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Донецкий национальный технический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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3.16 Sejam A =

3.16 Sejam A =

a3, B = 2A e C uma matriz regular de ordem 4.

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2.5 Escreva os sistemas abaixo na forma matricial. Caso possível, resolva-os com base na matriz ampliada do sistema. Classiﬁque-os quanto ao tipo do conjunto de soluções.

		x1	= 1 2x3		8	x1 + x3 = 1 + 2x2
(a)	8 x2 + x3		= 2(1 + x1)	(c)	8	x2	= 2 + x3
	<	x1	= x2 + 3		<	x1	= 3 + x2
	: x1 + x3 = 1 2x2				: x1 + x3 = 1 + 2x2
(b)	8	x2	= 2 + x3	(d)	8	x2	= 2 + x3
	<	x1	= 3 + x2		<	x1	= x2 + 1
	:				:

2.6 Classiﬁque o sistema	3x + y + 3z	=	6
8	3x + y + 3z	=	6
<	x + 2y	=	2
<	2x + y + 3z	=	4
:

e, se possível, resolva-o.

Sistemas de equações lineares dependentes de parâmetros

2.7 Discuta os sistemas em função do parâmetro real a:

x + ay + 2z = 1

x + y + 2z = 0

(a)

3x + ay + 4z =

(e)

y + 3z

y + az = 1

y + az = 0

ay + z = 1

x y + z 2t = 1

(b)

2y z =

(f)

2x + 2y z + 2t

= 3

3x + y + 2az = 3

ax 3y + 2z 4t = 4

3w = 0

2x + 5y + 2z

2x + 2y 3z 3t = 2

3x + 6y + 5z + 2w = 0

x + ay + z = 1

(c)

4x + 5y + 4z + 2w

= 0

(g)

ax + 5y + 3z

3x + 2y + 4z + 3w = a

x + y z = 1

2x + 2y + 4z + 2w = 2

2x + y

3z + t = 3

(d)

x + y + 2z + aw

= 1

(h)

5x + 3y 8z t

3x + y

z = 0

x + y + t = a2

2.8 Considere o sistema:	22ax + y + az		=	2
8
<	x + ay + z		=	1
	2x + y	2z	=	2a
:

(a)Discuta-o em função do parâmetro a.

(b)Ache a solução do sistema se a = 2.

2.9Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente de um parâmetro real a:

ax y + z = 2

< x + y + az = 1

x 2y z = 1

: x + 3y + z = 0

Determine todos os valores de a de tal modo que o sistema:

(a)não tenha solução;

(b)tenha uma e uma só solução, calculando neste caso a solução.

2.10Considere o seguinte sistema homogéneo de equações lineares dependente de um parâmetro real b:

x by + z = 0

bx + y z = 0

: 7x 4y + z = 0

Existe algum b 2 R tal que o sistema seja impossível? Determine b de modo que o sistema tenha uma solução não nula e, nesses casos, resolva-o.

2.11 Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente de um parâmetro real :

x + y + z = 0

: x + y + z = 2

(a)Discuta-o em função de .

(b)Faça = 1 e resolva-o.

2.12Considere o seguinte sistema de equações lineares dependente de dois parâmetros reais a; b:

2x + ay + 6z = b + 2

x + 3z = 1

: x + ay + (a + 3)z = 1

Classiﬁque-o, justiﬁcando, para todos os valores dos parâmetros a e b.

2.13 Considere o sistema:

8	2x	2z	=	6 + y
<	3x	ay	=	5
<

:ay + 2z = b x

(a)Discuta-o em função dos parâmetros reais a e b.

(b)Resolva-o para a = 1 e b = 2.

2.14 Considere o seguinte sistema AX = B de equações lineares com parâmetros reais a; b:

20	1	22a3 2y3	=	213
1	a	x		b
42	0	3 5 4z5		405

(a)	Seja C =		3=2	1 1 T . Calcule AC e diga, justiﬁcando, os valores dos parâmetros
	a; b	para	os quais C é solução do sistema.
		para
(b)	Classiﬁque o sistema para todos os valores reais dos parâmetros a; b.

