N34,35.

Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью р1, второй - с вероятностью р2. Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадает в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0. Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано:

(34) А - первым контролером;

В - вторым контролером;

(35) С - ОТК завода.

N36.

В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 - плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный - на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

N37.

На вход радиолокационного устройства с вероятностью р поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью (1-р) - только одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то устройство регистрирует наличие сигнала с вероятностью р1; если только помеха - с вероятностью р2 (ложная регистрация несуществующего сигнала). Известно, что устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.

N38.

Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно р1,р2,р3. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы Р1, для второй Р2, для третьей РЗ. Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

N39.

Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели: I и II. Вероятность попадания в цель I равна р1, в цель II равна р2. После выстрела получено известие, что попадания в цель I не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель II?

N40.

Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных; во второй с белых и d черных. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынем из той же урны, будет тоже белым.

ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ (Схема Бернулли).

N41.

Предположим, что кость имеет s граней s>=2, выпадение каждой из которых одинаково вероятно. Через g(t,n) обозначим вероятность того, что при t бросаниях кости заданная грань выпадет меньше, чем n раз. Найти g(t,n).

N42.

Среди коконов некоторой партии 30% цветных. Какова вероятность того, что среди 10 случайно выбранных из партии 3 цветных? Не более 3 цветных?

N43.

Технический контроль проверяет изделия, каждое из которых независимо от других изделий может с вероятностью Р оказаться дефектным. Какова вероятность того, что из 10 проверенных изделий только одно оказалось дефектным?

N44.

Вероятность того, что замаскировавшийся противник находится на обстреливаемом участке, равна 0,3; вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0.2. Для поражения достаточно одного попадания. Какова вероятность поражения при 2 выстрелах? При 10 выстрелах?

N45.

Спортивные общества А и В состязаются тремя командами. Вероятности выиграша матчей команд общества А против соответствующих команд В можно принять соответственно равными 0.7 для 1-ой (против 1-ой В), 0.6 для 2-ой (против 2-ой В), 0.2 для 3-тей(против 3-тей В). Для победы необходимо выиграть не менее 2-х матчей из трех (ничьих не бывает). Чья победа вероятнее?

N46.

Два равных по силам шахматиста А и В согласились сыграть матч на следующих условиях: выигрывает тот, кто одержал не менее 5 побед, но не более 2 проигрышей. Найти вероятность того, что кто-нибудь победит.

N47.

Рабочий обслуживает 12 однотипных станков. Вероятность того, что станок потребует к себе внимания рабочего в течение промежутка времени длительности Т равна 1:3. Чему равна вероятность того, что за время Т а)4 станка потребуют к себе внимание рабочего;

б)число требований к рабочему со стороны станков за время Т будет между 3 и 6.

N48.

В семье 4 человека. Считая вероятность рождения в течение каждого из месяцев для каждого лица равной 1/12, найти вероятность того, что 3 лица родились в январе, а 4-тое в октябре.

N49.

Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Сверла укладываются в коробки по 10 штук. Чему равна вероятность того, что в коробке не окажется бракованных сверл;

число бракованных сверл окажется не более З?

N50.

Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна 0.02. Сверла укладываются в коробки. Сколько нужно класть в коробку сверл, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.99, в ней было не менее 10 исправных?

ПОВТОРЕНИЕ ОПЫТОВ (при большом N) – либо локальная или интегральная теоремы Муавра – Лапласа, либо распределение Пуассона.

N51.

При испытании легированной стали на содержание углерода вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода превысит допустимый уровень, равна Р=0.01. Считая применимым закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо испытать образцов, чтобы с вероятностью Р=0.95 указанный эффект наблюдался по крайней мере 1 раз.

N52.

Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг;

не менее 5 бракованных книг.

N53.

Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо. Вероятность выхода любого из них в течение времени Т равна 0.002. Найти вероятность того за время Т откажут ровно 3 элемента; не более 5 элементов.

