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3.24 Considere a matriz A =

2

2

3

1

3.Calcule:

2

1

1

 

4

2

0

2

5

(a)jAj por condensação. O que conclui quanto à invertibilidade de A? Justifique

(b)adjunta de A;

(c)A 1.

 

2

2

1

1

3

 

 

3.25 Seja A =

4

2

1

1

5

: Calcule A 1

usando a adjunta.

 

2

0

2

 

 

 

2 x

x 2

x

3

 

3.26 Considere a matriz A =

4

1

0

1

5

:

 

0

2

2

 

(a)Determine o valor de x, de modo que se verifique a igualdade det(A) = det(adj(A)).

(b)Faça x = 3 e determine a inversa de A.

 

 

1

4

1

3

 

2

0

1

1

 

 

22

0

3

 

2

1

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

0

1

7

3.27 Considere as matrizes A =

 

1

1

1

 

e B =

61

0

1

3

 

4

 

 

 

5

 

6

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

5

(a)Prove que a matriz A é invertível e calcule a terceira coluna da matriz inversa de A;

(b)Prove que a matriz B é invertível e calcule a entrada (3; 4) da matriz inversa de B.

3.28 Seja M =

2

2

m + 2

13.

 

4

m + 1

1

2

5

 

2

2

m

(a)Determine todos os valores reais de m para os quais a matriz M é invertível.

(b)Para os valores encontrados na alínea anterior, calcule, usando a matriz adjunta, a inversa da matriz M.

Regra de Cramer .

3.29 Resolva os seguintes sistemas pelo método de Cramer

 

 

 

 

 

3x + 2y

=

0

(d)

p

 

x p

 

 

y = p8

(g)

2

2

(a)

x + 2y

=

3

 

 

p2x + p2y = 0

 

 

 

 

x + 2y

 

(e)

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(b)

=

1

 

x y

=

1

 

 

5x + 2y = 1

 

<

x + 3y

z = 3

 

 

 

 

 

3x + 3z

=

0

 

 

(c)

2x + 2y

=

3

(f)

:

3x + 3y z

=

3

(h)

3x + y

=

2

8

 

 

x

 

y

=

2

 

 

 

 

 

 

<

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

2x + y

0

 

 

 

 

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 x + 23 y z

=

0

<

x z

=

1

:

y + z

=

1

8

y + 2z t = 0

>

>

<2x + 3y z = 6

x + y + z t = 1

>

>

: 3x 3y 2z + t = 0

21

3.30 Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares:

(a)

7x + 8y = 19

(b)

8x + y = 3

(c) 8x + 3y

 

z = 1

 

(6x + 7y = 11

 

>

x + z = 2

>

2x + y + z = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

<y + z = 4

<3x

 

y + 3z = 1

 

 

 

 

>

 

 

>

 

 

 

 

 

8x y + z w = 0

 

:

 

 

:

 

 

 

 

 

 

 

8y

z + w = 2

82x + y + w = 1

 

x + y

z + w = 1

 

x y + z = 0

x + y z

w = 2

(d)

>

 

(e)

>

(f)>

 

 

 

 

 

 

>x + 2y z = 1

 

>x + y + z + w = 1

>x + z 2w = 0

 

>

 

 

>

 

 

>

 

 

 

 

 

 

<

 

 

<

 

 

<

 

 

 

 

 

 

>x y 2z = 1

 

>y + w = 3

>2y z + 3w = 1

 

>

 

 

>

 

 

>

 

 

 

 

 

 

>

 

 

>

 

 

>

 

 

 

 

 

 

:

 

 

:

 

 

:

 

 

 

 

 

3.31 Use o método de Cramer para obter o valor da incógnita t no sistema:

8

y + 2z t = 0

>

>

<2x + 3y z = 6

x + y + z t = 1

>

>

: 3x 3y 2z + t = 0

3.32 Considere o sistema

8

x + y = 1

<

x y + 2z = 0

:2x + y + z = 1

(a)Determine os valores de que o tornam possível e determinado.

(b)Resolva-o pela regra de Cramer, fazendo = 2.

3.33Considere o sistema

8

x 3z = 2

<

x + 2y z = 1

:2x y = 2

(a)Discuta-o em função dos parâmetros e .

(b)Resolva-o pela regra de Cramer, fazendo = 1 e = 2.

