Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
05_Met_ukaz_kontr.doc
Скачиваний:
6
Добавлен:
03.03.2016
Размер:
813.57 Кб
Скачать

1.2. Друга інтерполяційна формула Ньютона

Використовуючи другу інтерполяційну формулу Ньютона, перша похідна функції може бути обчислена так:

. (8)

Для диференціювання в вузлових точках формула (8) прийме вид:

. (9)

Другу похідну можна обчислити з виразу

. (10)

Приклад 2. Обчислити першу та другу похідні функції в точці. Функція задана на відрізкув рівновіддалених вузлах,.

Зауважимо, що крок розрахунків, таблиця значень функції та таблиця кінцевих різностей будуть ті самі, як і обчислені в прикладі 1, але для розрахунків використаємо формули (8) та (10). Обчислення будемо проводити з чотирма знаками після коми. Коефіцієнти при занесемо в таблицю:

Таблиця 5 – Коефіцієнти другої формули Ньютона

Коефіцієнт

Значення

-0,4349

для першої похідної

0,0651

-0,0070

-0,0205

для 2-ї похід­ної

0,5651

0,3589

Отримаємо:

Точне значення . Похибка обчислень складає:

.

Обчислимо другу похідну функції .

Точне значення . Похибка обчислень складає:

.

1.3. Формула Ньютона для не рівновіддалених вузлів інтерполяції

Формула Ньютона для не рівновіддалених вузлів інтерполяції має вид:

(11)

Тут , – розподілені різниці-го порядку

Позначимо,

.

Диференціюючи обидві частини рівності (11) один раз, отримаємо:

(12)

Друга похідна функції за формулою Ньютона:

(13)

Для диференціювання в вузлах інтерполювання формули (12) – (13) спрощуються, оскільки при відповідне значення. Так, наприклад, для, маємо:

(14)

(15)

Приклад 3. Знайти першу та другу похідні функції в точці, якщо функція задана таблицею:

Таблиця 6 – Таблиця значень функції

в не рівновіддалених вузлах

0

0

0

1

0,628

0,588

2

0,785

0,707

3

1,047

0,866

4

1,571

1

Складемо таблицю розподілених різностей:

0

0

0,935

0,628

0,588

-0,224

0,760

-0,134

0,785

0,707

-0,364

0,029

0,607

-0,088

1,047

0,866

-0,447

0,256

1,571

1

Обчислимо першу та другу похідні функції .

Знайдемо :

0

0,628

0,785

1,047

1,571

0,393

-0,236

-0,393

-0,654

-1,178

Оскільки

,

отже,

.

Точне значення . При цьому похибка складає

.

Для другої похідної

Відповідне значення

.

Точне значення . Похибка складає

.

Обчислимо за допомогою формули Ньютона для не рівновіддалених вузлів значення першої та другої похідної в вузлі . В цьому випадкуі формули для обчислення похідних спрощуються:

,

.

Тут .

0

0,628

0,785

1,047

1,571

0,628

0

-0,157

-0,419

-0,942

Звідки отримаємо

.

Точне значення і похибка:

, .

Друга похідна в вузлі:

.

Точне значення і похибка:

, .