Основные законы алгебры множеств

1) Коммутативные законы

АВ=ВА

АВ=ВА

АВ=ВА

2) Ассоциативные законы

А(ВС) = (АВ)С

А(ВС) = (АВ)С

3)Дистрибутивные законы

А(ВС) = (АВ)(АС)

А(ВС) = (АВ)(АС)

4) Законы с иU

А=ААU=АА=U

А=АU=UА=

==U

6) Законы идемпотентности

АА=ААА=А =А

7) Законы поглощения

А(АВ) =А

А(В) =АВ

А(АВ) =А

А(В) =АВ

8) Законы де Моргана

=

=

9) Законы склеивания

(АВ)(В) =В

(АВ)(В) =В

Справедливость законов алгебры множеств доказывается на основе определения равенства: Х=Y, если

1) ХY: xXxY;

2) Y Х: yYyX.

Сформулированный принцип называют интуитивным принципом объемности.

Задание к лабораторной работе.

Заданы множества X,Y,Z,U.

Правило образования множеств X, Y, Z иU:

X- множество букв имени студента;

Y- множество букв отчества студента;

Z- множество букв фамилии студента;

U - универсальное множество = X  Y  Z  {ъ,ё, гласные, отсутствующие в множествахX, Y, Z}.

1. Вычислить:

- X  Y , X  Z, Y Z, X  Y  Z;

- Y  Z , X  Y  Z;

- X \ Z, Z \ X;

- X ;

- X  Z ;

- X , X  (Y  Z);

- (X \ Z)  (Y \ Z).

2. Нарисовать диаграммы Эйлера для:

- X  Y  Z;

- (X  Y)  ;

- ();

- (X \ Z)  (Y \ Z).

3. Проверить экспериментально на множествахX, Y, Zсправедливость следующих утверждений:

• =  ;

• =  ;

• X \ (Y  Z) = (X \ Y)  (X \ Z);

• X \ (Y  Z) = (X \ Y)  (X \ Z).

4. Записать булеан для произвольного подмножества множества Z мощности 4. Выписать все возможные разбиения и привести примеры 3 покрытийэтого подмножества.

Контрольные вопросы.

1. Дать определение множества.

2. Привести примеры конечных и бесконечных множеств.

3. Указать существующие способы задания множеств.

4. Дать определения пустого и универсального множеств.

5. Что называют подмножеством множества?

6. Ввести понятия операций над множествами.

7. Привести примеры операций над множествами с помощью кругов Эйлера.

8. Записать основные законы и теоремы алгебры множеств.

Лабораторная работа № 2

Отношения на множествах

Цель работы: изучение способов задания отношений, приобретение практических навыков в проверке основных свойств отношений, классификация отношений.

Теоретическая справка

Прямое (декартово) произведение множеств Х и Y – множество упорядоченных пар, таких что: .

При X = Y множество называется декартовой степенью множества X и обозначается X².

Бинарное отношение на множествах X и Y – произвольное подмножество прямого произведения двух множеств .

Если   Х², то отношениезадано на множествеХ.

Если (x,y), то (x,y)находятсяв отношении илисвязаныотношением: х  y илиy = (х) .

Область определения D_ бинарного отношения - множество первых элементов каждой упорядоченной пары D_ = {x | (x,y)  }.

Область значений J_ бинарного отношения - множество вторых элементов каждой упорядоченной пары

J _ = {y | (x, y)  }.

Способы задания отношений

1. Список пар

 = {(1,5), (2,4), (3,6), (6,2)} на   Х², Х = {1,2,3,4,5,6}

2. Характеристическая функция

 = {(n,m)| n = 2*m}

3. Графическое изображение

 ={(1,5), (2,4), (3,6), (6,2)} на  Х², Х = {1,2,3,4,5,6}

3. Матрица отношения

 ={(1,5), (2,4), (3,6), (6,2)} на   Х², Х = {1,2,3,4,5,6}

	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	1	0
А= 2	0	0	0	1	0	0
3	0	0	0	0	0	1
4	0	0	0	0	0	0
5	0	0	0	0	0	0
6	0	1	0	0	0	0