22

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

I.1 Sejam as matrizes

M =

2 x 2

1 3

e N =

2

1

0

1 3

 

1

1

1

 

 

2

1

3

 

4 1

y

2 5

 

4 z 3

8 5

(a)Determine x e y de modo que M seja uma matriz simétrica.

(b)Determine z de modo que N seja uma matriz regular.

(c)Faça z = 8 e determine N 1.

(d)As matrizes M e N são permutáveis? Justifique.

(e)Explicite e determine a matriz X tal que (XM 1 + I3) 1) = N considerando M simétrica e z = 8.

I.2 Considere a matriz real quadrada de ordem 3, M = [mij] definida por

 

j i

se

i < j

mij =

1

se

i j

(a)Construa a matriz M.

(b)M és uma matriz regular? Justifique

(c)Calcule M 1. Verifique o resultado obtido usando a definição de matriz inversa.

(d) Explicite e determine X tal que XT M = B, sendo B = [1 0 1].

I.3 Dadas as matrizes

23

2

1

0

 

=

 

 

 

 

=

1

1

 

A = 4 1

2

1 5

B

2 3

C

0

1

1

k

1

 

 

2

 

 

 

 

com k 2 R,

(a)Discuta a característica de A em função do parâmetro k.

(b)Faça k = 3 e resolva a equação matricial AT X BT = 0.

(c)Verifique se C é solução da equação x2 2x + 1 = 0.

I.4 Seja A =

2b

1

13.

 

1

b

1

5

 

47

4

1

(a)Determine b de modo que o sistema homogéneo AX = 0 tenha uma solução não nula.

(b)Para um dos valores de b encontrado na alínea anterior, determine uma solução não nula do sistema homogéneo.

23

I.5 (*) Efectuando operações elementares sobre as linhas, a matriz A é transformada na matriz R, sua forma escalonada reduzida:

23

 

1

1

0

2

5

 

R =

0

0

1

2

:

 

40

0

0

0

 

(a)Resolva o sistema AX = 0.

(b)Seja Ci a coluna i de A, i = f1; 2; 3; 4g. Suponha que B = C1 + C2. Determine a solução geral de AX = B.

I.6 Considere o seguinte sistema de equações lineares, onde a; b são parâmetros reais:

8

>ax + bz = 2

<

ax + ay + 4z = 4

>

:ay + 2z = b

(a)Discuta-o em função de a e de b.

(b)Faça a = b = 1

i.Resolva-o.

ii.Sendo A a matriz simples do sistema, justifique que A é invertível e calcule A 1.

iii.Usando A 1, confirme a solução obtida anteriormente.

I.7 Considere AX = B um sistema,onde

1 3

B = 2

 

A = 2 3 + a

2

3

2

6

3

0

2

1

7

 

0

3 7 a

22 2 + a 1

6 b 1

6

 

 

 

 

7

6

 

4

 

 

4

2

5

4

1

 

 

 

(a)Discuta-o em função dos parâmetros a e b.

(b)Faça a = b = 0 e resolva-o.

3

7

7(a; b 2 R)

5

I.8 Calcule f(0), f( 1) e f( =2) para cada função matricial f : R ! Rm;n indicada de

seguida:

 

 

 

 

2s

 

 

2 sin

 

 

 

3

 

 

 

 

0

 

(d) f( ) =

cos

0

 

(a)

f(s) =

 

2s

0

 

 

 

4

cos

sin

0

5

 

(b)

(

) =

2

 

3

 

 

 

(e) f(t) =

 

2

0

0

 

1

 

s

s

 

 

t

t

t

 

 

 

 

f s

 

2

 

 

s

3

 

 

t

 

cos t 0

 

 

 

3

(c)

f(t) =

0

2t

1

(f) f( ) =

2 sin 2

cos 2

0

 

 

 

 

t

 

t

t

5

 

4

cos 2

sin 2

 

0

 

 

 

 

4 0 1 t

1

 

 

 

0

 

0

 

1 5

Determine ainda det(f(0)) em todos os casos em que o determinante faça sentido. 24

 

2

1

y

2

0

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I.9 Seja A =

6

1

3

1

1

7

, com x; y

2

R.