2.15 Considere os sistemas de equações lineares					83x + 2y + z = 0
(S1)	8x + ay + z = 1			(S2)	83x + 2y + z = 0
	>	x + y + z = a + 1			>	2x + y = b
	>		2		>
	<ax + y = a + 2a				<x + ay + z = 2
	>				>
	:				:

(a)Discuta-os em função dos parâmetros a; b.

(b)Indique para que valores do parâmetro real a o sistema (S1) tem inﬁnitas soluções. Calcule todas as soluções de (S1) para um desses valores de a.

(c)Resolva o sistema (S2) num caso em que o sistema é possível determinado.

2.16Determine b1; b2; b3 de modo que (2; 2; 1) seja uma solução do sistema

>x z = b1

2x + y + z = b2

:y + 2z = b3

2.17 Discuta, em função dos parâmetros reais a; b, os seguintes sistemas de equações lineares:

(a)

82x+ 22y++ 3z = 1

(b)

8x + by + z = a

(c)

8x + ay + z = b

y z = 2

x + y + z = 1 + b

x + y + az = 1

3)z = a

<x + 2y + (a

<bx + y = b(1 + 2b)

<ax + y + z = 0

2x + y + w = 2

ax + y = z aw

+ y + z = 2

(d)

83x + 3y + az + 5w = 3

(e)

8ay + y = 1 + z + w

(f)

y + z = 2

>ax + z = 2

<3x

2w = b

<y + (a + 1)w = x + b

>3x + y + 3z = 6

2.18 Um sistema de equações lineares diz-se homogéneo se é da forma AX = 0.

(a) Prove que um sistema homogéneo é sempre possível.

(b) Seja A =	2b	1	13.
	1	b	1	5
	47	4	1	5

i.Determine b de modo que o sistema AX = 0 tenha uma solução não nula.

ii.Para um dos valores de b encontrado na alínea anterior, determine uma solução não nula do sistema homogéneo.

2.19Seja AX = B um sistema de equações lineares. Mostre que a sua solução geral, XG,

ésoma de uma sua solução particular, XP , com a solução geral do sistema homogéneo associado AX = 0, XGH:

XG = XP + XGH :

2.20Efectuando operações elementares sobre as linhas, a matriz A é transformada na matriz R, sua forma escalonada reduzida:

1 1 0 2

R = 40 0 1 25 : 0 0 0 0

(a)Resolva o sistema AX = 0.

(b)Seja Ci a coluna i de A, i = f1; 2; 3; 4g. Suponha que B = C1 + C2. Determine a solução geral de AX = B.

Aplicação dos sistemas à geometria analítica

2.21Considere os planos 1 x + y + z = 1, 2 x + ay z = 0 e 3 (1 a)y + z = b, a; b 2 R.

(a)Prove que, para qualquer valor do parâmetro a, os planos 1 e 2 concorrem numa recta.

(b)Calcule as equações da recta referida na alínea anterior.

(c)Determine todos os valores dos parâmetros a; b para os quais os planos 1, 2 e 3 concorrem:

i.numa recta;

ii.num ponto.

(d)Determine as equações da recta e as coordenadas do ponto para um dos valores dos parâmetros a; b encontrados na alínea anterior.