N54.

Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0.01. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят ровно 3 абонента; менее 3 абонентов; более 3 абонентов;

хотя бы 1 абонент.

N55.

Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.003. Найти вероятность того, что в течение одной минуты произойдет ровно 2 обрыва нити; менее 2 обрывов; хотя бы 1 обрыв.

N56.

Устройство состоит из большого числа элементов, работающих независимо; вероятность выхода из строя любого из них в течение времени Т одинакова и очень мала. Найти среднее число элементов, отказавших за время Т, если вероятность отказа хотя бы одного за это время 0.98.

N57.

Вероятность брака для 1 изделия очень мала. Найти среднее число бракованных изделий в большой партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0.95.

N58.

Вероятность появления события А в одном опыте очень мала и равна Р. Доказать, что сумма вероятностей числа появлений события А при бесчисленном количестве независимых испытаниях

равна 1.

N59.

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.01. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах будет не больше 3 попаданий.

N60.

На одной странице 2000 знаков. При типографском наборе вероятность искажения одного знака равна 1/800. Найти вероятность того, что на странице не менее 2 опечаток.

ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Для заданной дискретной случайной величины Х :

а) построить ряд распределения;

б) записать и построить функцию распределения F(x);

в) найти характеристики: математическое ожидание (т);

дисперсию (D), среднее квадратичное отклонение (S), моду, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс;

N61.

Имеется n-лампочек; каждая из них с вероятностью р имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. Е - случайная величина числа лампочек, которое будет испробовано.

N62.

Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Е - случайное число бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания первого равна 0.4, а второго 0.6.

N63.

Мишень состоит из круга 1 и двух концентрических колец с номерами 2 и 3. Попадание в круг 1 дает 10 очков, в кольцо 2 дает 5 очков, а в кольцо 3 - 1 очко. Вероятности попадания в круг 1 и в кольца 2 и 3 соответственно равны 0.5, 0.3, 0.2. Е - случайная сумма выбитых очков в результате трех выстрелов.

N64.

Производятся испытания n изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытание для каждого изделия равна р. Е -случайное число изделий, выдержавших испытание.

N65.

Имеется n заготовок для одной и той же детали. Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна р. Е -случайное число используемых заготовок.

N66.

В партии из 10 деталей содержится 3 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Е - число нестандартных деталей среди 2 отобранных.

N67.

Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.9. В каждой партии содержится 5 изделий. Е - число партий, в каждой из

которых окажется ровно 4 стандартных изделия, если проверке подлежат 50 партий.

N68.

Имеется 6 ключей, из которых только один подходит к замку. Е -число попыток при открывании замка, если испробованный ключ в последующих открываниях не участвует.

N69.

Батарея состоит из 3-х орудий. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого, второго и третьего орудия батареи равна соответственно: 0.5, 0.6 и 0.8. каждое из орудий стреляет по некоторой цели один раз. Е - число попаданий в мишень.

N70.

Производится набрасывание колец на колышек до первого попадания (либо до полного израсходования колец). Число колец равно пяти. Е - число брошенных колец, если вероятность попадания 0.9.

НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Для заданной непрерывной случайной величины Х :

а) записать и построить функцию плотности f(x);

б) записать и построить функцию распределения F(x);

в) проверить выполнение свойств f(x) и F(x);

г) найти характеристики: математическое ожидание (т);

дисперсию (D), среднее квадратичное отклонение (S), моду, медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс;

д) найти p(|X-m|<S) и p(|X-m|<3S). На график f(x) нанести m и интервалы, указанные в д).

N71.

х + а, х є (0;1);

f(x)= 0, иначе, а - ?

N72.

ax², 0<=x<=l;

f(x)= 0, иначе, а -?

N73.

a cos х, 0 < x < П/2;

f(x)= 0, иначе, а- ?

N74.

(sin x )/ a, x є (0; П);

f(x)= 0, иначе, а- ?

