Lektsii-DM

123

Нехай задано неорієнтований граф G (V,E). V {v1 , v2 , v3 , v4 } – множина вершин графа. E {e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 } – множина ребер графа.

| V | 4 – порядок графа. Граф G – 4-граф або (4,5) -граф.

Наприклад.

Задано граф G (V,E), де V {a, b, c, d}, E {ab, bc, ac, ad, cd}.

124

називається число ребер, що є інцидентними даній вершині. Степінь вершини позначається, як

deg(v), deg(v) | {e {u, v}: e E}| .

Максимальний степінь усіх вершин графу G – (G) :

(G) MAX deg(v) .

v V

Мінімальний степінь усіх вершин графу G – (G) :

(G) MIN deg(v).

v V

Оточенням вершини v називається множина усіх вершин графа G , суміжних з нею і позначається N(v) .

Наприклад.

v2

v3

v1

v4

deg(v1 ) 3,deg(v2 ) 2,deg(v3 ) 3,deg(v4 ) 2 ; (G) 3, (G) 2 ;

N(v1 ) {v2 , v3 , v4 }, N(v2 ) {v1 , v3 } ;

N(v3 ) {v1 , v2 , v4 }, N(v4 ) {v1 , v3 }.

125

Вершина v графа G називається ізольованою, якщо її степінь дорівнює нулю, deg(v) 0 .

Вершина v графа G називається висячою або кінцевою, якщо степінь цієї

V5

Унаведеному графі нема домінуючої вершини, ізольована вершина – v5 , висяча вершина – v4 .

Узагальному випадку у множині E допускається більш ніж одне ребро із однаковими кінцевими вершинами.

Такі ребра називаються паралельними або кратними.

v1 v2

Ребро, що з’єднує вершину v саму з собою, називають петлею.

v

Граф, що не містить петель, але містить кратні ребра, називається

мультиграфом.

126

v3

Граф, що містить й петлі, й кратні ребра називається псевдографом.

V2

Граф, що не містить петель й кратних ребер називається звичайним. Далі, якщо не буде особливо обумовлено, розглядаються звичайні

скінченні графи.

Лема про рукостискання

Сума степеней усіх вершин неорієнтованого звичайного графу G (V,E),| V | p, | E | q є парною та дорівнює

p

подвоєному числу ребер: deg v 2q 2 E .

i 1

Доведення.

Кожне ребро графа інцидентно двом вершинам, тому воно додає до суми степеней вершин графа число два. Оскільки кількість ребер q , отже, сума всіх степеней вершин графа дорівнює 2q та є парним числом.

127

Слідство леми про рукостискання

У будь-якому неорієнтованому звичайному графі число вершин непарним степенем парним

парних чисел, тоді S2 – сума степеней n r вершин графу, що осталися також парна, як різниця парних чисел: S2 S S1 2q S1 . Кожен доданок в сумі S2 є непарним числом, отже кількість доданків парна.

5.4 Спеціальні графи

Граф, що не містить жодного ребра, називається порожнім графом й позначається Op , де p – кількість вершин графа.

Граф, що не містить жодного ребра, жодної вершини, називається 0- графом (нуль-граф).

Тривіальний граф – (1,0)-граф.

Граф, G називається повним, якщо усі його вершини суміжні між собою або кожна його вершина є домінуючою.

Повний граф позначається Kp , де p – кількість його вершин.

Приклади зображень повних графів.

128

K1 K2

Однорідний або регулярний граф – це граф, у якого ступені всіх вершин

рівні.

Усі повні графи є регулярними. Приклади регулярних графів. Граф Петерсона

Дводольні або біграфи

Граф G (V,E) називається дводольним або біграфом, якщо множину

130

k

i 1Vi V таким чином, що будь-яке ребро графа має одну кінцеву вершину в

Vi , а іншу – в Vj .

На рисунку зображено тридольний граф.

Зауваження: вершини однієї підмножини у k -дольному графі несуміжні між собою.

5.5 Підграфи

Неорієнтований граф G (V,E) називають позначеним або перенумерованим, якщо кожній вершині графа поставлена у відповідність унікальна мітка (число, символ). Інакше граф називається абстрактним.

Позначений граф Абстрактний граф

V1

V3

Граф G (V,E) називається доповненням графа G (V,E), якщо

множина вершин графів збігається, тобто V V , а множина ребер дорівнює

E V(2) \ E .

131

Підграфом графа G (V,E) називається такий граф G1 (V1 , E1 ), у якого множина вершин є підмножиною множини вершин графу G , а множина ребер є

G1 (V1 , E1 ), у якого множина вершин дорівнює множині вершин графу G , а множина ребер є підмножина множини ребер графу G : V1 V, E1 E .

132

Породженим підграфом графа G (породженим множиною вершин V1 ) називається підграф G1 (V1 , E1 ), такий, що V1 V, E1 E й ті вершини, що суміжні у графі G , будуть також суміжні у породженому підграфі.

Наприклад.

1)Для графу G , зображеного на попередньому рисунку, граф G1 є підграф, породжений множиною вершин {v1 , v2 }, G2 є підграф, що породжений множиною вершин {v1 , v4 , v5 }, а граф G3 є підграф, породжений множиною вершин {v1 }.

2)Графи G4 ,G5 для того ж графу G являються остовними підграфами.

5.6 Ізоморфізм графів

Два графи G і H називають ізоморфними, якщо існує взаємно однозначна відповідність (бієкція) між множинами їх вершин така, що зберігається відношення суміжності, позначення G H .

Наприклад.