2.22

Considere as rectas

(0; 6;

6) + k(1; 3; 1); k

2 R,

x 2 =

y 3

= z

(z = x 4

e os planos x+y+3z+10 = 0 e = ( 4; 1; 1)+k( 2; 1; 0)+

y = 2x + 1

l(1; 0; 1); k; l 2 R. Determine as posições relativas entre:

(a) r1 e r2

(b) r1 e r3

(d) r3 e

(e) r3 e

(f) e

2.23

Determine, em função do parâmetro real a a posição relativa entre:

(a)

a recta r (y = 0

e o plano (a 1)x y + (2 a)z = 0

x = 3 z +

(z =

(b)

as rectas

(z =

2x + 4

2x + 2 + a

y = ax

y = x

x + y z = 1

2.24

Considere o sistema

<x + ( + 2)y + z = 0

8( + 1)y + z = 2

(a)Usando a discussão de sistemas e supondo que as equações representam, respectivamente, os planos 1, 2 e 3, estude a posição relativa entre os três planos.

(b)Faça = = 0

i.Escreva a equação vectorial da recta r 1 \ 2.

ii.Seja s a recta normal a 3 que passa na origem. Diga qual a posição relativa entre r e s.

3. DETERMINANTES

Cálculo de determinantes

3.1	Calcule os seguintes determinantes:																			1		1
			3		2														(f)	1		1			0											(i)		0			b			3		3
	(a)		1		2															3		3		1														a			1			2		1
				5		2
	(b)																																					0			0			0		d
			1			2														1	3		1
																				1	3		1
																					2
			p		=2																	1																	1 1 2									1
			p	3	=2						1=2								(g)	1 0		1																	1 1 2									1
																			(g)
	(c)		1=2																																				0 1 3 3
	(c)
									p3=2											0 1 1																(j)
																																				(j)				1 0				1				2
																																								1 0				1				2
	(d)		cos							sin										0	1		2					1															1	1				1
	(d)																			0	1		2					1											2				1	1				1

			sin						cos
			1				3				1								(h)	2	3			1			0
			1				3				1								(h)	1	1							1
																				1	1		1					1
	(e)			1				1			0									3		3		2
	(e)			1				1			0									3		3		2			1




			3				0				3

3.2	Calcule o determinante das seguintes matrizes:																													22					1				33
					1				2														(i)			I =				22					1		2		33
	(a)	A =			2				1																								1		1		0		2
					1 + p										2 p															62									57
	(b)	B =			1 + p							2						3																		1	2
	(b)	B =			2 + p3																															1	2
					2 + p3										1	p2														6			4			3	1			7
	(c)	C =																												4							6			5		0				0		3
	(c)	C =			sin									cos																	2 1					1	6					0				0		3
							cos							sin																				0		0	3					0				0
	(d)	D =				1					0			2									(j)			J =					6			2		5		6					1				37
	(d)	D =					2				0			0																	6			1		1	9											7
					2			1			3				3																6			0		1	9					0				0		7
								1			3			0																	6																	7
															5																4																	5
	(e)	E =			4				1		0				5																		3			0	2				1			2
	(e)	E =				2			1		0				3																	25				0 1					2			13
					2				1		2				3
						0			1		2																					60														7
						0			3				1										(k)						=			60				1	0					1		2		7
					4					0					5	0										K						6				1	3							0		7
						1				0				2		0																6														7
																																	0								0
						0				2				1		0																60				2	0				1				27
						0				2				1		0																6														7
	(f)	F =			21					0				0		13																4				2 1 1										5
					60						1 2					27																	1			2 1 1								1
					6												7														2			2		1		1				1		0
					4												5														2															3
					4												5									L =					6			1		0	1					2		1
	(g)					1				0				0		2	3						(l)								6				1	1	0					0		17
	(g)	G =			20				1					3		1	3														6					1	0						1			7
						0				2				0		1															6			1		1	0						1	17
						0				2				0		1															6															7
					61												7														4															5
					61					1				0		0	7																		1	2			1			1		0
					6												7																		1	2			1			1		0
					4												5
							4				2					1 1			3													2 1 2 1 1 23
	(h)	H =			2 8						4				2		2		3				(m) M =									6			1	1		0				1		2
							2				2					4	4															6			0	1			1			0		17
					6		3				3					3	1		7													6			1	1						2		7
					6		3				3					3	1		7													6			1	1		1				2		17
					6														7													6												7
					4														5													4												5

	2	a	1		2	3
3.3 Considere a matriz A =	4	1	1		0	, com a 2 R. Aplicando o Teorema de
	4	2a	0	det A =		5 a2 + 4a + 1
		2a	0		a 1
Laplace à segunda linha mostre que							.

