ALga

(a)jAj por condensação. O que conclui quanto à invertibilidade de A? Justifique

(b)adjunta de A;

(c)A 1.

(a)Determine o valor de x, de modo que se verifique a igualdade det(A) = det(adj(A)).

(b)Faça x = 3 e determine a inversa de A.

(a)Prove que a matriz A é invertível e calcule a terceira coluna da matriz inversa de A;

(b)Prove que a matriz B é invertível e calcule a entrada (3; 4) da matriz inversa de B.

(a)Determine todos os valores reais de m para os quais a matriz M é invertível.

(b)Para os valores encontrados na alínea anterior, calcule, usando a matriz adjunta, a inversa da matriz M.

Regra de Cramer .

21

3.30 Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equações lineares:

3.31 Use o método de Cramer para obter o valor da incógnita t no sistema:

8

y + 2z t = 0

>

>

<2x + 3y z = 6

x + y + z t = 1

>

>

: 3x 3y 2z + t = 0

3.32 Considere o sistema

8

x + y = 1

<

x y + 2z = 0

:2x + y + z = 1

(a)Determine os valores de que o tornam possível e determinado.

(b)Resolva-o pela regra de Cramer, fazendo = 2.

3.33Considere o sistema

8

x 3z = 2

<

x + 2y z = 1

:2x y = 2

(a)Discuta-o em função dos parâmetros e .

(b)Resolva-o pela regra de Cramer, fazendo = 1 e = 2.

22

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

I.1 Sejam as matrizes

(a)Determine x e y de modo que M seja uma matriz simétrica.

(b)Determine z de modo que N seja uma matriz regular.

(c)Faça z = 8 e determine N 1.

(d)As matrizes M e N são permutáveis? Justifique.

(e)Explicite e determine a matriz X tal que (XM 1 + I3) 1) = N considerando M simétrica e z = 8.

I.2 Considere a matriz real quadrada de ordem 3, M = [mij] definida por

(a)Construa a matriz M.

(b)M és uma matriz regular? Justifique

(c)Calcule M 1. Verifique o resultado obtido usando a definição de matriz inversa.

(d) Explicite e determine X tal que XT M = B, sendo B = [1 0 1].

I.3 Dadas as matrizes

23

com k 2 R,

(a)Discuta a característica de A em função do parâmetro k.

(b)Faça k = 3 e resolva a equação matricial AT X BT = 0.

(c)Verifique se C é solução da equação x2 2x + 1 = 0.

(a)Determine b de modo que o sistema homogéneo AX = 0 tenha uma solução não nula.

(b)Para um dos valores de b encontrado na alínea anterior, determine uma solução não nula do sistema homogéneo.

23

I.5 (*) Efectuando operações elementares sobre as linhas, a matriz A é transformada na matriz R, sua forma escalonada reduzida:

23

(a)Resolva o sistema AX = 0.

(b)Seja Ci a coluna i de A, i = f1; 2; 3; 4g. Suponha que B = C1 + C2. Determine a solução geral de AX = B.

I.6 Considere o seguinte sistema de equações lineares, onde a; b são parâmetros reais:

8

>ax + bz = 2

<

ax + ay + 4z = 4

>

:ay + 2z = b

(a)Discuta-o em função de a e de b.

(b)Faça a = b = 1

i.Resolva-o.

ii.Sendo A a matriz simples do sistema, justifique que A é invertível e calcule A 1.

iii.Usando A 1, confirme a solução obtida anteriormente.

I.8 Calcule f(0), f( 1) e f( =2) para cada função matricial f : R ! Rm;n indicada de

Determine ainda det(f(0)) em todos os casos em que o determinante faça sentido. 24

(a)Calcule C = A 1B

(b)Determine a característica de C.

I.11 Dada a matriz A =

2 4

1

(a) Para que valores de a matriz é regular?

(b) Calcule A 1 para = 1. Verifique o resultado.

03 1

(a)Mostre que, qualquer que seja o valor de real, a característica é 3.

(b)Faça = 1 e determine a inversa.

(a)Calcule, usando o teorema de Laplace, det A.

(b)Para a = 0, a matriz A é invertível? Justifique.

I.16 Determine o valor de a que verifica a igualdade

25

I.17 Considere a matriz 4 4, A = [aij] tal que

(a)Construa a matriz A.

(b)A será uma matriz regular? Justifique baseado na teoria dos determinantes.

(c)Determine A 1

01 2 4

(a)Determine o valor de x, de modo que se verifique a igualdade det(B) = det(adj(B)).

(b)Faça x = 3 e determine a inversa de B.

(c)Determine para que valores de x a característica de B é 4.

(a)Discuta a característica da matriz em função de , usando a teoria dos determinantes.

(b)Faça = 0 e considere o sistema AX = B. Resolva o sistema usando a teoria matricial.

I.20 Considere o seguinte sistema de equações lineares:

8

x + y + z = 2

<

3x + 3y z = 6

:x y + z = 1

(a)Represente-o na forma matricial, isto é, numa equação do tipo AX = B.

(b)Resolva-o usando a teoria matricial.

I.21 Considere o seguinte sistema de equações lineares:

8

x + y + z = 1

<

x + 2y + 3z = 1

:x + 4y + az = 3

(a)Calcule, em função de a, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema. Deduza os valores reais a 2 R tais que o sistema indicado é um sistema possível determinado.

26

(b) Use o método de Cramer para obter o valor da incógnita y se a = 0.

I.22 Considere o seguinte sistema de equações lineares:

8

2x + y + az = a

<

4a + ay = 2

:2x + 2y + az = 7

(a)Discuta-o em função do parâmetro a.

(b)Faça a = 1 e resolva-o pela regra de Cramer.

I.23 Seja o sistema AX = B com

(a)Discuta o sistema.

(b)Faça k = 1 e determine x, pela regra de Cramer.

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