9671 |
0,9678 |
0,9686 |
0,9693 |
0,9699 |
0,9706 |
1,9 |
0,9713 |
0,9719 |
0,9726 |
0,9732 |
0,9738 |
0,9744 |
0,9759 |
0,9756 |
0,9761 |
0,9767 |
2,0 |
0,9772 |
0,9778 |
0,9783 |
0,9788 |
0,9793 |
0,9798 |
0,9803 |
0,9808 |
0,9812 |
0,9817 |
2,1 |
0,9821 |
0,9826 |
0,9830 |
0,9834 |
0,9838 |
0,9842 |
0,9846 |
0,9850 |
0,9854 |
0,9857 |
2,2 |
0,9861 |
0,9864 |
0,9868 |
0,9871 |
0,9875 |
0,9878 |
0,9881 |
0,9884 |
0,9887 |
0,9890 |
2,3 |
0,9918 |
0,9896 |
0,9898 |
0,9901 |
0,9904 |
0,9906 |
0,9909 |
0,9911 |
0,9913 |
0,9916 |
2,4 |
0,9938 |
0,9920 |
0,9922 |
0,9925 |
0,9927 |
0,9929 |
0,9931 |
0,9932 |
0,9934 |
0,9936 |
2,5 |
0,9893 |
0,9940 |
0,9941 |
0,9943 |
0,9945 |
0,9946 |
0,9948 |
0,9949 |
0,9951 |
0,9952 |
2,6 |
0,9953 |
0,9955 |
0,9955 |
0,9957 |
0,9959 |
0,9960 |
0,9961 |
0,9962 |
0,9963 |
0,9964 |
2,7 |
0,9965 |
0,9966 |
0,9967 |
0,9968 |
0,9969 |
0,9970 |
0,9971 |
0,9972 |
0,9973 |
0,9974 |
2,8 |
0,9974 |
0,9975 |
0,9976 |
0,9977 |
0,9977 |
0,9978 |
0,9979 |
0,9979 |
0,9980 |
0,9981 |
2,9 |
0,9981 |
0,9982 |
0,9982 |
0,9983 |
0,9984 |
0,9984 |
0,9985 |
0,9985 |
0,9986 |
0,9986 |
3,0 |
0,9987 |
0,9987 |
0,9987 |
0,9988 |
0,9988 |
0,9989 |
0,9989 |
0,9989 |
0,9990 |
0,9990 |
3,1 |
0,9990 |
0,9991 |
0,9991 |
0,9991 |
0,9992 |
0,9992 |
0,9992 |
0,9992 |
0,9993 |
0,9993 |
3,2 |
0,9993 |
0,9993 |
0,9994 |
0,9994 |
0,9994 |
0,9994 |
0,9994 |
0,9995 |
0,9995 |
0,9995 |
3,3 |
0,9995 |
0,9995 |
0,9995 |
0,9996 |
0,9996 |
0,9996 |
0,9996 |
0,9996 |
0,9996 |
0,9997 |
3,4 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9997 |
0,9998 |
Квантили u(p) нормального распределения N(0,1):
p |
0,9 |
0,95 |
0,975 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
0,9995 |
u(p) |
1,282 |
1,645 |
1,96 |
2,326 |
2,576 |
3,09 |
3,291 |
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) = |
1 |
e− |
x2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
Значения функции |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
7 |
8 |
9 |
X |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3982 |
|
|
|
|
|
|
|||
0,0 |
0,3989 |
3989 |
3989 |
|
3988 |
3986 |
3984 |
|
|
3980 |
3977 |
3973 |
0,0 |
||||
0,1 |
3970 |
3965 |
3961 |
|
3956 |
3951 |
3945 |
3939 |
|
|
3932 |
3925 |
3918 |
0,1 |
|||
0,2 |
3910 |
3902 |
3894 |
|
3885 |
3876 |
3867 |
3857 |
|
|
3847 |
3836 |
3825 |
0,2 |
|||
0,3 |
3814 |
3802 |
3790 |
|
3778 |
3765 |
3752 |
3739 |
|
|
3726 |
3712 |
3697 |
0,3 |
|||
0,4 |
3683 |
3668 |
3653 |