Determine x e y de modo que

j

A

j

= 0 e

5

4

0

1

 

6

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

x

1

0

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A23 = 1.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

3 e B =

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

1

1

1

0

 

 

 

 

I.10 Considere as matrizes A =

2

1

 

1

2

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 2

0

2

5

4

1

0

2

5

 

 

 

 

(a)Calcule C = A 1B

(b)Determine a característica de C.

I.11 Dada a matriz A =

2 4

1

(a) Para que valores de a matriz é regular?

(b) Calcule A 1 para = 1. Verifique o resultado.

 

4

 

1

1

 

5

I.12 Considere a matriz A =

2

0

2

2

 

3

03 1

(a)Mostre que, qualquer que seja o valor de real, a característica é 3.

(b)Faça = 1 e determine a inversa.

I.13 Para que valores de a, a matriz A tem a característica igual à ordem se

 

2

3

1

a

3?

A =

4

2

1

 

4

0

1

3

5

I.14

Indique, justificando, os valores reais de x para os quais a seguinte matriz é invertível:

 

 

 

x 1

1

0

 

 

1

3 :

 

 

 

A = 2

1 x 1

0

 

 

1

 

 

 

6

 

0

1

x 1

x

1

17

 

 

 

 

1

1

0

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

4

 

 

 

3

 

 

 

5

 

 

 

2

 

1

0

 

 

 

 

I.15

Considere a matriz real

 

0

 

5 com

 

2 R.

A

= 4 a3

3a2

3a

a

 

 

0

 

0

1

 

 

 

 

(a)Calcule, usando o teorema de Laplace, det A.

(b)Para a = 0, a matriz A é invertível? Justifique.

I.16 Determine o valor de a que verifica a igualdade

det

2

2

a

2

3

= 1

 

4

1

1

2a

5

 

 

1

 

3

 

 

2

1

1

 

25

I.17 Considere a matriz 4 4, A = [aij] tal que

aij =

8

0

se

i = j

 

<

1

se

i > j

 

1

se

i < j

 

:

 

 

 

(a)Construa a matriz A.

(b)A será uma matriz regular? Justifique baseado na teoria dos determinantes.

(c)Determine A 1

.

 

 

 

 

 

 

 

I.18 Considere a matriz B =

6

1

0

2

0

7

 

1

1

x

0

:

2

3

1

1

2

3

 

6

 

 

 

 

7

 

 

4

 

 

 

 

5

 

01 2 4

(a)Determine o valor de x, de modo que se verifique a igualdade det(B) = det(adj(B)).

(b)Faça x = 3 e determine a inversa de B.

(c)Determine para que valores de x a característica de B é 4.

I.19 Considere as matrizes

2 1

 

1 3

 

2 1 3

 

2 y 3

A =

 

B =

e X =

 

1

1

1

 

1

 

x

 

4 1

0 5

 

4 0 5

 

4 z 5

(a)Discuta a característica da matriz em função de , usando a teoria dos determinantes.

(b)Faça = 0 e considere o sistema AX = B. Resolva o sistema usando a teoria matricial.

I.20 Considere o seguinte sistema de equações lineares:

8

x + y + z = 2

<

3x + 3y z = 6

:x y + z = 1

(a)Represente-o na forma matricial, isto é, numa equação do tipo AX = B.

(b)Resolva-o usando a teoria matricial.

I.21 Considere o seguinte sistema de equações lineares:

8

x + y + z = 1

<

x + 2y + 3z = 1

:x + 4y + az = 3

(a)Calcule, em função de a, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Deduza os valores reais a 2 R tais que o sistema indicado é um sistema possível determinado.

26

(b) Use o método de Cramer para obter o valor da incógnita y se a = 0.

I.22 Considere o seguinte sistema de equações lineares:

8

2x + y + az = a

<

4a + ay = 2

:2x + 2y + az = 7

(a)Discuta-o em função do parâmetro a.

(b)Faça a = 1 e resolva-o pela regra de Cramer.

I.23 Seja o sistema AX = B com

A =

2 k 0 2k 3

; X =

2 y 3

; B =

2 1 3

; (k R)

 

1

1

3

5

 

x

 

0

 

 

4 1

k2

5

 

4 z 5

 

4 2 5

2

(a)Discuta o sistema.

(b)Faça k = 1 e determine x, pela regra de Cramer.

27

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