- •1.1. Матрицы. Действия над матрицами
- •1.2. Определители. Свойства определителей
- •1.3. Применение определителей к решению систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера
- •1.4. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений
- •1.5. Общий случай линейной алгебраической системы уравнений. Условие совместности Ранг матрицы
- •Исследование на совместность систем линейных алгебраических уравнений
- •1.6. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
1.5. Общий случай линейной алгебраической системы уравнений. Условие совместности Ранг матрицы
Определитель k-го порядка, составленный из элементов, стоящих на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов матрицы А, называется минором k-го порядка, порожденным данной матрицей.
Например, для матрицы А
минор второго порядка можно получить, выбрав 1 и 3 строки, а также 1-й и 4-й столбцы: .Очевидно, что минорами, порожденными этой матрицей, являются и другие определители 2-го порядка:
и т.д.
Данная матрица имеет минорами и определители 3-го порядка
Рангом матрицы А (обозначается ) называется наивысший порядок отличных от нуля миноров, порожденных этой матрицей.
В рассматриваемой матрице А наивысший порядок ее миноров равен трем. Вычислим один из них.
Так как этот минор отличен 0, то .
Вычислять все миноры, порождаемые данной матрицей, затруднительно. Поэтому для определения ранга матрицы можно использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) умножение какой-либо строки (столбца) на число ,
2) перестановка двух строк (столбцов),
3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число .
Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получена из другой при помощи элементарных преобразований. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.
С помощью эквивалентных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду.
Матрица называется ступенчатой, если в ее первой строке имеется хотя бы один элемент отличный от 0, а в каждой последующей строке первый отличный от 0 элемент стоит правее первого отличного от 0 элемента предыдущей строки. Например,
.
Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Для определения ранга матрицы нужно, применяя элементарные преобразования, привести ее к ступенчатому виду.
Исследование на совместность систем линейных алгебраических уравнений
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, …, xn:
Составим две матрицы:
и ,
где А − основная матрица системы, В − расширенная матрица системы.
Условие совместности любой линейной алгебраической системы определяется теоремой Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная алгебраическая система уравнений была совместна необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы системы, т. е. .
При этом возможны два случая:
а) , тогда система имеет единственное решение;
б) , тогда система имеет бесконечное множество решений (при этомr неизвестных являются основными, остальные n - r неизвестных – свободными, им можно придавать произвольные значения, в зависимости от которых принимают значения основные переменные).
1.6. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений
Основная идея метода Гаусса − последовательное исключение неизвестных.
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.
На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.
На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.
На практике удобнее работать не с системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над ее строками.
Сущность метода проиллюстрируем на примере решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными.
Таким образом, если число уравнений в полученной ступенчатой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Все неизвестные в этом случае определяются последовательно, начиная с последнего.
Если же число уравнений в ступенчатой системе меньше числа неизвестных (), то система имеетбесконечное множество решений. В этом случае неизвестные x1, x2,…, xn могут быть выражены через остальные неизвестные.
Система не имеет решений, если одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты в левой части равны нулю, т. е. если при преобразованиях получаются уравнения вида
где .
Этому случаю соответствует появление в ступенчатой матрице строки вида
.