|
3637 |
3621 |
3605 |
3589 |
|
|
3572 |
3555 |
3538 |
0,4 |
|||
0,5 |
3521 |
3503 |
3485 |
|
3467 |
3448 |
3429 |
|
3410 |
|
|
3391 |
3372 |
3352 |
0,5 |
||
0,6 |
3332 |
3312 |
3292 |
|
3271 |
3251 |
3230 |
|
3209 |
|
|
3187 |
3166 |
3144 |
0,6 |
||
0,7 |
3123 |
3101 |
3079 |
|
3056 |
3034 |
3011 |
|
2989 |
|
|
2966 |
2943 |
2920 |
0,7 |
||
0,8 |
2897 |
2874 |
2850 |
|
2827 |
2803 |
2780 |
|
2756 |
|
|
2732 |
2709 |
2685 |
0,8 |
||
0,9 |
2661 |
2637 |
2613 |
|
2589 |
2565 |
2541 |
|
2516 |
|
|
2492 |
2468 |
2444 |
0,9 |
||
1,0 |
0,2420 |
2396 |
2371 |
|
2347 |
2323 |
2299 |
|
2275 |
|
|
2251 |
2227 |
2203 |
1,0 |
||
1,1 |
2179 |
2155 |
2131 |
|
2107 |
2083 |
2059 |
|
2036 |
|
|
2012 |
1989 |
1965 |
1,1 |
||
1,2 |
1942 |
1919 |
1895 |
|
1872 |
1849 |
1826 |
|
1804 |
|
|
1781 |
1758 |
1736 |
1,2 |
||
1,3 |
1714 |
1691 |
1669 |
|
1647 |
1626 |
1604 |
|
1582 |
|
|
1561 |
1539 |
1518 |
1,3 |
||
1,4 |
1497 |
1476 |
1456 |
|
1435 |
1415 |
1394 |
|
1374 |
|
|
1354 |
1334 |
1315 |
1,4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1,5 |
1295 |
1276 |
1257 |
|
1238 |
1219 |
1200 |
|
1182 |
|
|
1163 |
1145 |
1127 |
1,5 |
||
1,6 |
1109 |
1092 |
1074 |
|
1057 |
1040 |
1023 |
|
1006 |
|
|
0989 |
0973 |
0957 |
1,6 |
||
1,7 |
0940 |
0925 |
0909 |
|
0893 |
0878 |
0863 |
|
0848 |
|
|
0833 |
0818 |
0804 |
1,7 |
||
1,8 |
0790 |
0775 |
0761 |
|
0748 |
0734 |
0721 |
|
0707 |
|
|
0694 |
0681 |
0669 |
1,8 |
||
1,9 |
0656 |
0644 |
0632 |
|
0620 |
0608 |
0596 |
|
0584 |
|
|
0573 |
0562 |
0551 |
1,9 |
||
2,0 |
0,0540 |
0529 |
0519 |
|
0508 |
0498 |
0488 |
|
0478 |
|
|
0468 |
0459 |
0449 |
2,0 |
||
2,1 |
0440 |
0431 |
0422 |
|
0413 |
0404 |
0396 |
|
0388 |
|
|
0379 |
0371 |
0363 |
2,1 |
||
2,2 |
0355 |
0347 |
0339 |
|
0332 |
0325 |
0317 |
|
0310 |
|
|
0303 |
0297 |
0290 |
2,2 |
||
2,3 |
0283 |
0277 |
0270 |
|
0264 |
0258 |
0252 |
|
0246 |
|
|
0241 |
0235 |
0229 |
2,3 |
||
2,4 |
0224 |
0219 |
0213 |
|
0208 |
0203 |
0198 |
|
0194 |
|
|
0189 |
0184 |
0180 |
2,4 |
||
2,5 |
|
|
|
|
0163 |
0158 |
0154 |
|
|
|
0147 |
|
0139 |
|
|||
0175 |
0171 |
0167 |
|
|
0151 |
|
|
0143 |
2,5 |
||||||||
2,6 |
0136 |
0132 |
0129 |
|
0126 |
0122 |
0119 |
|
0116 |
|
|
0113 |
0110 |
0107 |
2,6 |
||
2,7 |
0104 |
0101 |
0099 |
|
0096 |
0093 |
0091 |
|
0088 |
|
|
0086 |
0084 |
0081 |
2,7 |
||
2,8 |
0079 |
0077 |
0075 |
|
0073 |
0071 |
0069 |
|
0067 |
|
|
0065 |
0063 |
0061 |
2,8 |
||
2,9 |
0060 |
0058 |
0056 |
|
0055 |
0053 |
0051 |
|
0050 |
