Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Lektsii-DM

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
2.45 Mб
Скачать

123

Нехай задано неорієнтований граф G (V,E). V {v1 , v2 , v3 , v4 } – множина вершин графа. E {e1 ,e2 ,e3 ,e4 ,e5 } – множина ребер графа.

| V | 4 – порядок графа. Граф G 4-граф або (4,5) -граф.

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

e1

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3

v3

 

v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e4

 

 

 

 

 

 

 

e5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v4

 

 

3) Матричні способи опису неорграфів

 

 

Матриця суміжності – квадратна матриця:

 

 

 

 

AG

 

aij

 

,i, j

 

 

, де

 

 

 

 

 

 

1,p

 

 

 

a

 

1,

 

 

e i, j E

.

 

 

ij

 

 

 

e i, j E

 

 

 

0,

 

 

 

 

Матриця інцидентності – прямокутна матриця:

 

 

BG

 

bij

 

,i

 

j

 

, де

 

 

 

 

 

1,p;

1,q

 

 

1,

 

i

V , j E , k V : j {i, k }

.

b ij

 

i

V , j E, k V : j {i, k }

0,

 

 

Наприклад.

Задано граф G (V,E), де V {a, b, c, d}, E {ab, bc, ac, ad, cd}.

Матриця суміжності AG :

 

 

 

 

 

 

а

b

c

d

 

 

 

 

 

 

 

а

0

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

b

1

0

1

0

 

 

 

 

 

 

 

c

1

1

0

1

 

 

 

 

 

 

 

d

1

0

1

0

 

 

 

 

 

 

124

Матриця інцидентності BG :

 

 

 

 

 

 

 

 

ab

 

bc

ас

 

ad

сd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

1

 

0

1

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

1

 

1

0

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

0

 

1

1

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

0

 

0

0

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.3 Степінь вершини у неорграфах

 

 

 

Степенем або валентністю вершини

v

неорієнтованого графа G

називається число ребер, що є інцидентними даній вершині. Степінь вершини позначається, як

deg(v), deg(v) | {e {u, v}: e E}| .

Максимальний степінь усіх вершин графу G – (G) :

(G) MAX deg(v) .

v V

Мінімальний степінь усіх вершин графу G – (G) :

(G) MIN deg(v).

v V

Оточенням вершини v називається множина усіх вершин графа G , суміжних з нею і позначається N(v) .

Наприклад.

v2

v3

v1

v4

deg(v1 ) 3,deg(v2 ) 2,deg(v3 ) 3,deg(v4 ) 2 ; (G) 3, (G) 2 ;

N(v1 ) {v2 , v3 , v4 }, N(v2 ) {v1 , v3 } ;

N(v3 ) {v1 , v2 , v4 }, N(v4 ) {v1 , v3 }.

125

Вершина v графа G називається ізольованою, якщо її степінь дорівнює нулю, deg(v) 0 .

Вершина v графа G називається висячою або кінцевою, якщо степінь цієї

вершини дорівнює одиниці, deg(v) 1.

 

Вершина v (p,q)-графа G називається

домінуючою, якщо її степінь

дорівнює p 1, deg(v) p 1 .

 

Наприклад.

 

V2

V3

V5

V1

V4

Унаведеному графі нема домінуючої вершини, ізольована вершина – v5 , висяча вершина – v4 .

Узагальному випадку у множині E допускається більш ніж одне ребро із однаковими кінцевими вершинами.

Такі ребра називаються паралельними або кратними.

v1 v2

Ребро, що з’єднує вершину v саму з собою, називають петлею.

v

Граф, що не містить петель, але містить кратні ребра, називається

мультиграфом.

126

v1

v2

v3

Граф, що містить й петлі, й кратні ребра називається псевдографом.

V2

V1

V3

Граф, що не містить петель й кратних ребер називається звичайним. Далі, якщо не буде особливо обумовлено, розглядаються звичайні

скінченні графи.

Лема про рукостискання

Сума степеней усіх вершин неорієнтованого звичайного графу G (V,E),| V | p, | E | q є парною та дорівнює

p

подвоєному числу ребер: deg v 2q 2 E .

i 1

Доведення.

Кожне ребро графа інцидентно двом вершинам, тому воно додає до суми степеней вершин графа число два. Оскільки кількість ребер q , отже, сума всіх степеней вершин графа дорівнює 2q та є парним числом.

127

Слідство леми про рукостискання

У будь-якому неорієнтованому звичайному графі число вершин непарним степенем парним

 

 

Доведення.

 

 

Без

втрати спільності

вважатимемо, що

степінь перших r

вершин

v1 ,..., vr

– є парним числом, а степінь (p - r) вершин, що лишилися – непарне

число. Тоді, суму S усіх степеней вершин графу можна представити, як суму

двох доданків:

 

 

 

 

p

r

p

 

 

S deg vi S1 S2 deg vi deg vi .

 

 

i 1

i 1

i r 1

 

За лемою про рукостискання маємо, що S – парне число:

 

 

 

p

 

 

 

 

S deg vi 2q .