N75.

2a - 3x, 0 <=x<5;

f(x)= 0, иначе, а - ?

N76.

(a cos² x)/3, x е (-П/2;П/2);

f(x)= 0, иначе, а -?

N77.

b x² , x є (0;3);

f(x)= 0, иначе, b- ?

N78.

с х³, х є (0;1);

f(x)= 0, иначе, с - ?

N79.

x² + ax, x є (0;1);

f(x)= 0, иначе, а - ?

N80.

x² + a, x є (0;2);

f(x)= 0, иначе, а - ?

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.

N81.

Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина) 50 мм. Фактически, длина изготовленных деталей не менее 32мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина случайно отобранной детали будет меньше 40 мм; больше 55 мм.

N82.

Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением 8=10мм. Найти вероятность того, что при двух измерениях ошибка ни в одном не превзойдет 15 мм.

N83.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=25. Вероятность попадания Х в интервал (10,15) равна 0.2. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (35,40)?

N84.

Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону с математическим ожиданием 0 и средним квадратичным отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что при 3-х независимых измерениях ошибка хотя бы одного не превзойдет 10 мм?

N85.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=10. Вероятность попадания Х в интервал (0,20) равна 0.9973. Чему равна вероятность попадания Х в интервал (0,5)?

N86.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(0,1). Что больше: вероятность попадания Х в интервал (-0.5,-0.1) или в интервал (1,2)?

N87.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(0,1). Что больше: вероятность /Х/>0.7 или /Х/<0.3?

N88.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение N(1,1). Что больше: вероятность попадания Х в интервал (-1,0) или в интервал (0,0.5)?

N89.

Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием М=0. Вероятность попадания Х в интервал (0,2) равна 0.9. Чему равна вероятность попадания Х в

интервал (0,1)?

N90.

В нормально распределенной совокупности 25% значений Х меньше 0 и 40% значений Х больше 2. Найти среднее значение и стандартное отклонение данного распределения.

Задание№4

В вариантах № 1 – 30 приведены результаты n = 50 наблюдений за парой признаков (X, Y). В задании необходимо выполнить в 1-ую очередь задачи № 1 – 5 и 9 – 11; затем три оставшихся, то есть № 6 – 8.

1. Составить корреляционную Таблицу, содержащую два входа, по числу признаков, пояснить ее устройство;

2. Построить вариационный ряд для признака X или Y (задано в данных варианта);

3. Найти числовые характеристики заданого признака (X или Y): методом произведений вычислить выборочное среднее, выборочную дисперсию, D_в, выборочное среднее квадратическое отклонение , и определить для выбранного признака исправленную дисперсию,S², и “исправленное” среднее квадратическое отклонение , существенна ли поправка?

4. Найти другие характеристики вариационного ряда для признака X или Y: Моду М_о, Медиану m_e, Размах варьирования R, Среднее абсолютное отклонение θ, Коэффициент вариации V.

5. Построить полигон частот и найти эмпирическую функцию распределения для заданого признака (X или Y);

6. Предполагая, что заданый признак (X или Y) распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, найти с надежностью γ (γ – задано) доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а в генеральной сово­купности при неизвестном σ (среднем квадратическом отклонении);

7. Предполагая, что заданый признак (X или Y) распределен в генеральной совокупности по нормальному закону, найти с надежностью γ (γ – задано) доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ;

8. Найти методом наибольшего правдоподобия оценки параметров а и σ для нормально распределенного заданного признака, является ли оценка для σ несмещенной?

9. Найти выборочный коэффициент корреляции между признаками Y и X;

10. Найти уравнение линейной регрессии и дать объяснение полученного результата, объяснить смысл найденного коэффициента корреляции;

11. Построить корреляционное поле по корреляционной Таблице и нанести график найденной прямой регрессии на корреляционное поле, нанести на этот же график соответствующие условные вероятности.