Алгоритм .

0. Выберем некоторый простой цикл CграфаGи уложим его на плоскости (лучше выбирать окружение).

1. Найдем грани графа и множество сегментовSотносительно . Если множество сегментов пусто перейти к п. 7.

2. Для каждого сегмента Sнайдем множество допустимых граней Г (S).

3. Если существует сегмент Sдля которого Г (S) =(множество граней пусто), то граф G не планарен. Выход из алгоритма, иначе переход к п. 4.

4. Если существует сегмент Sдля которого ровно одна допустимая грань (|Г(S)| = 1), то перейдем к п. 6, иначе п. 5.

5. Для некоторого сегмента Sвыбираем произвольную допустимую грань Г.

6. Поместим произвольную -цепь L, принадлежащую S, в грань Г, заменимнаL и перейдем к п. 1.

7. Построена плоская укладка графаG. Шагом алгоритма считается присоединение к опр.-цепи.

Пример:

Г(S1) = Г(S2) = Г(S3) = {Г1, Г2}

S2:-цепь = {4, 5, 2} в Г2

Г(S1) = {Г1, Г2, Г3}, Г(S2) = {Г2}, Г(S3) = {Г1, Г3}

S2:-цепь = {1, 5,} в Г2

Г(S1) = {Г1, Г3}, Г(S3) = {Г1, Г3}

S1:-цепь = {2, 4,} в Г3

Г(S3) = {Г1, Г5}

S3:цепь: {2, 6, 3} в Г1

Г(S) = {Г1}

S: -цепь = {4, 6} в Г1

Характеристики не планарных графов

Число скрещиванийграфаGэтоminчисло пересечений двух ребер при изображении графаGна плоскости (обозначают(G)). Число скрещиваний равно 0, если граф планарен.

Искаженность Gэто минимальное число ребер, удаление которых приводит к планарному графу (обозначают sk(G)).

ТолщинаGэто минимальное число его планарных подграфов, объединение которых дает исходный граф G (обозначают t(G)).

Род графаGэто минимальное число ручек, которые необходимо добавить к сфере, чтобы можно было уложить графGбез пересечений, самопересечений ребер.

Граф 3,3укладывается на торе без пересечений и самопересечений ребер. Такие графы называютсятороидальными, род равен 1, относятся графыK5,K7,K3, 3,K4, 4.

Пример укладывания графаK3, 3на торе:

Раскраска графов

Пусть имеется некоторый граф Gнеор. и пустьkнатуральное число. Тогдаk-раскраскойграфаGназывается произвольная функцияf, отображающая множество вершин графаGв некотороеk-элементное множество:

f : VG  {a1, a2, …, ak} = A

В качестве элементов множества Aчаще всего используется отрезок натурального ряда {1, 2, …,k} либо {a,b, …,n} или краски типа {синий, красный, …, черный}.

Раскраска называется правильной, еслиf(u)f(v) для любых смежных вершинuиvграфаG(или концевые вершины любого ребра окрашены в разные цвета).

Граф, для которого существует правильная k-раскраска, называетсяk-раскрашиваемым.

Пример:

граф 5-раскрашиваемый

(раскраска правильная)

правильная раскраска

граф 3-раскрашиваемый

Хроматическое число графа G  это минимальное число красок, при котором граф имеет правильную раскраску. Если хроматическое число равноk, то граф называетсяk-хроматическим. (обозначают(G) =k).

Правильную k-раскраскуграфаGможно рассматривать как разбиение множества вершин графаGна не более чем,kнепустых множеств, которые называютсяцветными классами.

V=V1 …Vk

Каждый цветной класс является независимым множеством, т. е. разбиение множества вершин (эквивалентны, транзитивность не является сюрьективной).

Для полного графа Knхроматическое число равно:

(Kn) =n,

для цикла с четным числом вершин: (Cчетн.) = 2

С нечетным числом вершин:

(C2n + 1) = 3

Для пустого: (0n) = 1

Граф, у которого = 2 называютсябихроматическим.