|
|
0048 |
0047 |
0046 |
2,9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,0 |
0,0044 |
0043 |
0042 |
|
0040 |
0039 |
0038 |
|
0037 |
|
|
0036 |
0035 |
0034 |
3,0 |
||
3,1 |
0033 |
0032 |
0031 |
|
0030 |
0029 |
0028 |
|
0027 |
|
|
0026 |
0025 |
0025 |
3,1 |
||
3,2 |
0024 |
0023 |
0022 |
|
0022 |
0021 |
0020 |
|
0020 |
|
|
0019 |
0018 |
0018 |
3,2 |
||
3,3 |
0017 |
0017 |
0016 |
|
0016 |
0015 |
0015 |
|
0014 |
|
|
0014 |
0013 |
0013 |
3,3 |
||
3,4 |
0012 |
0012 |
0012 |
|
0011 |
0011 |
0010 |
|
0010 |
|
|
0010 |
0009 |
0009 |
3,4 |
||
3,5 |
|
|
|
|
0008 |
0008 |
0007 |
|
|
|
0007 |
|
0006 |
|
|||
0009 |
0008 |
0008 |
|
|
0007 |
|
|
0007 |
3,5 |
||||||||
3,6 |
0006 |
0006 |
0006 |
|
0005 |
0005 |
0005 |
|
0005 |
|
|
0005 |
0005 |
0004 |
3,6 |
||
3,7 |
0004 |
0004 |
0004 |
|
0004 |
0004 |
0004 |
|
0003 |
|
|
0003 |
0003 |
0003 |
3,7 |
||
3,8 |
0003 |
0003 |
0003 |
|
0003 |
0003 |
0002 |
|
0002 |
|
|
0002 |
0002 |
0002 |
3,8 |
||
3,9 |
0002 |
0002 |
0002 |
|
0002 |
0002 |
0002 |
|
0002 |
|
|
0002 |
0001 |
0001 |
3,9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
0 |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
|
|
|
7 |
8 |
9 |
X |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ
1.Теоретико-множественная интерпретация событий..…………........ 3
2.Классическая формула вычисления вероятности..………………….. 13
3.Геометрическая вероятность................………..….………………….. 27
4.Теоремы сложения и умножения.............….………………………… 42
5.Формула полной вероятности и Байеса......………...…….................. 55
6.Повторение опытов..........……………..………….…........................... 76
7.Повторение опытов (при большом числе испытаний)……............... 89
8.Дискретная случайная величина..……………….…………………... 102
9.Непрерывная случайная величина...……………….………………... 114
10.Нормальное распределение...............…………….………………… 116
11.Двумерная дискретная случайная величина………….....……….... 127
12.Двумерная непрерывная случайная величина.……………….….... 142
13.Функция от случайной величины......…...…………..…………....... 144
14.Функция от двух случайных величин....……...……….…..……….. 154
15.Закон больших чисел....…………...……………................................ 157
16.Центральная предельная теорема.......………………....………........ 174
Список рекомендуемой литературы...............…………………………. 188 Приложение А. Значения нормальной функции распределения Φ(x). 189 Приложение Б. Значения функции распределения φ(x)…………........ 190