 

 

 

 

i 1

 

 

S1

– сума степеней перших r вершин графу є парним числом,

як сума

парних чисел, тоді S2 – сума степеней n r вершин графу, що осталися також парна, як різниця парних чисел: S2 S S1 2q S1 . Кожен доданок в сумі S2 є непарним числом, отже кількість доданків парна.

5.4 Спеціальні графи

Граф, що не містить жодного ребра, називається порожнім графом й позначається Op , де p – кількість вершин графа.

Граф, що не містить жодного ребра, жодної вершини, називається 0- графом (нуль-граф).

Тривіальний граф (1,0)-граф.

Граф, G називається повним, якщо усі його вершини суміжні між собою або кожна його вершина є домінуючою.

Повний граф позначається Kp , де p – кількість його вершин.

Приклади зображень повних графів.

128

K3

K4

K5

K1 K2

Однорідний або регулярний граф – це граф, у якого ступені всіх вершин

рівні.

Усі повні графи є регулярними. Приклади регулярних графів. Граф Петерсона

deg=2

deg=3

Дводольні або біграфи

Граф G (V,E) називається дводольним або біграфом, якщо множину

його вершин

V можна

розбити

на 2 непересічні підмножини V

та V ,

 

 

 

1

2

V1 ,V2 V, V1

V2 ,

V1 V2

V такі, що будь-яке ребро графа має одну

кінцеву вершину у V1 , а іншу у V2 .

 

 

129

Якщо у звичайному дводольному графі G (V,E) із розбиттям (V1 ,V2 ) :vi V1 , vj V2 e {vi , vj } E , то такий дводольний граф називається

повним дводольним графом.

У повному дводольному графі довільна вершина із однієї долі суміжна довільній вершині із другої долі, й навпаки.

Позначається повний дводольний граф, як:

Kp1 ,p2 , де V1 p1, V2 p2.

На рисунку представлено повні дводольні графи K3,3 (із відомої задачі про три будинки та три колодязі) та K2,2 .

Повний дводольний граф K1,n називається зіркою.

На рисунку зображено зірку K1,4 .

k -дольні графи

Граф G (V,E) називають k -дольним, якщо множину його вершин V

можна розбити на підмножини Vi ,i 1,k , i, j 1,k, i j: Vi Vj ,

130

k

i 1Vi V таким чином, що будь-яке ребро графа має одну кінцеву вершину в

Vi , а іншу – в Vj .

На рисунку зображено тридольний граф.

Зауваження: вершини однієї підмножини у k -дольному графі несуміжні між собою.

5.5 Підграфи

Неорієнтований граф G (V,E) називають позначеним або перенумерованим, якщо кожній вершині графа поставлена у відповідність унікальна мітка (число, символ). Інакше граф називається абстрактним.

Позначений граф Абстрактний граф

V1

V4

V2

V3

Граф G (V,E) називається доповненням графа G (V,E), якщо

множина вершин графів збігається, тобто V V , а множина ребер дорівнює

E V(2) \ E .

131

V1

V2

V1

V2

V3

V4

V3

V4

Граф G

 

Доповнення

 

 

 

G

 

Множина вершин графа G і його доповнення збігається та будь-які дві

вершини, що суміжні в G , несуміжні в його доповненні

 

.

 

 

G

 

Доповнення графа G

це доповнення G до повного графа, на тій же

множині вершин.

 

 

 

 

 

 

Підграфом графа G (V,E) називається такий граф G1 (V1 , E1 ), у якого множина вершин є підмножиною множини вершин графу G , а множина ребер є

також підмножиною множини ребер графу G : V1 V, E1 E .

 

 

Граф G

Підграфи G1 ,G2 ,G3 графу G

V1

V2

 

G1

 

 

 

V1

 

V2

V5

 

V1

G2

 

V3

 

 

 

 

 

 

 

V4

V5

G3

V4

 

 

 

 

 

V1

 

 

Остовним

підграфом графа

G (V,E) називається

такий підграф

G1 (V1 , E1 ), у якого множина вершин дорівнює множині вершин графу G , а множина ребер є підмножина множини ребер графу G : V1 V, E1 E .

132

Породженим підграфом графа G (породженим множиною вершин V1 ) називається підграф G1 (V1 , E1 ), такий, що V1 V, E1 E й ті вершини, що суміжні у графі G , будуть також суміжні у породженому підграфі.

Наприклад.

1)Для графу G , зображеного на попередньому рисунку, граф G1 є підграф, породжений множиною вершин {v1 , v2 }, G2 є підграф, що породжений множиною вершин {v1 , v4 , v5 }, а граф G3 є підграф, породжений множиною вершин {v1 }.

2)Графи G4 ,G5 для того ж графу G являються остовними підграфами.

 

G4

 

G5

V1

V2

V1

V2

V5

V3

V5

V3

 

 

V4

V4

5.6 Ізоморфізм графів

Два графи G і H називають ізоморфними, якщо існує взаємно однозначна відповідність (бієкція) між множинами їх вершин така, що зберігається відношення суміжності, позначення G H .

Наприклад.

 

 

 

 

 

 

 

1) Графи G та H ізоморфні між собою, бієкція V V , що доводить

цей факт, наведена у таблиці.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u V

v1

v2

v3

v4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u) V

v4

v3

v2

v1

 

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]