3.4 Calcule por um processo à sua escolha os seguintes determinantes:

1 3 5 7

	2	1	3	4

(a)	1	1	3	2

	5	0	4	3

	2		1	3	2


(b)	1		1	3	0
	3		2	1	1

2 2 4 2a			b 0		1
3.5 Seja a matriz A =	6	0	0	1	b
3.5 Seja a matriz A =	2 b		a	0	02
	6	0	0	b	a
	4

0 2 1

1 2 0

1 2 1 2 1

2 3 2 3 2

(d) 1 2 3 1 2

3 2 1 3 2

1 3 2 2 1

7, com a; b 2 R.

(a)Veriﬁque que det A = (a2 b2)(b2 a2).

(b)Se a = 1 e b = 1 calcule A32.

Propriedades dos determinantes

3.6Determine, em cada caso dos exercícios 1 e 4, o valor de det A2, det 2A e det( AT ).

3.7Sejam

A =

a21

a22

B =

5a21

+ a22

a22

e C =

a21

+ 5a22

a22

a11

a12

5a11

+ a12

a12

a11

+ 5a12

a12

Sabendo que det A = 3, calcule det( A), det A2, det B, det BT , det(A 1B) e det C.

3.8Seja A uma matriz quadrada 3 3. Sabendo que det A = 2 calcule det( A), det A3, det(3A)T e det(AT A 1).

3.9Sejam A e B duas matrizes reais de ordem 3, tais que det A = 2 e B é a matriz que se obtêm de A, trocando a 1a e 3a linhas. Determine, justiﬁcando, os determinantes das seguintes matrizes:

(a) B							(b) AT				(c) 3B.
		2	x	y	z	3		2	1	1	1	3 usando apenas
3.10 Sabendo que det		2	3	0	2	3	= 1 calcule det	2	4	1	3	3 usando apenas
			1	1	1			4	x 1 y 1 z 1			5
as propriedades	dos determinantes.
as propriedades		4				5

3.11 Sabendo que det	2	a	b	c	3	= 1 calcule det	2	1	1	1	3.
3.11 Sabendo que det	2	2	1	0	3	= 1 calcule det	2	2	1	0	3.
	4	1	2	1	5		4	3a + 1 3b + 2 3c + 1			5

3.12 Calcule, em função dos números reais a, b e c, o determinante da matriz:

a	b	c	5
a2	b2	c2
V = 4 a3	b3	c3

Nota: Os determinantes cujas linhas ou colunas formam uma progressão geométrica são denominados “determinantes de

Vandermonde”.

	2 1		0	1	0	0 3			2 4			0	2	0	3 3
	6	3	2	k	0	2	7		6	3		4	0	0	2	7
	6	1	1	0	2	0	7		6		1	2	0	2	0	7
3.13 Considere as matrizes A =	6		2	1	0	1	7	e B =	6			4	1	0		7
	6	4	0	2	0	3	7		6	1		0	1	0	0	7
	6						7		6							7
	4						5		4							5

(a)Calcule o determinante da matriz A e conclua os valores reais de k para os quais A tem característica máxima.

(b)Considere k = 0. Sem efectuar cálculos, indique, justiﬁcando, o determinante da matriz B.

(c)Indique, justiﬁcando, 2 operações elementares que se podem efectuar na matriz A de modo a que o determinante da matriz que se obtém é o triplo do determinante de A.

3.14Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 3 tais que det(A) = 2, det(B) = 5=3 e det(C) = 0. Calcule os seguintes determinantes:

(a) det(A 1)	(c) det(ABC)	(e) det(5A)
(b) det(AB)	(d) det(AT B 1)

3.15 Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 4, regulares, tais que

det(2A 1) = det(A3(BT ) 1) = 4:

Calcule det(A) e det(B).

(a)Calcule det(A)

(b)Determine a de modo que det(CT (BC) 1) = 321 :

		a	b	c	3.
3.17 Seja A =		2d	e	f	3.	Exprima o determinante das seguintes matrizes em função do
		4			5
		g	h	i
determinante de A:					C =		22d 2e 2f 3						D = 2	d	e	f	3
B =	2g h i		3		C =		22d 2e 2f 3						D = 2	d	e	f	3
	d e f						a			b	c		4	a + d b + e c + f			5
	4a b c5						4 g			h	i 5		4	g	h	i	5
E =	27d 3a 7e 3b 7f 3c3										F = 2e + b 5h 4e 2b3
	4	a		b				c		5			d + a 5g 4d		2a
	4	g		h				i		5	1		4f + c 5i 4f 2c5
								6	1	0	1		1
3.18 Considere a matriz real A =								6	2	0		1	07
3.18 Considere a matriz real A =								2	0	2	1		13 e ainda uma matriz real B, quadrada de
								6					7
								1 0			1		2
ordem n, regular.								4					5

Calcule det(X), sabendo que 3A 1BX = BT A.

3.19 Seja A a matriz quadrada de ordem n seguinte:

	2	a	a + x	a		a	3
	6	a + x	a	a		a	7
A =	6	a	a	a + x		a	7	:
	6	a	a	a	.	a	7
	6 .		.	.	.	: : :	7
	6 ..		..	..	..	: : :	7
	6						7
	6	a	a	a		a + x7
	6						7
	4						5

Prove que det(A) = (na + x)xn 1.

Matriz adjunta e matriz inversa .

3.20Veriﬁque se as seguintes matrizes são invertíveis calculando o seu determinante e determine, nos casos em que for possível, a matriz inversa usando a matriz adjunta.

(a) A =		1	1		;
		2	1
(b) B =		3		2
		3		2
		2		3
(c) C =					p3=2
(c) C =		1=2			p3=2
		p3=2				1=2
(d) D =		p			p
(d) D =		12		2	2	2
(e) E =	2	3	6		4	3
	4	1	3		1	5
	4	1	4		2	5

3.21 Considere a matriz

	2	1	0		3
(f) F = 4		1	1	0	5
	2	0	1	1
(g) G =	2	1	1	1	3
	4	1	2	1	5
	4	2	2	1	5
(h) H =	2	1	4	2	3
	4	1	2	1	5
	4	2	2	1	5

(i)M = (mij), com M matriz 4 4 tal que mij = i + j.

A =	2	1	a	2	3	:
	4	1	1	1	5
	4	1	5	a	5

Calcule os valores reais a para os quais a matriz A é invertível. Determine a entrada (3; 2) da matriz adjunta e da matriz inversa de A no caso em que a = 1.

3.22 Seja

M =	2	2	m	1	0	3	:
	6	1	1	1	1	7
	6	1	0	1	0	7
	6	1	0	m + 2	0	7
	4					5

(a)Calcule o determinante de M e indique os valores reais de m para os quais M tem característica 4.

(b)Determine, em função do m, a entrada (1; 3) da matriz adjunta e da matriz inversa de M.

3.23Prove que as seguintes matrizes são invertíveis e calcule, usando a matriz adjunta, as respectivas inversas:

	c	d			6	(c) C =	20		1	1	3
(a) A =	a	b ,	ad		bc = 0		2		4	3
		1					42 2			15			3
	3	1	4			(d) D =	20		1	a		0	3
	22		03					1	a		0	0	7
(b) B =	22	1	03					0	0		1	a
	0	2	1				60		0		0	1
	4			5			6						7
	4			5			4						5

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